30  Wo Maxwell endet: Photonen und Wahrscheinlichkeit

Neunundzwanzig Kapitel lang war Licht ein Feld. Wir haben es diskretisiert, durch Spalte geschickt, in Resonatoren gesperrt, an Antennen abgestrahlt und rückwärts laufen lassen — und jede einzelne Messung hat die Feldbeschreibung bestätigt. Dieses Kapitel erzählt, wo sie endet. Denn dreht man die Leistung einer Lichtquelle weit genug herunter und hängt einen empfindlichen Detektor dahinter, dann passiert etwas, das kein kontinuierliches Feld tun dürfte: Es klickt. Licht kommt in einzelnen, unteilbaren Treffern an — Photonen, jedes mit der Energie \(E = h f\). Zwischen zwei Klicks: nichts.

Das klingt nach Abrissbirne für alles Bisherige — und ist das Gegenteil. Die Pointe dieses Kapitels, vorweggenommen: Die Maxwell-Rechnung bleibt exakt richtig, sie wechselt nur den Beruf. Was wir 29 Kapitel lang als Helligkeit \(|E|^2\) ausgerechnet haben, ist — Photon für Photon gelesen — die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Ort des nächsten Treffers. Wir werden das nicht behaupten, sondern nachspielen: ein Doppelspalt, ein Zufallsgenerator, und das Streifenmuster aus Kapitel 14 entsteht aus einzelnen Punkten neu. Vorher klären wir, warum uns die Körnigkeit des Lichts im Alltag nie auffällt, und warum eine simple Frequenz-Schwelle (der photoelektrische Effekt) das Feldbild in Erklärungsnot bringt. Am Ende lösen wir die älteste Zusage aus Kapitel 17 ein — die Tunnel-Formel der Quantenmechanik ist ein alter Bekannter — und ziehen eine ehrliche Grenze: was Maxwell nicht kann, und was trotzdem für immer bleibt.

Lernziele

Nach diesem Kapitel kannst du …

  1. … mit \(E = h f\) Photonen-Budgets rechnen und weißt, warum ein WLAN-Router niemals körnig funkt (\(6 \cdot 10^{22}\) Photonen pro Sekunde), ein Röntgengerät aber sehr wohl einzelne Quanten zählt,
  2. … den photoelektrischen Effekt erklären: Die Schwelle sitzt in der Frequenz, nicht in der Helligkeit — rotes Licht löst aus Cäsium kein Elektron, egal wie hell es ist,
  3. … den Einzelphotonen-Doppelspalt als Monte-Carlo-Experiment nachbauen: einzelne Treffer ziehen, das Histogramm konvergiert mit \(1/\sqrt{N}\) gegen das Maxwell-Muster,
  4. … erklären, warum beim „Welcher-Weg”-Experiment die Streifen verschwinden: Amplituden interferieren, Wahrscheinlichkeiten nicht (\(P \neq P_1 + P_2\)),
  5. … Schrotrauschen als \(\sqrt{N}\)-Gesetz messen und weißt, warum Nachtaufnahmen körnig sind,
  6. … die Tunnel-Brücke schlagen: Die Schrödinger-Gleichung liefert für die Rechteckbarriere dieselbe \(\sinh^2\)-Formel wie unser FTIR-Experiment aus Kapitel 17 — und du kannst ausrechnen, warum ein Rastertunnelmikroskop einzelne Atome sieht.

30.1 Der Klick — und warum wir ihn nie bemerken

Max Planck führte die Größe \(h\) im Jahr 1900 als Verzweiflungstat ein (um das Spektrum glühender Körper zu retten), Albert Einstein nahm sie 1905 ernst: Licht der Frequenz \(f\) tauscht Energie nur in unteilbaren Portionen

\[ E_{\text{Photon}} = h f = \frac{h c}{\lambda}, \qquad h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\ \text{Js} \]

aus. Wenn das stimmt, müsste Licht körnig sein wie Regen auf einem Blechdach. Warum haben wir in 29 Kapiteln nichts davon gemerkt? Rechnen wir nach — drei Sender, die wir aus diesem Buch kennen:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

H = 6.62607015e-34       # Plancksches Wirkungsquantum [Js]
C0 = 2.99792458e8        # Lichtgeschwindigkeit [m/s]
EV = 1.602176634e-19     # 1 Elektronvolt [J]


def photonen_pro_sekunde(P, lam=None, f=None):
    """Leistung P in Photonenzahl pro Sekunde umrechnen."""
    e_photon = H * (C0 / lam if lam else f)
    return e_photon, P / e_photon


for name, P, lam, f in [
        ("Laserpointer 1 mW, 532 nm  ", 1e-3, 532e-9, None),
        ("WLAN-Router 100 mW, 2,45 GHz", 0.1, None, 2.45e9),
        ("UKW-Sender 100 kW, 100 MHz ", 100e3, None, 100e6)]:
    e, n = photonen_pro_sekunde(P, lam, f)
    print(f"{name}: {e / EV:9.3g} eV  →  {n:8.2g} Photonen/s")
Laserpointer 1 mW, 532 nm  :      2.33 eV  →   2.7e+15 Photonen/s
WLAN-Router 100 mW, 2,45 GHz:  1.01e-05 eV  →   6.2e+22 Photonen/s
UKW-Sender 100 kW, 100 MHz :  4.14e-07 eV  →   1.5e+30 Photonen/s

Ein grüner Laserpointer feuert fast drei Billiarden Photonen pro Sekunde ab; selbst in einer Nanosekunde sind es noch Millionen. Der WLAN-Router liegt um sieben weitere Größenordnungen darüber, der UKW-Sender bei \(10^{30}\) — das ist der Grund, warum die gesamte Funktechnik der Kapitel 21 bis 25 nie ein Photon zu Gesicht bekommt: Bei solchen Strömen ist die Körnigkeit so unsichtbar wie einzelne Wassermoleküle in einem Fluss. Maxwell ist die Beschreibung des Flusses — und sie ist dort vollständig. Die Klicks tauchen erst auf, wenn man entweder die Leistung absurd klein macht (gleich am Doppelspalt) oder die Photonenenergie groß: Ein Röntgenquant trägt \(50\,000\) eV, da zählt jeder Treffer einzeln (Übung 30.1).

30.2 Die Schwelle sitzt in der Frequenz

Dass die Portionen real sind und nicht bloß Buchhaltungstrick, zeigt das älteste Experiment dieser Geschichte: Licht fällt auf eine Metallplatte und schlägt Elektronen heraus — der photoelektrische Effekt. Im Feldbild wäre die Sache klar: Mehr Helligkeit heißt mehr \(|E|^2\), heißt mehr Energie pro Sekunde, heißt schnellere Elektronen.

HinweisVorhersage (PRIMM)

Eine Cäsium-Platte (Austrittsarbeit \(W = 2{,}14\) eV) wird mit rotem Licht (\(\lambda = 700\) nm) beleuchtet. Es kommen keine Elektronen. Jetzt machen wir die Lampe hundertmal heller. Was passiert — (a) jetzt kommen Elektronen, (b) es kommen immer noch keine, aber bei hundertfacher Wartezeit schon, oder (c) es kommen nie welche, egal wie hell und wie lange?

Die Antwort des Experiments ist (c) — und sie hat Einstein den Nobelpreis eingebracht. Im Photonenbild ist sie zwingend: Ein Elektron schluckt immer genau ein Photon. Reicht dessen Portion \(hf\) nicht über die Austrittsarbeit \(W\), hilft auch ein Trommelfeuer aus zu kleinen Portionen nichts — hundertmal heller heißt hundertmal mehr Photonen, nicht größere:

W_CS, W_CU = 2.14, 4.65      # Austrittsarbeiten Cäsium/Kupfer [eV]
for lam, name in [(550e-9, "grün  550 nm"), (700e-9, "rot   700 nm")]:
    e = H * C0 / lam / EV
    urteil = "Elektronen!" if e > W_CS else "nichts — egal wie hell"
    print(f"{name}: {e:.3f} eV  gegen W_Cs = {W_CS} eV  →  {urteil}")
print(f"Grenzwellenlänge Cäsium: hc/W = {H*C0/(W_CS*EV)*1e9:.0f} nm")
print(f"Grenzwellenlänge Kupfer: hc/W = {H*C0/(W_CU*EV)*1e9:.0f} nm")
grün  550 nm: 2.254 eV  gegen W_Cs = 2.14 eV  →  Elektronen!
rot   700 nm: 1.771 eV  gegen W_Cs = 2.14 eV  →  nichts — egal wie hell
Grenzwellenlänge Cäsium: hc/W = 579 nm
Grenzwellenlänge Kupfer: hc/W = 267 nm

Grünes Licht (2,25 eV) liegt knapp über der Cäsium-Schwelle, rotes (1,77 eV) knapp darunter — die Grenze verläuft mitten durchs sichtbare Spektrum, bei 579 nm. Kupfer braucht mit 4,65 eV hartes Ultraviolett. Und die Helligkeit? Sie bestimmt nur, wie viele Elektronen pro Sekunde kommen — nie, ob und wie schnell. Die Überschuss-Energie \(hf - W\) steckt in der Geschwindigkeit des Elektrons, und genau das macht den Effekt zum Messgerät: Trägt man die Bremsspannung, die die schnellsten Elektronen gerade noch stoppt, gegen die Frequenz auf, entsteht eine Gerade mit der Steigung \(h/e\). Robert Millikan hat auf diese Weise \(h\) vermessen — in der erklärten Absicht, Einstein zu widerlegen (mehr dazu im Kleingedruckten); Übung 30.2 spielt seine Auswertung mit np.polyfit nach.

30.3 Der Doppelspalt, ein Photon nach dem anderen

Jetzt das Experiment, an dem sich entscheidet, ob das Feldbild oder das Teilchenbild gewinnt — und die Antwort ist berühmt geworden: beide. Wir nehmen den Doppelspalt aus Kapitel 14 und drehen die Quelle so leise, dass immer nur ein einziges Photon unterwegs ist. G. I. Taylor hat das 1909 wirklich getan (mit einer Gasflamme hinter Rußglas und drei Monaten Belichtungszeit).

WarnungNaheliegende Vermutung: „Mit einzelnen Photonen verschwinden die Streifen — ein Photon kann ja nur durch einen Spalt gehen“

Warum sie naheliegt: Interferenz hieß 29 Kapitel lang: Zwei Wellenzüge — einer pro Spalt — überlagern sich am Schirm. Ein einzelnes, unteilbares Photon hat aber scheinbar keinen Partner; es sollte sich für einen Spalt entscheiden müssen, und übrig bliebe die strukturlose Summe zweier Einzelspalt-Flecken.

Was stattdessen stimmt: Die Streifen bleiben — in Taylors Experiment, in Tonomuras berühmter Elektronen-Fassung von 1989, in jedem modernen Praktikum. Jedes Photon landet als ein Punkt an einem Ort (das ist der Teilchen-Anteil), aber die Wahrscheinlichkeit, wo, folgt exakt dem Interferenzmuster der Maxwell-Welle (das ist der Wellen-Anteil). Dirac hat es auf die kürzeste Formel gebracht: Jedes Photon interferiert mit sich selbst. Die Welle, die durch beide Spalte läuft, ist keine Woge aus vielen Photonen — sie ist die Amplituden-Buchhaltung des einzelnen. Erst eine Messung, welchen Spalt das Photon nahm, zerstört das Muster — dazu gleich mehr.

Das können wir nachspielen, und zwar quantitativ. Versuchsaufbau: Die Frage ist, ob aus einzeln gezogenen Zufallstreffern wirklich das Kapitel-14-Muster entsteht — und wie schnell. Die Bühne sind Praktikums-Maße: roter Laser (\(\lambda = 650\) nm), Spaltabstand \(d = 0{,}25\) mm, Spaltbreite \(a = 0{,}05\) mm, Schirm in \(L = 2\) m Entfernung; das Maxwell-Muster ist die Kapitel-14-Formel Streifen × Hülle mit dem Streifenabstand \(\lambda L/d = 5{,}2\) mm. Daraus machen wir eine Wahrscheinlichkeitsverteilung (normieren auf Summe 1) und lassen den Zufallsgenerator aus Kapitel 10 einzelne Treffer ziehen. Gemessen wird der rms-Abstand zwischen Treffer-Histogramm und \(|E|^2\) für \(N = 10^2\) bis \(10^6\). Erfolgskriterium: Das Histogramm konvergiert gegen das Muster, und der Fehler fällt wie \(1/\sqrt{N}\) — das Standard-Gesetz jeder Zählstatistik.

LAM = 650e-9                  # roter Laser
D_SPALT = 0.25e-3             # Spaltabstand
A_SPALT = 0.05e-3             # Spaltbreite
L_SCHIRM = 2.0                # Abstand zum Schirm
x = np.linspace(-0.03, 0.03, 1200)        # Schirmkoordinate [m]
sint = x / np.hypot(x, L_SCHIRM)          # sin(theta) zu jedem x


def intensitaet(sint, beide=True):
    """Kap.-14-Doppelspalt: Hülle (Spaltbreite) × Streifen (Abstand)."""
    huelle = np.sinc(A_SPALT * sint / LAM) ** 2
    if beide:
        return huelle * np.cos(np.pi * D_SPALT * sint / LAM) ** 2
    return huelle


p_doppel = intensitaet(sint)
p_doppel = p_doppel / p_doppel.sum()      # |E|² → Wahrscheinlichkeit

rng = np.random.default_rng(30)           # feste Saat: reproduzierbar
fehler = []
Ns = np.array([100, 1000, 10_000, 100_000, 1_000_000])
hists = {}
for N in Ns:
    # rng.choice: zieht N Indizes, jeder mit seiner Wahrscheinlichkeit
    # aus p= — das ist unser "Photon trifft den Schirm"
    treffer = rng.choice(len(x), size=N, p=p_doppel)
    # np.bincount: zählt, wie oft jeder Index vorkommt (das Histogramm)
    hist = np.bincount(treffer, minlength=len(x)) / N
    hists[N] = hist
    fehler.append(np.sqrt(((hist - p_doppel) ** 2).mean()))
steigung_mc = np.polyfit(np.log(Ns), np.log(fehler), 1)[0]
print(f"Konvergenz: rms ∝ N^{steigung_mc:.2f}  (Zählstatistik: −0,5)")
Konvergenz: rms ∝ N^-0.51  (Zählstatistik: −0,5)

Bevor du das Bild ansiehst, die PRIMM-Frage im Kleinen: Wo landet das allererste Photon? Antwort: irgendwo — einzeln betrachtet ist jeder Treffer strukturlos zufällig, nur die exakten Nullstellen des Musters sind tabu. Die Ordnung wohnt nicht im einzelnen Punkt, sondern in der Statistik:

fig, achsen = plt.subplots(1, 3, figsize=(9.5, 3.2), sharex=True)

punkte = rng.choice(len(x), size=200, p=p_doppel)
# rng.uniform: gleichverteilte Zufallszahlen — hier nur als Streu-Höhe,
# damit die 200 Schirm-Punkte optisch nicht aufeinanderliegen
achsen[0].plot(x[punkte] * 1e3, rng.uniform(0, 1, 200), "k.", ms=2.5)
achsen[0].set_title("N = 200: Punkte", fontsize=10)
achsen[0].set_ylabel("Schirm (Streu-Höhe)")

for ax, N in [(achsen[1], 10_000), (achsen[2], 1_000_000)]:
    ax.plot(x * 1e3, hists[N] / p_doppel.max(), "C0-", lw=0.9,
            label=f"Histogramm N = {N:,}".replace(",", " "))
    ax.plot(x * 1e3, p_doppel / p_doppel.max(), "C3-", lw=1.1,
            label="|E|² (Maxwell)")
    ax.set_title(f"N = {N:,}".replace(",", " "), fontsize=10)
    ax.legend(fontsize=7)
for ax in achsen:
    ax.set_xlabel("x [mm]")
plt.tight_layout()
plt.show()
Abbildung 30.1: Der Doppelspalt, Photon für Photon: Bei N = 200 Treffern (links, jeder Punkt ein Photon; die Höhe ist gewürfelt, damit die Punkte nicht aufeinanderliegen) ist kaum Ordnung zu ahnen. Bei N = 10 000 (Mitte, Histogramm) treten die Streifen hervor, bei N = 1 000 000 (rechts) liegt das Histogramm deckungsgleich auf der roten Maxwell-Kurve |E|² aus Kapitel 14. Die klassische Intensität ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung des einzelnen Treffers.

Und die Konvergenz folgt dem Wurzel-Gesetz auf zwei Nachkommastellen — wer das Muster doppelt so glatt will, braucht viermal so viele Photonen:

fig, ax = plt.subplots(figsize=(6.4, 3.4))
ax.loglog(Ns, fehler, "ko", ms=5, label="rms gemessen")
ax.loglog(Ns, fehler[0] * (Ns / Ns[0]) ** -0.5, "C0-", lw=1.2,
          label="Theorie: ∝ 1/√N")
ax.set_xlabel("Photonenzahl N")
ax.set_ylabel("rms(Histogramm − |E|²)")
ax.set_title(f"gemessene Steigung: {steigung_mc:.2f}")
ax.legend(fontsize=9)
plt.show()
Abbildung 30.2: Das Wurzel-Gesetz der Zählstatistik: Der rms-Abstand zwischen Treffer-Histogramm und Maxwell-Muster fällt über vier Dekaden Photonenzahl exakt auf der 1/√N-Geraden (gemessene Steigung −0,51). Dasselbe Gesetz regiert jede Nachtaufnahme, jede Strahlentherapie-Dosis und jedes Radioteleskop-Bild.

Der Film zeigt das Experiment so, wie Taylor und Tonomura es erlebt haben — als Geduldsspiel. Bevor du startest: Nach wie vielen Photonen würdest du die Streifen zum ersten Mal erkennen?

Code der Animation (nur in der HTML-Fassung) 
from matplotlib import animation
from IPython.display import HTML

rng_film = np.random.default_rng(14)
N_MAX = 60_000
alle = rng_film.choice(len(x), size=N_MAX, p=p_doppel)
hoehen = rng_film.uniform(0, 1, N_MAX)
# geometrisch wachsende Zwischenstände: am Anfang einzeln, am Ende Sprünge
stufen = np.unique(np.geomspace(1, N_MAX, 36).astype(int))

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(7.2, 5.0), sharex=True)
schirm, = ax1.plot([], [], "k.", ms=2)
ax1.set_ylabel("Schirm")
ax1.set_xlim(-30, 30)
ax1.set_ylim(0, 1)
balken, = ax2.plot([], [], "C0-", lw=1.0, label="Treffer-Histogramm")
ax2.plot(x * 1e3, p_doppel / p_doppel.max(), "C3-", lw=1.2,
         label="|E|² (Maxwell)")
ax2.set_xlabel("x [mm]")
ax2.set_ylabel("normiert")
ax2.set_ylim(0, 1.6)
ax2.legend(fontsize=8, loc="upper right")
titel = ax1.set_title("", fontsize=10)
fig.subplots_adjust(top=0.9, hspace=0.12, bottom=0.12)


def bild(i):
    n = stufen[i]
    schirm.set_data(x[alle[:n]] * 1e3, hoehen[:n])
    hist = np.bincount(alle[:n], minlength=len(x)) / n
    glatt = np.convolve(hist, np.ones(9) / 9, mode="same")
    balken.set_data(x * 1e3, glatt / p_doppel.max())
    titel.set_text("Ein Photon nach dem anderen — die Ordnung wohnt "
                   "in der Statistik\n"
                   f"N = {n} Treffer")
    return [schirm, balken, titel]


anim = animation.FuncAnimation(fig, bild, frames=len(stufen), interval=200)
plt.close(fig)
HTML(anim.to_jshtml(default_mode="loop"))

In der Spielwiese kannst du das Experiment umbauen — alles reine Kapitel-14-Formel plus Zufall. Drei Aufträge, erst vorhersagen: (1) Halbiere den Spaltabstand D_SPALT_MM — was machen die Streifen? (2) Verdopple die Spaltbreite A_SPALT_MM — was ändert sich, was nicht? (3) Wie viele Photonen N_PHOTONEN brauchst du, um Auftrag (1) und (2) überhaupt unterscheiden zu können?

30.4 Die Regel dahinter: Maxwell als Amplituden-Maschine

Halten wir fest, was hier passiert ist — denn es ist der Kern des ganzen Kapitels. Wir haben nichts neu gerechnet: Die Kurve, gegen die die Treffer konvergieren, ist Zeile für Zeile die Doppelspalt-Formel aus Kapitel 14. Neu ist allein die Lesart:

\[ \underbrace{|E(x)|^2}_{\text{Kap. 1–29: Helligkeit}} \;=\; \underbrace{p(x)}_{\text{Kap. 30: Wahrscheinlichkeit pro Photon}} . \]

Maxwell ist — in der Sprache der Quantenphysik — die Amplituden-Maschine des Lichts: Die Felder \(E\) und \(B\) sind die Wahrscheinlichkeitsamplituden des einzelnen Photons, ihre Interferenz, Brechung, Beugung und Resonanz sind exakt die Amplituden-Spielregeln, und erst das Betragsquadrat wird zur messbaren Zählrate. Darum war alles aus Teil IV bis VII automatisch richtig — und darum bekommt auch die schönste Pointe aus Kapitel 14 ein Quanten-Echo: Dort hieß es „Licht plus Licht ist nicht heller — die Energie wird umverteilt”. Jetzt heißt es: Die Wahrscheinlichkeit wird umverteilt. Ein Photon mehr im Maximum ist ein Photon weniger im Minimum; die Gesamtzahl stimmt immer.

Dass sich hinter dem harmlosen Wort „Lesart” ein echter Unterschied verbirgt, zeigt das Gegenexperiment. Was passiert, wenn wir wissen, durch welchen Spalt jedes Photon geht — etwa indem wir abwechselnd einen Spalt zukleben? Dann gibt es nichts mehr zu interferieren: Jedes Photon hat nur noch eine Amplitude, und die Wahrscheinlichkeiten der beiden Wege addieren sich klassisch:

p_einzel = intensitaet(sint, beide=False)
p_summe = p_einzel / p_einzel.sum()   # P₁ + P₂: nur die Hülle

zentral = np.abs(x) < 0.005
def sichtbarkeit(p):
    """Streifen-Sichtbarkeit (max−min)/(max+min) im Zentrum."""
    return ((p[zentral].max() - p[zentral].min())
            / (p[zentral].max() + p[zentral].min()))


print(f"Sichtbarkeit, beide Spalte offen:   {sichtbarkeit(p_doppel):.3f}")
print(f"Sichtbarkeit mit Welcher-Weg-Wissen: {sichtbarkeit(p_summe):.3f}")
print(f"am Hauptmaximum: p_beide / (p₁+p₂) = "
      f"{p_doppel.max() / p_summe[np.argmax(p_doppel)]:.2f}")
Sichtbarkeit, beide Spalte offen:   1.000
Sichtbarkeit mit Welcher-Weg-Wissen: 0.061
am Hauptmaximum: p_beide / (p₁+p₂) = 2.00
fig, ax = plt.subplots(figsize=(7.0, 3.6))
ax.plot(x * 1e3, p_doppel / p_doppel.max(), "C0-", lw=1.3,
        label="beide offen: |A₁ + A₂|²")
ax.plot(x * 1e3, p_summe / p_doppel.max(), "C3-", lw=1.3,
        label="Welcher-Weg: P₁ + P₂")
ax.set_xlabel("x [mm]")
ax.set_ylabel("Wahrscheinlichkeit (normiert)")
ax.set_title("Amplituden interferieren — Wahrscheinlichkeiten nicht")
ax.legend(fontsize=9)
plt.show()
Abbildung 30.3: Der Unterschied zwischen Amplituden- und Wahrscheinlichkeits-Addition: Mit beiden Spalten offen (blau) interferieren die Amplituden — Streifen mit Sichtbarkeit 1,000, am Hauptmaximum doppelt so hoch wie die rote Kurve. Weiß man dagegen, welchen Weg jedes Photon nahm (rot: die Summe zweier Einzelspalt-Verteilungen), addieren sich nur noch Wahrscheinlichkeiten — die Hülle bleibt, die Streifen sind weg (Sichtbarkeit 0,061). P ≠ P₁ + P₂: Das ist der messbare Kern der Quantenmechanik.

Das ist keine Fußnote, sondern die Bruchkante zwischen klassischer Statistik und Quantenwelt: Ein klassisches Teilchen hätte immer einen Weg, und \(P = P_1 + P_2\) wäre ein Naturgesetz. Das Photon hat stattdessen Amplituden — und unser 29-Kapitel-Werkzeugkasten ist genau deshalb so wertvoll, weil er diese Amplituden exakt ausrechnet. Übung 30.3 baut das Welcher-Weg-Experiment als Monte-Carlo nach.

30.5 Schrotrauschen: die Körnigkeit wird messbar

Wenn Photonen würfeln, muss jede Lichtmessung rauschen — nicht weil das Messgerät schlecht wäre, sondern prinzipiell. Die Statistik dahinter kennen wir aus Kapitel 10 (der Zufallsgenerator) in neuer Rolle: Die Zahl der Treffer in einem festen Zeitfenster folgt der Poisson-Verteilung, und deren Markenzeichen ist \(\sigma = \sqrt{N}\) — bei im Mittel \(N\) Photonen pro Pixel schwankt die Zählung um \(\sqrt{N}\). Das Signal-zu-Rausch-Verhältnis wächst also nur mit der Wurzel:

\[ \mathrm{SNR} = \frac{N}{\sqrt{N}} = \sqrt{N} . \]

Versuchsaufbau: Wir „fotografieren” unser Doppelspalt-Muster mit einer simulierten Kamera: Jeder Pixel erwartet \(N \cdot |E|^2/|E|^2_{\max}\) Photonen und zieht seine tatsächliche Zählung aus der Poisson-Verteilung (rng.poisson). Gemessen wird das SNR am hellsten Pixel über 200 Aufnahmen, bei Erwartungswert 1 und 100. Erfolg: SNR = 1 bzw. 10 — das Wurzel-Gesetz.

I2d = intensitaet(sint)[None, :] * np.ones((40, 1))   # Streifen-"Foto"
for n_pix in (1.0, 100.0):
    erwartung = n_pix * I2d / I2d.max()
    # rng.poisson: zieht ganzzahlige Zaehlungen mit dem gegebenen
    # Erwartungswert — das Photonen-Wuerfeln jedes Pixels
    bilder = rng.poisson(erwartung[None, :, :] * np.ones((200, 1, 1)))
    hell = erwartung == n_pix
    snr = bilder[:, hell].mean() / bilder[:, hell].std()
    print(f"Erwartung {n_pix:4g} Photonen/Pixel → SNR = {snr:5.2f}  "
          f"(√N = {np.sqrt(n_pix):.1f})")
Erwartung    1 Photonen/Pixel → SNR =  1.01  (√N = 1.0)
Erwartung  100 Photonen/Pixel → SNR = 10.04  (√N = 10.0)

Genau deshalb sind Nachtaufnahmen körnig, rauschen Röntgenbilder bei niedriger Dosis, und genau deshalb belichten Astronomen stundenlang: Wer das Rauschen halbieren will, muss viermal so viele Photonen sammeln — dasselbe \(1/\sqrt{N}\) wie bei unserer Doppelspalt-Konvergenz, denn es ist dieselbe Statistik.

Der Film entwickelt das Streifen-Foto aus dem Rauschen: von im Mittel 0,3 Photonen pro hellem Pixel (fast nur schwarze Körner) bis 3000 (glattes Bild). Achte darauf, wann du die Streifen zum ersten Mal sicher erkennst — und vergleiche mit der SNR-Zahl im Titel.

Code der Animation (nur in der HTML-Fassung) 
rng_f2 = np.random.default_rng(7)
pegel = np.geomspace(0.3, 3000.0, 28)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(7.2, 3.4))
basis = I2d / I2d.max()
anzeige = ax.imshow(np.zeros_like(basis), origin="lower", cmap="gray",
                    aspect="auto", vmin=0, vmax=1,
                    extent=[x[0] * 1e3, x[-1] * 1e3, 0, 1])
ax.set_xlabel("x [mm]")
ax.set_yticks([])
titel = ax.set_title("", fontsize=10)
fig.subplots_adjust(top=0.86, bottom=0.16)


def bild(i):
    n = pegel[i]
    foto = rng_f2.poisson(n * basis).astype(float)
    anzeige.set_data(foto / max(foto.max(), 1))
    titel.set_text("Schrotrauschen: das Bild entsteht aus Treffern\n"
                   f"im Mittel {n:.1f} Photonen/Pixel — "
                   f"SNR ≈ {np.sqrt(n):.1f}")
    return [anzeige, titel]


anim = animation.FuncAnimation(fig, bild, frames=len(pegel), interval=180)
plt.close(fig)
HTML(anim.to_jshtml(default_mode="loop"))

Die Spielwiese dazu ist eine Ein-Regler-Kamera. Aufträge: (1) Bei welchem PHOTONEN_PRO_PIXEL erkennst du die Streifen zuverlässig? (2) Prüfe das Wurzel-Gesetz: Stelle 4, 16, 64 ein — verdoppelt sich die im Titel gemessene SNR jeweils?

30.6 Die Tunnel-Brücke: eine alte Bekannte

Bleibt eine Zusage aus Kapitel 17 offen. Dort haben wir Licht durch einen „verbotenen” Luftspalt tunneln lassen (FTIR) und die Transmission über drei Dekaden auf einer \(\sinh\)-Formel wiedergefunden:

\[ T_{\text{FTIR}} = \frac{1}{1 + C \cdot \sinh^2(\kappa d)} . \]

Die Quantenmechanik beschreibt ein Elektron mit der Schrödinger-Gleichung — mathematisch eine Wellengleichung für die Amplitude \(\psi\), deren Betragsquadrat (wie eben bei unserem Photon!) die Aufenthalts-Wahrscheinlichkeit ist. Lässt man dieses Elektron mit Energie \(E\) gegen eine Energie-Wand der Höhe \(V > E\) laufen, liefert dieselbe Rechnung wie in Kapitel 17 (Welle, evaneszenter Saum, Anschlussbedingungen):

\[ T_{\text{QM}} = \frac{1}{1 + \dfrac{V^2}{4E(V-E)} \sinh^2(\kappa d)}, \qquad \kappa = \frac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar} . \]

Dieselbe Bauform, Term für Term — nur der Vorfaktor \(C\) und das Rezept für \(\kappa\) sind material- bzw. teilchenspezifisch. Das ist kein Zufall, sondern derselbe Mechanismus: Eine Wellen-Amplitude klingt in einer verbotenen Zone exponentiell ab, und was am anderen Ende noch übrig ist, läuft weiter. Mit Zahlen für ein Elektron:

HQUER = 1.054571817e-34
ME = 9.1093837015e-31

E_EL, V_B = 1.0 * EV, 2.0 * EV       # Elektron 1 eV, Wand 2 eV
kappa = np.sqrt(2 * ME * (V_B - E_EL)) / HQUER
d = 0.5e-9
T = 1 / (1 + V_B**2 * np.sinh(kappa * d)**2 / (4 * E_EL * (V_B - E_EL)))
print(f"κ = {kappa*1e-9:.2f} pro Nanometer")
print(f"T(d = 0,5 nm) = {T:.4f}")
print(f"0,1 nm näher dran → Strom × e^(2κ·0,1 nm) = "
      f"{np.exp(2 * kappa * 0.1e-9):.2f}")
κ = 5.12 pro Nanometer
T(d = 0,5 nm) = 0.0235
0,1 nm näher dran → Strom × e^(2κ·0,1 nm) = 2.79

\(\kappa = 5{,}1\) pro Nanometer — die verbotene Zone des Elektrons ist Bruchteile eines Nanometers tief, eine Million Mal kürzer als beim Licht in Kapitel 17. Genau diese Winzigkeit ist zur Messtechnik geworden: Das Rastertunnelmikroskop fährt eine Metallspitze im Abstand unter einem Nanometer über eine Oberfläche und misst den Tunnelstrom. Ein Zehntel Nanometer näher — etwa ein halber Atomdurchmesser — und der Strom springt um fast den Faktor drei (bei realistischen Austrittsarbeiten um eine ganze Größenordnung, Übung 30.4). Darum sieht ein STM einzelne Atome, und darum genügt ihm als „Linse” das unterste Atom seiner Spitze. Die Mathematik dahinter hast du in Kapitel 17 an einem Glasprisma gelernt.

30.7 Die ehrliche Grenzziehung

Was kann Maxwell nun nicht — und was bleibt? Die Grenze verläuft schärfer, als man nach diesem Kapitel fürchten könnte. Maxwell fehlt: der einzelne Klick (die Theorie kennt nur kontinuierliche Felder, keine Detektions- Ereignisse), die Zählstatistik jenseits von Poisson (echte Einzelphotonen-Quellen zeigen Antibunching — nach einem Klick folgt garantiert eine Pause; das kann keine klassische Welle, siehe Kleingedrucktes) und die Verschränkung mehrerer Photonen (die Korrelationen, auf denen Quantenkryptografie und Quantencomputer beruhen). Wann immer einzelne Quanten als einzelne zählen, braucht es die Quantenelektrodynamik.

Maxwell bleibt: alles andere — und „alles andere” ist fast alles. Jede Antenne, jeder Wellenleiter, jede Faser, jede Linse, jeder Resonator, jedes Radar und jedes WLAN-Modul arbeitet mit Photonenströmen von \(10^{15}\) aufwärts, wo die Körnigkeit im Wurzel-Gesetz versinkt. Und selbst dort, wo gezählt wird, rechnet die Quantenoptik die Amplituden nach wie vor mit den Maxwell-Gleichungen aus — unser Buch war, ohne es zu sagen, von Anfang an auch ein Buch über die Wellenseite der Quantenwelt. Die Front-Regel aus Kapitel 29 übersteht den Umzug übrigens unbeschadet: Auch verschränkte Photonen tragen keine Botschaft schneller als \(c\).

30.8 Das Kapitel-Programm

programme/kap30/kap30_photonen.py bündelt alle Befunde eigenständig und mit assert-Schranken: die drei Photonen-Budgets, die Photoeffekt-Schwellen und Grenzwellenlängen, die Millikan-Gerade (h auf wenige Prozent aus fünf verrauschten Messpunkten), den Monte-Carlo-Doppelspalt samt \(N^{-0{,}5}\)-Konvergenz, das Welcher-Weg-Experiment (Sichtbarkeit 1,000 → 0,06, Faktor 2 am Hauptmaximum), die Poisson-SNR und die Tunnel-Zahlen. Der Zufall läuft mit fester Saat — jeder Lauf liefert exakt dieselben Treffer. Reines NumPy, kein Meep, Laufzeit wenige Sekunden.

TippMerkkasten
  • Photonen: Licht tauscht Energie in Portionen \(E = hf\). Funk: \(10^{-5}\) eV und \(10^{22}\) Photonen/s (nie körnig); Licht: ~2 eV und \(10^{15}\)/s (fast nie); Röntgen: \(10^4\) eV (jeder Treffer zählt).
  • Photoeffekt: Die Schwelle sitzt in der Frequenz (\(hf > W\)), die Helligkeit liefert nur die Rate. Die Stoppspannungs-Gerade hat die Steigung \(h/e\) (Millikan).
  • |E|² ist Wahrscheinlichkeit: Jedes Photon landet einzeln und zufällig; das Histogramm konvergiert mit \(1/\sqrt{N}\) gegen die Maxwell-Intensität. Maxwell ist die Amplituden-Maschine des Photons.
  • Amplituden interferieren, Wahrscheinlichkeiten nicht: Welcher-Weg-Wissen ersetzt \(|A_1 + A_2|^2\) durch \(P_1 + P_2\) — die Streifen verschwinden.
  • Schrotrauschen: Poisson-Statistik, SNR \(= \sqrt{N}\) — Rauschen halbieren kostet viermal so viele Photonen.
  • Tunnel-Brücke: Schrödingers Rechteckbarriere hat dieselbe \(\sinh^2\)-Formel wie FTIR (Kap. 17); \(\kappa \approx 5\)–\(11\)/nm macht das STM atomar empfindlich.
  • Grenze: Maxwell fehlt der Klick, das Antibunching und die Verschränkung — für alles mit vielen Photonen (und für alle Amplituden) ist er vollständig.

Roter Faden

Dieses Kapitel hat kein einziges neues Werkzeug gebraucht — nur neue Augen: Der Doppelspalt aus Kapitel 14 wurde zur Wahrscheinlichkeitsverteilung (und seine „Energie wird umverteilt”-Pointe zur Wahrscheinlichkeits- Umverteilung), der Zufallsgenerator aus Kapitel 10 zum Photonenwürfel, die sinh-Formel aus Kapitel 17 zur Schrödinger-Brücke, das \(|E|^2\) aus Kapitel 21 zur Zählrate, und die Front-Regel aus Kapitel 29 gilt auch für Quanten. Die Maxwell-Gleichungen, mit denen dieses Buch in Kapitel 3 begann, stehen damit an ihrem ehrlichen Platz: nicht widerlegt, sondern eingebettet — als exakte Amplituden-Theorie des Lichts, klassisch gelesen eine Feldtheorie, quantisch gelesen die halbe Quantenelektrodynamik. Nach vorn bleibt ein letztes Kapitel: Kapitel 31 dreht den Spieß ein finales Mal um — statt eine gegebene Struktur zu simulieren, lassen wir den Computer selbst entwerfen (inverses Design) und ziehen das Schlusswort dieses Buchs.

Übungen

Ü 30.1 — Wo wird Licht körnig? (Verstehen). Rechne die Photonen-Budgets: (a) ein Handy beim Telefonieren (\(0{,}2\) W bei \(1{,}8\) GHz), (b) ein Mikrowellenherd (\(800\) W bei \(2{,}45\) GHz), (c) eine Röntgenröhre, deren Nutzstrahl \(1\) mW bei \(50\) keV Photonenenergie trägt. Wie viele Photonen pro Sekunde sind das jeweils — und in welchem Fall „sieht” ein Detektor einzelne Treffer?

for name, P, e_ph in [
        ("Handy 0,2 W / 1,8 GHz   ", 0.2, H * 1.8e9),
        ("Mikrowelle 800 W        ", 800.0, H * 2.45e9),
        ("Röntgen 1 mW / 50 keV   ", 1e-3, 50e3 * EV)]:
    print(f"{name}: {e_ph/EV:8.2g} eV  →  {P/e_ph:8.2g} Photonen/s")
Handy 0,2 W / 1,8 GHz   :  7.4e-06 eV  →   1.7e+23 Photonen/s
Mikrowelle 800 W        :    1e-05 eV  →   4.9e+26 Photonen/s
Röntgen 1 mW / 50 keV   :    5e+04 eV  →   1.2e+11 Photonen/s

Handy und Mikrowelle liegen bei \(10^{23}\) bis \(10^{26}\) Photonen pro Sekunde — die Körnigkeit ist hoffnungslos unsichtbar (und nebenbei: ein \(10^{-5}\)-eV-Photon kann kein Molekül ionisieren, egal wie viele es sind — die Photoeffekt-Logik gilt auch hier). Die Röntgenröhre dagegen liefert nur \(1{,}2 \cdot 10^{11}\) Treffer pro Sekunde, jeder mit der 25 000-fachen Energie eines sichtbaren Photons: Medizinische Detektoren zählen sie tatsächlich einzeln, und die Dosis-Statistik folgt dem \(\sqrt{N}\)-Gesetz dieses Kapitels.

Ü 30.2 — Millikans Gerade (Verändern). Eine Cäsium-Fotozelle wird mit fünf Quecksilber-Linien beleuchtet (365, 405, 436, 546, 578 nm); gemessen werden die Stoppspannungen (mit ±10 mV Messrauschen). Erzeuge die Messreihe synthetisch mit \(U = hf/e - W\), fitte die Gerade mit np.polyfit und gewinne \(h\) und \(W\) zurück. Wie genau wird \(h\) — und welche der fünf Linien trägt gar keine Information mehr?

rng_ue = np.random.default_rng(16)
lams = np.array([365.0, 405.0, 436.0, 546.0, 578.0]) * 1e-9
fs = C0 / lams
u_ideal = H * fs / EV - W_CS
nutzbar = u_ideal > 0.05         # deutlich über dem 10-mV-Rauschen
print("ideale Stoppspannungen [V]:",
      np.round(u_ideal, 3), "— nutzbar:", nutzbar)

# rng.normal: Gauß-Zufallszahlen mit Mittel 0 und Breite 10 mV —
# das Messrauschen des Voltmeters
u_mess = u_ideal[nutzbar] + rng_ue.normal(0, 0.01, nutzbar.sum())
steig, achse = np.polyfit(fs[nutzbar], u_mess, 1)
print(f"h aus dem Fit: {steig*EV:.3e} Js "
      f"(Abweichung {abs(steig*EV - H)/H*100:.1f} %)")
print(f"W aus dem Achsenabschnitt: {-achse:.2f} eV (Soll {W_CS})")

fig, ax = plt.subplots(figsize=(6.4, 3.4))
ax.plot(fs[nutzbar] / 1e14, u_mess, "ko", ms=6, label="Messpunkte")
ff = np.linspace(fs.min(), fs.max(), 50)
ax.plot(ff / 1e14, steig * ff + achse, "C0-", lw=1.2,
        label="Fit: Steigung = h/e")
ax.axhline(0, color="0.8", lw=0.6)
ax.set_xlabel("Frequenz [10¹⁴ Hz]")
ax.set_ylabel("Stoppspannung [V]")
ax.set_title("die Steigung dieser Geraden ist eine Naturkonstante")
ax.legend(fontsize=9)
plt.show()
ideale Stoppspannungen [V]: [1.257 0.921 0.704 0.131 0.005] — nutzbar: [ True  True  True  True False]
h aus dem Fit: 6.539e-34 Js (Abweichung 1.3 %)
W aus dem Achsenabschnitt: 2.10 eV (Soll 2.14)

Millikans Auswertung im Nachbau: Stoppspannung gegen Frequenz für vier Quecksilber-Linien. Die gelbe 578-nm-Linie (2,145 eV) liegt praktisch AUF der Cäsium-Schwelle — ihre Stoppspannung von 5 mV versinkt im 10-mV-Messrauschen und fällt aus dem Fit. Die gefittete Gerade liefert h aus ihrer Steigung auf gut ein Prozent und die Austrittsarbeit aus dem Achsenabschnitt; ihre Nullstelle ist die Grenzfrequenz.

Die gelbe 578-nm-Linie liegt mit \(2{,}145\) eV praktisch exakt auf der Cäsium-Schwelle (kein Zufall: Die Grenzwellenlänge war 579 nm) — die Handvoll Millivolt Stoppspannung, die sie liefert, ist vom Messrauschen nicht zu unterscheiden, und ein Punkt mit Rauschen statt Information würde den Fit nur verschmutzen. Aus den vier übrigen Punkten kommt \(h\) auf gut ein Prozent zurück. Millikan brauchte zehn Jahre Präzisionsarbeit für denselben Plot — und nannte Einsteins Deutung, die er damit bestätigte, noch im Ergebnis-Papier „reckless”.

Ü 30.3 — Welcher-Weg als Monte-Carlo (Übertragen). Baue das Doppelspalt-Monte-Carlo so um, dass für jedes Photon zuerst per Münzwurf ein Spalt gewählt und dann der Treffer aus der Einzelspalt-Verteilung dieses Spalts gezogen wird (die beiden Einzelspalt-Muster sind gegeneinander um \(d\) verschoben — bei unseren Maßen fast deckungsgleich). Vorhersage: halb so viele Streifen, schwächere Streifen — oder keine? Miss die Sichtbarkeit.

rng_ue3 = np.random.default_rng(23)
N = 200_000
# Einzelspalt-Verteilungen, je um ±d/2 verschoben
p_links = intensitaet((x + D_SPALT / 2) / np.hypot(x, L_SCHIRM),
                      beide=False)
p_rechts = intensitaet((x - D_SPALT / 2) / np.hypot(x, L_SCHIRM),
                       beide=False)
p_links, p_rechts = p_links / p_links.sum(), p_rechts / p_rechts.sum()

muenze = rng_ue3.integers(0, 2, N)     # rng.integers: ganzzahlig 0/1
treffer = np.where(muenze == 0,
                   rng_ue3.choice(len(x), size=N, p=p_links),
                   rng_ue3.choice(len(x), size=N, p=p_rechts))
hist = np.bincount(treffer, minlength=len(x)) / N

print(f"Sichtbarkeit Welcher-Weg-MC: "
      f"{sichtbarkeit(hist):.3f}  (beide offen: 1,000)")
Sichtbarkeit Welcher-Weg-MC: 0.141  (beide offen: 1,000)

Keine Streifen — die Sichtbarkeit fällt auf das Niveau des Zählrauschens. Sobald im Experiment festgelegt ist (und sei es nur im Prinzip auslesbar), welchen Weg das Photon nahm, addieren sich Wahrscheinlichkeiten statt Amplituden. Es braucht dafür keinen „Beobachter” und keine Störung — der Münzwurf in unserem Code ist die Welcher-Weg-Information. Die moderne Fassung dieses Gedankens (Quantenradierer, Delayed Choice) steht im Kleingedruckten.

Ü 30.4 — Das STM rechnet sich selbst (Übertragen). Zwischen Metallspitze und Probe wirkt die Austrittsarbeit als Tunnelwand: \(V - E \approx W \approx 4{,}5\) eV. (a) Berechne \(\kappa\). (b) Um welchen Faktor ändert sich der Tunnelstrom (\(\propto e^{-2\kappa d}\)), wenn sich der Abstand um 0,1 nm ändert — etwa einen halben Atomdurchmesser? (c) Die Spitze ist nie perfekt: Ihr unterstes Atom ragt vielleicht 0,25 nm über die nächsten hinaus. Welchen Anteil des Gesamtstroms trägt es — und warum „sieht” das STM deshalb atomar scharf?

W_METALL = 4.5 * EV
kap = np.sqrt(2 * ME * W_METALL) / HQUER
print(f"(a) κ = {kap*1e-9:.1f} pro Nanometer")
print(f"(b) 0,1 nm: Faktor e^(2κ·0,1nm) = {np.exp(2*kap*0.1e-9):.1f}")
print(f"(c) 0,25 nm Vorsprung: Nachbar-Atome tragen nur "
      f"1/{np.exp(2*kap*0.25e-9):.0f} des Spitzenatom-Stroms")
(a) κ = 10.9 pro Nanometer
(b) 0,1 nm: Faktor e^(2κ·0,1nm) = 8.8
(c) 0,25 nm Vorsprung: Nachbar-Atome tragen nur 1/229 des Spitzenatom-Stroms
  1. \(\kappa \approx 10{,}9\)/nm — doppelt so steil wie im 1-eV-Beispiel des Kapitels. (b) Ein Zehntel Nanometer ändert den Strom um fast eine Größenordnung (Faktor 8,8) — darum regelt ein STM seine Höhe auf Pikometer genau, indem es den Strom konstant hält. (c) Schon 0,25 nm Vorsprung lassen das unterste Atom den 230-fachen Strom seiner Nachbarn tragen: Über 99 % des Signals fließen durch ein einziges Atom. Die „Linse” des STM ist keine Optik, sondern die Exponentialfunktion — dieselbe, die in Kapitel 17 den Lichtsaum hinter dem Prisma beschrieb.

Das Kleingedruckte

Taylor 1909, Tonomura 1989. Geoffrey Ingram Taylor — damals Student, später einer der großen Strömungsphysiker — schwächte das Licht einer Gasflamme mit Rußglas so weit ab, dass im Apparat im Mittel weniger als ein Photon unterwegs war, und belichtete eine Fotoplatte hinter einer Nadel monatelang: Die Beugungsstreifen blieben in voller Schärfe. Akira Tonomura wiederholte das Experiment 1989 mit einzelnen Elektronen im Elektronenmikroskop und filmte, wie aus einzelnen Einschlägen über Stunden das Interferenzmuster wächst — die Aufnahmen sind im Netz frei zugänglich und sehen exakt aus wie unsere ?fig-treffer-Reihe, Bild für Bild. Die Physics World kürte das Experiment 2002 zum „schönsten Experiment der Physik”.

Einstein 1905, Millikan 1916. Einsteins Lichtquanten-Arbeit (für die er 1921 den Nobelpreis erhielt — nicht für die Relativitätstheorie) sagte die Stoppspannungs-Gerade quantitativ voraus. Robert Millikan hielt die Lichtquanten für Unsinn und baute ein Jahrzehnt lang immer bessere Apparaturen, um die Gerade zu widerlegen — er fand sie mit \(h\) auf ein halbes Prozent genau bestätigt und beschrieb Einsteins Hypothese noch in der Veröffentlichung der Bestätigung als „reckless”. Auch das ist Wissenschaft: Das Experiment gewinnt gegen die Überzeugung des Experimentators, und ein guter Messwert schlägt eine gute Meinung.

Was ein Photon nicht ist. Die Kugel-Vorstellung („kleines Lichtteilchen fliegt auf einer Bahn”) führt sofort in Widersprüche — welchen Spalt nähme die Kugel? In der Quantenelektrodynamik ist das Photon eine Anregungsstufe einer Feldmode: Erst löst man die Maxwell-Gleichungen (das haben wir 29 Kapitel lang getan), die Lösungen heißen Moden — und dann kann jede Mode nur ganzzahlig viele Energiequanten \(hf\) tragen. „Teilchen” ist daran nur die Unteilbarkeit der Portion beim Zählen. Der harte experimentelle Beleg, dass Poisson-Würfeln nicht alles ist, heißt Antibunching: Ein einzelnes angeregtes Atom sendet sein Photon und braucht dann eine Pause — zwei Klicks unmittelbar nacheinander sind unmöglich, während jede klassische Welle beliebig dicht klicken ließe. Gemessen wird das über die Intensitäts-Korrelation \(g^{(2)}(0) < 1\) (Hanbury Brown/Twiss-Aufbau); es ist der Goldstandard-Test für Einzelphotonen-Quellen der Quantenkryptografie.

Das Auge als Photonenzähler. Selig Hecht, Simon Shlaer und Maurice Pirenne zeigten 1942 mit dunkeladaptierten Versuchspersonen: Für eine bewusste Lichtwahrnehmung genügen etwa fünf bis sieben Photonen auf der Netzhaut — einzelne Stäbchenzellen antworten nachweislich schon auf ein Photon. Das nächtliche „Grieseln” beim Sternegucken ist zum Teil echtes Schrotrauschen: Bei einem Stern an der Sehgrenze treffen nur einige hundert Photonen pro Sekunde die Pupille, und das \(\sqrt{N}\)-Gesetz dieses Kapitels wird unmittelbar erlebbar.

Welcher Weg, modern. Die Komplementarität braucht keinen störenden Messfühler: Im Quantenradierer- Experiment wird die Weg-Information in die Polarisation des Photons geschrieben (eine λ/4-Platte pro Spalt — unsere Kapitel-28-Bekannte!) — die Streifen verschwinden, obwohl niemand misst. Löscht man die Markierung hinter dem Spalt wieder, kehren die Streifen zurück; in der Delayed-Choice-Variante fällt diese Entscheidung erst, nachdem das Photon die Spalte längst passiert hat. Die Buchhaltung stimmt trotzdem immer: Sichtbarkeit der Streifen und Verfügbarkeit der Weg-Information sind komplementär — je mehr vom einen, desto weniger vom anderen, quantitativ als Ungleichung fassbar.