Fahre mit einem feuchten Finger über den Rand eines Weinglases, bis es singt, und höre dann zu: Der Ton steht noch sekundenlang im Raum. Drei Sekunden Nachklang bei tausend Schwingungen pro Sekunde — das Glas schwingt dreitausendmal, bevor der Ton merklich verebbt. Ein Plastikbecher schafft keine einzige hörbare Schwingung. Offenbar gibt es eine Kennzahl, die „gute” von „schlechten” Schwingern trennt — wie viele Schwingungen ein Resonator durchhält, bevor seine Energie zur Neige geht. Sie heißt Güte und trägt den Buchstaben \(Q\).
Dieses Kapitel schuldet das Buch seinen Spektren: In Kapitel 10 standen die Resonanzen als Peaks im Kamm, und der Rote Faden versprach, dass diese Peaks „endlich eine Breite bekommen — und die erzählt von Verlusten”. Genau das passiert jetzt. Wir bauen den Kapitel-10-Resonator in die Fläche um (sein Kamm bekommt zwei Indizes), geben ihm dann Verluste und messen \(Q\) auf drei unabhängige Arten — am Abklingen, an der Linienbreite und mit einem neuen Meep-Messgerät namens Harminv, das in Kapitel 11 schon angekündigt war. Alle drei müssen dasselbe sagen, und es gibt eine exakte Theoriezahl, an der sich alle messen lassen müssen.
Lernziele
Nach diesem Kapitel kannst du …
… die Eigenfrequenzen eines rechteckigen Hohlraums berechnen (\(f_{mn}\)-Formel) und seine Modenbilder lesen (Bäuche und Knotenlinien),
… die Güte \(Q\) definieren (Energie pro Verlustrate) und das exponentielle Ausschwingen \(e^{-\omega t/2Q}\) herleiten,
… \(Q\) auf drei Arten messen — Abkling-Fit, Linienbreite \(\Delta f = f/Q\), Harminv — und erklären, warum alle drei dasselbe messen,
… begründen, warum eine endlich lange Schwingung keine beliebig scharfe Frequenz haben kann (die Kapitel-10-Reziprozität, quantitativ),
… Strahlungsverluste einschätzen: warum ein Loch in der Wand \(Q\) um Größenordnungen senkt — und warum die Gittertür des Mikrowellenherds trotzdem dicht ist.
15.1 Der Kamm bekommt zwei Indizes
Der Resonator aus Kapitel 10 war eine Strecke zwischen zwei Spiegeln: Hineinpassen musste eine ganze Zahl von Halbwellen, \(f_m = m \cdot c/2L\). In der Fläche gilt dasselbe Spiel zweimal — ein rechteckiger Kasten der Kantenlängen \(L_x \times L_y\) mit Metallwänden verlangt stehende Wellen in beiden Richtungen: \(k_x = m\pi/L_x\)und\(k_y = n\pi/L_y\). Den Rest erledigt der Satz des Pythagoras im \(k\)-Raum (\(|k|^2 = k_x^2 + k_y^2\), Kapitel 9) zusammen mit \(f = c|k|/2\pi\):
\[f_{mn} \;=\; \frac{c}{2}\sqrt{\Bigl(\frac{m}{L_x}\Bigr)^{\!2}
+ \Bigl(\frac{n}{L_y}\Bigr)^{\!2}},
\qquad m, n = 1, 2, 3, \dots\]
Die Handrechnung für unsere Bühne, einen \(4 \times 3\)-Kasten (Meep-Einheiten, \(c = 1\)): Die Grundmode TM\(_{11}\) liegt bei \(f_{11} = \tfrac{1}{2}\sqrt{1/16 + 1/9} = 0{,}2083\), darüber TM\(_{21} = 0{,}3005\), TM\(_{12} = 0{,}3560\) und TM\(_{22} = 2 f_{11} = 0{,}4167\) — kein gleichmäßiger Kamm mehr wie in 1D, sondern ein unregelmäßiges Linienmuster, weil zwei Zahlenpaare hineinregieren.
Das Experiment dazu kennt seine Teile längst: Bühne — eine Meep-Zelle, die nur aus dem \(4 \times 3\)-Kasten besteht; ganz ohne PML sind Meeps Zellränder PEC-Metallwände (Kapitel 11), der Kasten baut sich also von selbst. Auflösung 24. Anregung: der Glockenschlag aus Kapitel 10 — ein Gauß-Puls (um \(f = 0{,}3\), Bandbreite \(0{,}36\)) an einem absichtlich unsymmetrischen Punkt \((0{,}7,\ 0{,}45)\), damit keine Mode auf ihrem Knoten erwischt wird und stumm bleibt (die Lektion aus Ü 10.1). Gemessen wird an einer ebenso unsymmetrischen Sonde \((-0{,}6, -0{,}8)\): jede Zeitschritt-Probe über 2000 Zeiteinheiten, dann rfft — Werkzeugkette wörtlich aus Kapitel 10. Erfolgskriterium: die vier berechneten Linien auf einem Promille.
import osos.environ["HWLOC_HIDE_ERRORS"] ="2"# wie in Kap. 11–14import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport meep as mpmp.verbosity(0)LX, LY =4.0, 3.0AUFL =24DT =0.5/ AUFL # Meeps Zeitschritt (Courant 0,5, Kap. 11)FCEN, DF =0.30, 0.36QUELLE = mp.Vector3(0.7, 0.45)SONDE = mp.Vector3(-0.6, -0.8)def f_theorie(m, n):return0.5* np.sqrt((m / LX) **2+ (n / LY) **2)def kasten(sigma_d=0.0):"""Der 4×3-PEC-Hohlraum; optional verlustbehaftet gefüllt.""" geometrie = []if sigma_d >0:# mp.Medium(D_conductivity=σ): Material mit Stromverlusten —# das σ aus Kapitel 6, in Meeps Einheiten geometrie = [mp.Block(size=mp.Vector3(mp.inf, mp.inf, mp.inf), material=mp.Medium(D_conductivity=sigma_d))] quelle = [mp.Source(mp.GaussianSource(FCEN, fwidth=DF), component=mp.Ez, center=QUELLE)]return mp.Simulation(cell_size=mp.Vector3(LX, LY), resolution=AUFL, sources=quelle, geometry=geometrie)def sondenlauf(sigma_d, dauer):"""Puls anregen, Ez an der Sonde jeden Zeitschritt aufzeichnen.""" sim = kasten(sigma_d) reihe = [] sim.run(mp.at_every(DT, lambda s: reihe.append( s.get_field_point(mp.Ez, SONDE).real)), until=dauer)return np.array(reihe)reihe0 = sondenlauf(0.0, 2000.0)print(f"{len(reihe0)} Messwerte aufgenommen")
Using MPI version 4.1, 1 processes
96000 Messwerte aufgenommen
# von oben: reihe0, DT, f_theorie()spektrum0 = np.abs(np.fft.rfft(reihe0))fr = np.fft.rfftfreq(len(reihe0), DT)MODEN = ((1, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2))fig, ax = plt.subplots(figsize=(6.6, 3.0))zeige = (fr >0.15) & (fr <0.45)ax.plot(fr[zeige], spektrum0[zeige] / spektrum0[zeige].max(), lw=1.0)for m, n in MODEN: ax.axvline(f_theorie(m, n), color="gray", ls=":", lw=0.9) ax.annotate(f"TM{m}{n}", (f_theorie(m, n), 1.03), ha="center", fontsize=8)ax.set_ylim(0, 1.12)ax.set_xlabel("Frequenz (c/a)"); ax.set_ylabel("|Spektrum| (normiert)")plt.tight_layout(); plt.show()for m, n in MODEN: ft = f_theorie(m, n) maske = (fr > ft -0.01) & (fr < ft +0.01) fp = fr[maske][np.argmax(spektrum0[maske])]print(f"TM{m}{n}: gemessen {fp:.4f} | Theorie {ft:.4f}"f" ({(fp - ft) / ft *100:+.2f} %)")
Abbildung 15.1: Das Sondenspektrum des verlustfreien 4×3-Hohlraums nach einem einzigen Puls (Werkzeugkette aus Kapitel 10): Die Resonanzen stehen exakt auf den gepunkteten Theorielinien der f(m,n)-Formel — ein unregelmäßiger 2D-Kamm statt der gleichmäßigen 1D-Leiter aus Kapitel 10, weil jetzt zwei Modenzahlen mitspielen. Die Linien sind nadelscharf: Ohne Verluste klingt hier nichts ab, und die Breite ist allein durch die Aufnahmedauer begrenzt.
Abbildung 15.2: Die Feldmuster der vier tiefsten Moden (DFT-Felder bei den Eigenfrequenzen, Ez als Farbe): TM-mn hat m Bäuche in x und n Bäuche in y, getrennt von Knotenlinien, auf denen das Feld dauerhaft null bleibt — die Gitarrensaiten-Muster aus Kapitel 10, in die Fläche übersetzt. Die Knotenlinien sind keine Deko: Wo eine Mode einen Knoten hat, ist sie taub und stumm (Ü 10.1) — Übung 15.4 macht daraus ein Verlust-Experiment.
In dieser HTML-Fassung schwingen die vier Muster — und der Film zeigt, was „stehende Welle” in der Fläche heißt: Jeder Bauch atmet im Gleichtakt mit allen anderen seiner Mode (nur das Vorzeichen wechselt schachbrettartig von Bauch zu Bauch), und die Knotenlinien stehen dauerhaft still — fahre mit den Einzelschritt-Knöpfen durch und sieh nach, dass dort nie Farbe entsteht. Die Filmbilder sind keine neue Simulation: Das DFT-Feld aus dem Lauf von eben speichert zu jedem Ort Amplitude und Phase, daraus rekonstruiert eine Zeile Mathematik die Schwingung. (Damit die Schleife nahtlos läuft, zeigt der Film alle vier Moden im gleichen Phasentakt — in Echtzeit schwingt TM22 doppelt so schnell wie TM11.)
Code der Animation (nur in der HTML-Fassung)
# von oben: sim, dfts, MODEN, f_theorie(), LX, LYfrom matplotlib import animationfrom IPython.display import HTML# Das DFT-Feld ist ein Array KOMPLEXER Zahlen: Betrag = Amplitude,# Winkel = Phase der Schwingung an diesem Ort. Multiplikation mit# dem Einheitszeiger e^(-i·φ) (in Python: np.exp(-1j·φ), j ist die# imaginäre Einheit) dreht die Phase weiter; der Realteil ist das# Feld zum zugehörigen Zeitpunkt.felder_k = [sim.get_dft_array(dft, mp.Ez, 0) for dft in dfts]fig_a, achsen_a = plt.subplots(2, 2, figsize=(7.0, 5.0))bilder_a = []for ax, (m, n), feld inzip(achsen_a.flat, MODEN, felder_k): w = np.abs(feld).max() bilder_a.append(ax.imshow(np.real(feld).T, origin="lower", cmap="RdBu_r", vmin=-w, vmax=w, extent=(-LX /2, LX /2, -LY /2, LY /2))) ax.set_title(f"TM{m}{n} f = {f_theorie(m, n):.3f}", fontsize=9) ax.set_xlabel("x"); ax.set_ylabel("y")fig_a.tight_layout()def zeichne(j): phi =2* np.pi * j /16for bild, feld inzip(bilder_a, felder_k): bild.set_data(np.real(feld * np.exp(-1j* phi)).T)return bilder_aanim = animation.FuncAnimation(fig_a, zeichne, frames=16, interval=110)plt.close(fig_a)HTML(anim.to_jshtml(default_mode="loop"))
15.2 Die Güte: Schwingungen pro Energievorrat
Jetzt bekommt der Resonator Verluste — und wir brauchen die Kennzahl vom Kapitelanfang. Die Güte vergleicht, was ein Resonator hat, mit dem, was er verliert:
\[Q \;=\; \omega \cdot
\frac{\text{gespeicherte Energie } W}{\text{Verlustleistung } P},\]
mit \(\omega = 2\pi f\). Die Schreibweise mit \(\omega\) macht \(Q\) dimensionslos und gibt ihr die anschauliche Lesart: \(Q\) ist (bis auf den Faktor \(2\pi\)) die Zahl der Schwingungen, nach der der Energievorrat zur Neige geht. Denn aus der Definition folgt sofort eine Differentialgleichung — die Energie verliert pro Zeit \(P = \omega W/Q\), also \(W(t) = W_0\,e^{-\omega t/Q}\), und die Feldamplitude (Energie \(\propto\) Amplitude², Kapitel 5) klingt mit der halben Rate:
\[E(t) \;\propto\; e^{-\omega t/2Q}\cos(2\pi f t).\]
Das Weinglas vom Anfang: drei Sekunden bis \(1/e\) bei 1 kHz sind \(Q = \pi f \tau \approx 10^4\) (Ü 15.1 rechnet nach).
Als Verlustquelle nehmen wir zunächst die ehrlichste: ein schwach leitfähiges Material im ganzen Kasten — das \(\sigma\) aus Kapitel 6, das dem E-Feld Ströme entzieht. In Meep heißt es D_conductivity, und seine Konvention messen wir gleich selbst nach, statt sie zu glauben. Die Theorie dazu ist ein Einzeiler: Wenn die Amplitude mit der Rate \(\sigma_D/2\) fällt (das wird die Messung zeigen), dann ist \(\omega/2Q = \sigma_D/2\), also
— eine exakte Zielscheibe für alles, was folgt. Für \(\sigma_D = 0{,}02\) und die TM\(_{11}\) (\(f = 0{,}2083\)): \(Q = 65{,}4\).
15.3 Eine Linie kann nicht scharf bleiben
WarnungNaheliegende Vermutung
„Verluste machen die Schwingung leiser, aber nicht anders: Die Resonanzfrequenz bleibt ein scharfer, exakter Wert — man muss nur genau genug messen.”
Warum sie naheliegt: Die Frequenz steckt doch in der Geometrie (\(f_{mn}\)-Formel), und an der ändert ein bisschen Dämpfung nichts. Eine gedämpfte Gitarrensaite klingt ja auch nicht falsch, nur kürzer.
Was stattdessen stimmt: Eine Schwingung, die nach endlicher Zeit verstummt, hat keine exakt scharfe Frequenz — nicht aus Messfehlergründen, sondern grundsätzlich: Kapitel 10 hat gezeigt, dass kurz in der Zeit breit im Spektrum heißt, und ein abklingender Ton ist „kurz in der Zeit”. Seine Spektrallinie trägt eine echte, untilgbare Breite
\[\Delta f \;=\; \frac{f}{Q}\]
(Halbwertsbreite der Leistung). Je verlustärmer, desto schärfer — unendlich scharf wäre erst die unendlich lange Schwingung. Diese Breite ist keine Schwäche, sondern eine Messgröße: Wer die Linienbreite abliest, kennt die Verluste, ohne je das Abklingen gesehen zu haben.
Bevor wir das an Meep prüfen, eichen wir die Messroutine nach Kapitel-10-Sitte an einem Signal, dessen Wahrheit wir kennen — einer künstlichen gedämpften Schwingung mit exakt den Werten, die das Experiment gleich liefern soll (\(f = 0{,}2083\), Abklingzeit der Amplitude \(\tau = 2/\sigma_D = 100\), also Soll-\(Q = \pi f
\tau = 65{,}4\)):
# von oben: DT (Zeitraster wie im Experiment)def fwhm_guete(reihe, dt, f_nahe):"""Q aus der Halbwertsbreite des Leistungs-Peaks nahe f_nahe.""" leistung = np.abs(np.fft.rfft(reihe)) **2 fr = np.fft.rfftfreq(len(reihe), dt) idx = np.flatnonzero((fr > f_nahe -0.02) & (fr < f_nahe +0.02)) i0 = idx[np.argmax(leistung[idx])] halb = leistung[i0] /2 r = i0while leistung[r] > halb: # rechte Halbwerts-Flanke … r +=1 l = i0while leistung[l] > halb: # … und linke l -=1 fr_r = fr[r-1] + (fr[r] - fr[r-1]) * (leistung[r-1] - halb) \/ (leistung[r-1] - leistung[r]) # linear interpoliert fr_l = fr[l+1] - (fr[l+1] - fr[l]) * (leistung[l+1] - halb) \/ (leistung[l+1] - leistung[l])return fr[i0] / (fr_r - fr_l)t_test = np.arange(int(1200/ DT)) * DTkunst = np.exp(-t_test /100) * np.sin(2* np.pi *0.2083* t_test)print(f"Eichung am künstlichen Signal: Q = {fwhm_guete(kunst, DT, 0.2083):.1f}"f" (Soll: π·f·τ = {np.pi *0.2083*100:.1f})")
Die Routine misst richtig. Jetzt das echte Experiment.
15.4 Q, dreifach gemessen
Der Aufbau: derselbe Kasten, gefüllt mit \(\sigma_D = 0{,}02\), derselbe Puls, dieselbe Sonde, 1200 Zeiteinheiten Aufnahme. Gemessen wird dreimal unabhängig: (1) im Zeitbereich — die Einhüllende des abklingenden Signals (Blockmaxima, wie die Einhüllenden in Kapitel 6) auf der log-Skala linear gefittet; (2) im Frequenzbereich — die geeichte Halbwertsbreiten-Routine; (3) mit Harminv, Meeps eingebautem Modenanalysator: Er zerlegt eine kurze abklingende Zeitreihe direkt in gedämpfte Sinusschwingungen und liefert für jede gefundene Mode Frequenz, \(Q\) und Amplitude — gewissermaßen ein Spektrometer für Ungeduldige, das statt langer FFT-Aufnahmen ein Modell anpasst (300 Zeiteinheiten genügen ihm). Erfolgskriterium: Alle drei treffen die Theoriezahl \(2\pi f/\sigma_D = 65{,}4\) auf wenige Prozent — drei Messgeräte, die einander nie gesehen haben.
Abbildung 15.3: Links: das Sondensignal des gefüllten Resonators (blau, ausgedünnt) mit seiner Einhüllenden (orange Punkte) auf logarithmischer Skala — der exponentielle Abfall ist eine Gerade, und sie liegt auf der Theoriegeraden e^(−σt/2) (gestrichelt): Die gemessene Rate 0,01001 bestätigt Meeps σ_D-Konvention (σ_D/2 = 0,01) und liefert Q = 65,4. Rechts: der Zoom auf die TM11-Linie im Leistungsspektrum desselben Signals — aus der Nadel von eben ist eine Glockenkurve mit messbarer Halbwertsbreite geworden (graue Linie bei 50 %), und Δf = f/Q liefert Q = 62,6.
Abklingrate: 0.01001 (σ_D/2 = 0.01000)
Q aus dem Abklingen : 65.4
Q aus der Linienbreite : 62.6
Zwei Messungen stehen, die dritte übernimmt das neue Gerät:
# von oben: kasten(), SONDE, FCEN, DF, SIGMA, f11sim = kasten(SIGMA)# mp.Harminv(Komponente, Ort, fcen, df): Modenanalysator — zerlegt das# Signal am Ort in gedämpfte Sinusse und liefert (freq, Q, amp) je Modeharminv = mp.Harminv(mp.Ez, SONDE, FCEN, DF)# mp.after_sources(h): h erst NACH dem Quellpuls mitlaufen lassen —# Harminv soll das freie Ausschwingen sehen, nicht die Anregungsim.run(mp.after_sources(harminv), until_after_sources=300)moden_h = [md for md in harminv.modes ifabs(md.amp) >1e-4and md.freq >0.1]q_harminv =min(moden_h, key=lambda md: abs(md.freq - f11)).Qprint(f"Q aus Harminv : {q_harminv:.1f}")print(f"Q aus der Theorie 2πf/σ : {2* np.pi * f11 / SIGMA:.1f}")
Q aus Harminv : 65.2
Q aus der Theorie 2πf/σ : 65.4
\(65{,}4\) — \(62{,}6\) — \(65{,}2\) gegen die Theoriezahl \(65{,}4\): Drei grundverschiedene Auswertungen desselben physikalischen Sachverhalts, höchste Abweichung gut vier Prozent (die Linienbreite leidet am gröbsten unter dem endlichen Frequenzraster \(1/T\)). Das ist die Checkliste in Reinform — und nebenbei der Beleg, dass Abklingzeit und Linienbreite wirklich zwei Seiten derselben Münze sind.
Harminv hat aber noch mehr gesehen — es findet alle Moden im Anregungsband, jede mit eigenem \(Q\). Und weil \(Q = 2\pi f/
\sigma_D\) proportional zu \(f\) wächst (gleiche Verlustrate, aber mehr Schwingungen pro Zeit), liefert ein einziger Lauf gleich einen Vier-Punkte-Test der Theorie:
# von oben: moden_h, SIGMAprint("Mode f Q (Harminv) 2πf/σ_D Abweichung")for md insorted(moden_h, key=lambda md: md.freq): soll =2* np.pi * md.freq / SIGMAprint(f" {md.freq:.4f}{md.Q:8.1f}{soll:8.1f}"f" {(md.Q - soll) / soll *100:+.2f} %")
Vier Moden, vier Güten, alle auf der Geraden — unter einem halben Prozent. Wer so etwas misst, darf dem Werkzeug ab jetzt auch dort vertrauen, wo es keine Theoriezahl gibt. Gut, denn genau dorthin gehen wir jetzt.
15.5 Löcher: Verlust durch Strahlung
Reale Resonatoren verlieren selten durch ihr Füllmaterial — sie verlieren durch ihre Öffnungen: Energie strahlt davon. Das ist kein Defekt, sondern meist der Zweck (irgendwo muss das Signal ja hinein und heraus — jeder Laser braucht einen teildurchlässigen Spiegel). Der Aufbau: Der \(4\times3\)-Kasten wird jetzt aus PEC-Blockwänden (Dicke \(0{,}2\)) in eine größere, offene Zelle mit PML gebaut — wie die Doppelspalt-Wand in Kapitel 14, nur als geschlossener Rahmen; in die rechte Wand stanzen wir ein Loch der Breite \(w\). Eine Ehrlichkeit vorweg: Die diskretisierte Blockwand sitzt effektiv etwa einen Gitterpixel weiter außen, die TM\(_{11}\) rutscht dadurch um gut zwei Prozent auf \(f \approx 0{,}203\) — für die \(Q\)-Frage ist das egal, wir suchen Harminv-Moden einfach dort. Gemessen wird\(Q\) (Harminv) für Lochbreiten von \(0{,}4\) bis \(1{,}6\) — zur Einordnung: Die Wellenlänge der Mode ist \(\lambda = 1/f \approx
4{,}9\), das kleinste Loch misst also rund \(\lambda/12\).
WichtigVorhersage-Punkt
Der geschlossene Kasten hatte (numerisch) \(Q\) jenseits von \(10^4\). Was tut ein Loch von \(\lambda/12\) in der Wand — halbiert es die Güte, zehntelt es sie, oder ändert es fast nichts? Und wie stark fällt \(Q\) danach pro Verdopplung der Lochbreite?
Vier Messläufe, je 400 Zeiteinheiten Ausschwingen — und ein Schnappschuss des Lecks für das Auge:
Abbildung 15.4: Links: Schnappschuss des ausschwingenden Resonators mit Loch (w = 1,2) — innen schwingt noch die vom Puls angeregte Modenmischung, aus dem Loch tropft bei jeder Schwingung ein Wellenzug davon (Farbskala gespreizt, damit das schwache Leck sichtbar wird). Rechts: die Güte über der Lochbreite (Harminv, log-Skala): Von w = 0,8 bis 1,6 stürzt Q um anderthalb Größenordnungen — aber das kleine Loch (w = 0,4 ≈ λ/12) lässt Q bei zigtausend, praktisch dicht. Kleine Löcher sperren die Welle evaneszent (Kapitel 12), genau deshalb darf die Mikrowellenherd-Tür ein Lochgitter tragen.
w = 0.4: Q = 72479
w = 0.8: Q = 2580
w = 1.2: Q = 332
w = 1.6: Q = 77
Von \(w = 0{,}8\) bis \(1{,}6\) stürzt die Güte von 2600 auf 77 — das Loch ist der Verlustkanal, und jede Verbreiterung kostet brutal. Die eigentliche Überraschung ist aber das kleine Loch: Bei \(w = 0{,}4\) bleibt \(Q\) bei über siebzigtausend, vom geschlossenen Kasten im Rahmen unserer Messzeit nicht zu unterscheiden. Warum sperrt ein offenes Loch? Weil der Schlitz für die Welle ein winziger Wellenleiter ist, und in einen PEC-Kanal der Breite \(w\) passt keine laufende Ez-Welle mit \(\lambda > 2w\) (das Feld müsste an beiden Kanten null sein und dazwischen schwingen — dieselbe Arcussinus-Sackgasse wie beim Grenzwinkel in Kapitel 12). Unterhalb dieses Cutoffs dringt das Feld nur evaneszent in den Schlitz ein und klingt dort ab; unsere Mode mit \(\lambda = 4{,}9\) bräuchte \(w > 2{,}45\) für freie Durchfahrt. Genau darum darfst du durch die Gittertür eines Mikrowellenherds hindurchschauen: Die Millimeter-Löcher sind für sichtbares Licht (\(\lambda \sim 0{,}5\) µm) Scheunentore, für die 12-cm-Mikrowelle aber tief unter Cutoff. Kapitel 17 macht aus diesem Nebensatz ein eigenes Kapitel.
15.6 Das Kapitel-Programm
programme/kap15/kap15_resonanz_guete.py bündelt alle Befunde eigenständig, mit assert-Schranken: Kammfrequenzen auf \(0{,}2\,\%\), Abklingrate \(= \sigma_D/2\) auf \(5\,\%\), alle drei \(Q\)-Messungen binnen \(10\,\%\) an \(2\pi f/\sigma_D\), die vier Harminv-Moden auf \(2\,\%\) an der \(Q\)-Geraden, und die Loch-Hierarchie (\(Q_{0{,}4} > 20\,Q_{0{,}8} > \dots\)).
TippMerkkasten
Hohlraum-Moden:\(f_{mn} = \tfrac{c}{2}\sqrt{(m/L_x)^2 +
(n/L_y)^2}\) — der Kapitel-10-Kamm mit zwei Indizes; Modenbilder mit Bäuchen und Knotenlinien.
Güte\(Q = \omega W/P\): Amplitude klingt mit \(e^{-\omega t/2Q}\), Energie mit \(e^{-\omega t/Q}\). Material mit \(\sigma_D\): exakt \(Q = 2\pi f/\sigma_D\) (Konvention selbst nachgemessen: Rate \(= \sigma_D/2\)).
Endlich lang = endlich scharf: Die Linie trägt die Breite \(\Delta f = f/Q\) — Abklingzeit und Linienbreite sind dieselbe Information (Kapitel-10-Reziprozität, quantitativ). Drei Messwege, ein Ergebnis: 65,4 / 62,6 / 65,2 gegen 65,4.
Harminv misst \(f\) und \(Q\) aller Moden aus einer kurzen Zeitreihe — das Spektrometer für Ungeduldige (und für hohe \(Q\), denen keine FFT-Aufnahme lang genug wäre).
Löcher strahlen — \(Q\) fällt um Größenordnungen mit der Lochbreite; aber unterhalb des Cutoffs (\(\lambda > 2w\)) sperrt der Schlitz evaneszent. Mikrowellentür-Prinzip.
Roter Faden
Die Glocke aus Kapitel 10 hat jetzt ihre Kennzahl, ihr Kamm seine zweite Dimension und ihre Peaks die versprochene Breite — geliefert von der Reziprozität, die dort „Chor” hieß. Das \(\sigma\) aus Kapitel 6 wurde vom Störenfried zum geeichten Werkzeug, die DFT-Felder aus Kapitel 11 malten die Modenbilder, und das evaneszente Sperren aus Kapitel 12 erklärt nebenbei die Mikrowellentür. Nach vorn: Kapitel 17 nimmt sich den Cutoff als Hauptdarsteller vor (Hohlleiter und Tunneln), Kapitel 19 überträgt \(Q\) auf den schwingenden Stromkreis, und in Kapitel 27 wird der teildurchlässige Resonator zur Hauptfigur — Fabry-Pérot und der Schritt zum Laser leben exakt von dem Kompromiss, den unser Koppel-Loch vorgeführt hat: Ohne Leck kein Nutzsignal, mit Leck kein hohes \(Q\).
Übungen
Ü 15.1 (Verstehen). Das Weinglas vom Kapitelanfang: \(f =
1000\) Hz, die Amplitude braucht \(\tau = 3\) s bis auf \(1/e\). Berechne \(Q\) von Hand (aus \(e^{-\omega t/2Q}\) folgt \(Q = \pi f
\tau\)). Wie lange müsste ein Resonator mit dem \(Q\) unserer TM\(_{11}\) (\(Q = 65\)) bei 1000 Hz nachklingen — und warum klingt ein Plastikbecher gar nicht?
HinweisMusterlösung zu Ü 15.1
\(Q = \pi f \tau = \pi \cdot 1000 \cdot 3 \approx 9400\) — das Weinglas ist ein Resonator mit der Güte zehntausend (Glas ist steif und innerlich verlustarm). Mit \(Q = 65\) wäre \(\tau = Q/
(\pi f) = 65/(\pi \cdot 1000) \approx 21\) ms — ein dumpfer „Tock” statt eines Tons. Der Plastikbecher liegt noch darunter: Weiche Polymere wandeln Schwingungsenergie in innere Reibung (Wärme) um, \(Q\) einstellig, die Schwingung ist nach wenigen Perioden verzehrt — und eine Linie mit \(\Delta f = f/Q \sim
f/5\) ist so breit, dass von „Tonhöhe” keine Rede mehr sein kann. Genau deshalb singt Glas und klackt Plastik.
Ü 15.2 (Verstehen). Im Mikrowellenherd (2,45 GHz) gibt es notorisch heiße und kalte Stellen, und ein Drehteller. Erkläre beides mit den Modenbildern dieses Kapitels — und rechne nach: Legt man eine Tafel Schokolade hinein (ohne Teller!), schmelzen Flecken im Abstand von etwa 6 cm. Welche Naturkonstante kann man daraus bestimmen?
HinweisMusterlösung zu Ü 15.2
Die Garkammer ist ein Hohlraumresonator, und das Feld darin ist eine Überlagerung von Moden wie in unseren Bildern — mit Bäuchen (heiß) und Knotenlinien (kalt, dort steht das Feld dauerhaft auf null). Der Drehteller fährt das Essen durch Bäuche und Knoten, damit es im Mittel überall gart. Die Schmelzflecken der Schokolade markieren die Bäuche einer stehenden Welle; benachbarte Bäuche liegen \(\lambda/2\) auseinander (Kapitel 6), also \(\lambda \approx 12{,}2\) cm — und mit der aufgedruckten Frequenz folgt \(c = \lambda f \approx 0{,}122 \cdot 2{,}45 \cdot 10^9 \approx
3{,}0 \cdot 10^8\) m/s: die Lichtgeschwindigkeit, gemessen mit Schokolade. (Im Detail mitteln reale Herde über mehrere Moden und verstimmen sich durch das Gargut — die 6 cm sind erstaunlich robust, aber kein Präzisionsexperiment.)
Ü 15.3 (Verändern). Verdopple und halbiere \(\sigma_D\) (\(0{,}01\) / \(0{,}02\) / \(0{,}04\)) und miss jeweils mit Harminv das \(Q\) der stärksten Mode (das ist hier die TM\(_{12}\) — sie liegt der Quelle am günstigsten). Sage vorher, was herauskommen muss, und prüfe gegen \(Q = 2\pi f/\sigma_D\).
HinweisMusterlösung zu Ü 15.3
\(Q \propto 1/\sigma_D\): doppelte Verluste, halbe Güte — für die TM\(_{12}\) (\(f = 0{,}356\)) erwartet also etwa \(224 / 112 / 56\):
# von oben: kasten(), SONDE, FCEN, DFfor sig in (0.01, 0.02, 0.04): sim = kasten(sig) h = mp.Harminv(mp.Ez, SONDE, FCEN, DF) sim.run(mp.after_sources(h), until_after_sources=300) md =max((m for m in h.modes if m.freq >0.1), key=lambda m: abs(m.amp))print(f"σ_D = {sig}: f = {md.freq:.4f}, Q = {md.Q:6.1f}"f" (Theorie {2* np.pi * md.freq / sig:6.1f})")
Die Halbierung pro Verdopplung sitzt — und der letzte Wert verrät nebenbei die Grenze des Messgeräts: Bei \(\sigma_D =
0{,}04\) ist das Signal nach den 300 Zeiteinheiten der Analyse um \(e^{-6}\) gefallen, Harminv fittet zunehmend am Restrauschen und liegt sechs Prozent unter der Theorie (wer die Analysezeit verkürzt, trifft besser). Noch deutlicher trifft es die leise TM\(_{11}\): Sie taucht bei \(\sigma_D = 0{,}04\) in der Modenliste gar nicht mehr auf — schwach angeregte, stark gedämpfte Moden verliert Harminv zuerst. Der praktische Umkehrschluss bleibt: Wer \(Q\) misst, kennt die Verluste seines Materials — die Linienbreite ist ein Materialprüfgerät.
Ü 15.4 (Übertragen). Versetze das Loch (\(w = 1{,}2\)) von der rechten Wand in die Mitte der oberen Wand (bei \(x = 0\)) und lies mit Harminv die Güten der TM\(_{11}\) (bei \(\approx 0{,}20\)) und der TM\(_{21}\) (bei \(\approx 0{,}29\)) ab. Wirf vorher einen Blick auf die beiden Modenbilder: Welche der beiden Moden wird das Loch kaum bemerken — und warum?
HinweisMusterlösung zu Ü 15.4
Die TM\(_{21}\) hat bei \(x = 0\) ihre Knotenlinie — genau dort, wo das Loch sitzt, ist ihr Feld ohnehin null, es gibt nichts, was hinausstrahlen könnte. Die TM\(_{11}\) dagegen hat bei \(x = 0\) ihren Bauch direkt an der oberen Wand:
TM11: f = 0.1970, |Q| = 204
TM21: f = 0.2933, |Q| = 46386
Die TM\(_{11}\) bricht auf \(Q\) in der Größenordnung 200 ein, die TM\(_{21}\) bleibt bei \(|Q| > 10^4\) — ein Resonator verliert nur dort, wo seine Mode wohnt. (Bei derart verlustarmen Moden kann Harminv sogar ein sinnloses Vorzeichen liefern — lies \(|Q|\) schlicht als „zu groß für 400 Zeiteinheiten Messzeit”.) Dieses Prinzip ist ein Designwerkzeug: Sensoren koppeln dort an, wo die Mode stark ist; Störquellen versteckt man auf ihren Knoten — und ein selektives Loch kann aus einem Resonator einen Modenfilter machen, der eine Mode entlässt und die andere hütet.
Das Kleingedruckte
Drei Randnotizen. Erstens: Die Linienform unserer Resonanz ist eine Lorentz-Kurve — sie fällt zu den Flanken viel träger als eine Gauß-Glocke, weshalb sich nahe Resonanzen schon „anschmecken”, lange bevor man sie trifft (Kapitel 16 begegnet derselben Kurve als Materialantwort wieder). Zweitens: Wer den Resonator nicht anschlägt, sondern mit einem Dauerton der Frequenz \(f\)treibt, misst als Antwortamplitude über \(f\) exakt dieselbe Lorentz-Linie — Linienbreite und Resonanzkurve der erzwungenen Schwingung sind ein und dasselbe Objekt; unser Puls hat nur (Kapitel 10!) alle Treibfrequenzen gleichzeitig abgefragt. Drittens: Reale Hohlraumwände aus echtem Metall sind keine perfekten Spiegel; ihre Restverluste begrenzen Mikrowellen-Resonatoren auf \(Q \sim 10^4\), supraleitende Kavitäten schaffen \(10^{10}\) — dort schwingt ein Feld sekundenlang, das beste Weinglas der Physik.
