import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt25 Die elektrisch kleine Antenne — warum 50 Hz nicht funkt
Durch deine Küche fließen kräftigere Wechselströme als durch manchen Rundfunksender: Ein Herd zieht 16 Ampere, fünfzigmal pro Sekunde hin und her. Und seit Kapitel 21 wissen wir: Beschleunigte Ladung strahlt — jeder Draht ist eine Antenne. Wechselstrom ist nichts als pausenlos beschleunigte Ladung. Müsste der Äther dann nicht voller 50-Hz-Sender sein, jedes Haus ein Rundfunkturm, jedes Verlängerungskabel ein Störsender für den ganzen Kontinent?
Ist er nicht — und Kapitel 19 hat versprochen, dass die Begründung am Ende eine einzige Längenrechnung ist. Dieses Kapitel löst das Versprechen ein und schließt damit Teil VI: Es vermisst, wie dramatisch eine Antenne einbricht, die klein gegen ihre Wellenlänge ist — und warum sich dieser Einbruch weder mit Leistung noch mit Trickschaltungen wegkaufen lässt. Unterwegs fällt Licht auf eine Technik, die das vermeintliche Versagen absichtlich ausnutzt: die Karte, mit der du morgens die Bürotür öffnest.
Lernziele
Nach diesem Kapitel kannst du …
- … den Strahlungswiderstand \(R_s\) erklären (\(P = \tfrac{1}{2}\hat I^2 R_s\)) und wissen, warum er für kurze Dipole wie \(R_s = 20\pi^2 (l/\lambda)^2\) einbricht — und du hast die Formel mit NEC über eine Dekade nachgemessen,
- … die 50-Hz-Längenrechnung führen: Wirkungsgrad \(\eta = R_s/(R_s + R_V)\) eines Netzkabels (\(\approx 5 \cdot 10^{-9}\)) und die Doppelleitungs-Auslöschung obendrauf,
- … erklären, warum das Nahfeld einer kleinen Antenne pendelt statt sendet (Blindleistung, Kapitel 21) — und warum der Brumm im Verstärker trotzdem real ist,
- … das doppelte Gefängnis kleiner Antennen benennen: der Blindanteil-Abgrund (Verlängerungsspulen verheizen den Rest) und die Chu-Grenze (winzige Bandbreite),
- … die Auswege einordnen: Empfangen ist nicht Senden, NFC ist absichtliches Nahfeld, und Längstwellenfunk braucht Antennen von der Größe eines Dorfes.
25.1 Der Strahlungswiderstand: Funk als Widerstand im Schaltplan
Kapitel 21 hat gemessen, dass ein Dipol strahlt, und Kapitel 22, wie man Leistung zu ihm hinbringt. Jetzt verbinden wir beides mit einer Buchhalter-Größe. Vom Speisepunkt aus gesehen tut eine Antenne dasselbe wie ein Widerstand: Sie nimmt Wirkleistung auf und gibt sie nie zurück — nur verheizt sie sie nicht, sondern schickt sie als Welle davon. Man definiert deshalb den Strahlungswiderstand
\[P_{\text{abgestrahlt}} \;=\; \tfrac{1}{2}\,\hat I^2\, R_s,\]
mit \(\hat I\) als Stromamplitude am Speisepunkt. \(R_s\) ist keine Materialeigenschaft, sondern reine Geometrie — beim \(\lambda/2\)-Dipol sind es die berühmten \(\approx 73\ \Omega\) (der Wirkanteil, den unsere NEC-Läufe in Kapitel 24 immer mitgeliefert haben).
Was passiert, wenn die Antenne kurz gegen die Wellenlänge wird? Das Knick-Argument aus Kapitel 21 gibt die Antwort her: Das Strahlungsfeld ist proportional zur beschleunigten Ladungsmenge — für einen Stromfaden also zum Produkt aus Strom und Länge, \(\hat I \cdot l\), und zur Frequenz. In Wellenlängen-Sprache: Das Feld trägt einen Faktor \(l/\lambda\), die Leistung dessen Quadrat. Für den mittengespeisten kurzen Dipol (auf dem der Strom dreieckig von der Mitte zu den Enden abfällt — die Enden sind Sackgassen, Kapitel 21) lautet das Ergebnis der Lehrbuchrechnung kompakt:
\[R_s \;=\; 20\pi^2 \left(\frac{l}{\lambda}\right)^2 \qquad (l \ll \lambda).\]
Die Handrechnung dazu: Ein Dipol von einem Zehntel der Wellenlänge hat
\[R_s = 20\pi^2 \cdot 0{,}1^2 = 20 \cdot 9{,}87 \cdot 0{,}01 \approx 1{,}97\ \Omega\]
— von 73 Ω auf zwei Ohm, obwohl die Antenne nur um den Faktor fünf geschrumpft ist. Halbe Länge heißt ein Viertel des Strahlungswiderstands. Heraus kommt ein Skalar in Ohm, und er ist der Wechselkurs zwischen Strom und Funkleistung.
25.1.1 Die NEC-Messreihe
Formeln prüfen wir nach — der Werkzeugkasten steht seit Kapitel 24 bereit. Der Versuchsaufbau: Frage: Folgt \(R_s(l/\lambda)\) wirklich der \(20\pi^2(l/\lambda)^2\)-Parabel, und was macht der Blindanteil? Bühne: ein einzelner mittengespeister Dipol in NEC bei 2450 MHz, Längen von \(0{,}04\) bis \(0{,}4\,\lambda\). Eine Lehre aus Kapitel 24 fließt direkt ein: Bei \(l/\lambda = 0{,}04\) ist ein Segment nur \(0{,}44\) mm lang — mit dem 1-mm-Draht von dort läge die Rechnung außerhalb des MoM-Gültigkeitsfensters (Segmentlänge \(\gtrsim 4\) Radien). Also Drahtradius 0,1 mm; damit bleibt die ganze Reihe im grünen Bereich. Messgrößen: \(Z = R + \mathrm{j}X\) am Speisepunkt. Erfolgskriterium: \(R\) auf der Theorie-Parabel (log-log-Steigung 2) für \(l/\lambda \le 0{,}15\); für längere Dipole darf die Kurzdipol-Formel ehrlich abweichen.
Vorhersage-Punkt (PRIMM): Der Blindanteil \(X\) — wird er für kürzere Dipole größer oder kleiner? Denk an Kapitel 24: Ein Dipol unterhalb seiner Resonanzlänge ist kapazitiv, und ein kurzer Stab ist ein winziger Kondensator …
# von oben: nichts Neues — NEC-Bausteine aus Kap. 11/24
import necpp
C_LICHT = 299792458.0
F_MHZ = 2450.0
LAM = C_LICHT / (F_MHZ * 1e6)
R_DRAHT = 0.0001 # 0,1 mm — Kap.-24-Segmentregel!
SEG = 11
def dipol_z(l_lambda):
"""Eingangsimpedanz eines mittengespeisten Einzeldipols."""
ctx = necpp.nec_create()
halb = l_lambda * LAM / 2
necpp.nec_wire(ctx, 1, SEG, 0, -halb, 0, 0, halb, 0,
R_DRAHT, 1.0, 1.0)
necpp.nec_geometry_complete(ctx, 0)
necpp.nec_fr_card(ctx, 0, 1, F_MHZ, 0)
necpp.nec_ex_card(ctx, 0, 1, (SEG + 1) // 2, 0, 1.0, 0, 0, 0, 0, 0)
necpp.nec_rp_card(ctx, 0, 1, 3, 0, 5, 0, 0, 90.0, 0.0, 0.0,
180.0, 0.0, 0.0)
z = complex(necpp.nec_impedance_real(ctx, 0),
necpp.nec_impedance_imag(ctx, 0))
necpp.nec_delete(ctx)
return z
ll = np.array([0.04, 0.06, 0.08, 0.10, 0.15, 0.20, 0.30, 0.40])
z_reihe = np.array([dipol_z(L) for L in ll])
kurz = ll <= 0.15
steigung = np.polyfit(np.log(ll[kurz]),
np.log(z_reihe.real[kurz]), 1)[0]
print(f"log-log-Steigung für l/λ ≤ 0,15: {steigung:.3f} (Theorie 2)")
print(f"l/λ = 0,10: R = {z_reihe.real[3]:.2f} Ω "
f"(Formel: {20 * np.pi**2 * 0.01:.2f}), "
f"X = {z_reihe.imag[3]:+.0f} Ω")
print(f"l/λ = 0,04: R = {z_reihe.real[0]:.3f} Ω, "
f"X = {z_reihe.imag[0]:+.0f} Ω")log-log-Steigung für l/λ ≤ 0,15: 2.075 (Theorie 2)
l/λ = 0,10: R = 2.06 Ω (Formel: 1.97), X = -1201 Ω
l/λ = 0,04: R = 0.308 Ω, X = -2165 Ω# von oben: ll, z_reihe
fig, (a1, a2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(7.4, 3.6))
a1.loglog(ll, z_reihe.real, "bo", label="NEC-Messung")
lfein = np.linspace(0.03, 0.45, 200)
a1.loglog(lfein, 20 * np.pi**2 * lfein**2, "r-", lw=1.3,
label=r"$20\pi^2(l/\lambda)^2$")
a1.set_xlabel("Dipollänge l/λ")
a1.set_ylabel(r"$R_s$ (Ω)")
a1.set_title("der quadratische Einbruch", fontsize=10)
a1.legend(fontsize=8)
a2.semilogx(ll, -z_reihe.imag, "go-")
a2.set_xlabel("Dipollänge l/λ")
a2.set_ylabel("kapazitiver Blindwiderstand −X (Ω)")
a2.set_title("der Blindanteil-Abgrund", fontsize=10)
fig.tight_layout()
plt.show()
Die Antwort auf den Vorhersage-Punkt: Der Blindanteil explodiert zu kurzen Dipolen hin — bei \(l/\lambda = 0{,}04\) stehen \(-2165\ \Omega\) Kondensator-Blindwiderstand gegen \(0{,}31\ \Omega\) Strahlungswiderstand. Eine kleine Antenne ist elektrisch fast nur Kondensator mit einem Hauch Funk darin. Beide Panels zusammen sind die Anklageschrift; das Urteil spricht jetzt die Längenrechnung.
25.2 Die 50-Hz-Längenrechnung
Jetzt das Versprechen aus Kapitel 19. Wir nehmen das schlimmste anzunehmende Szenario: zehn Meter Netzkabel, absichtlich als Antenne missbraucht — ein offener Draht, mittig gespeist, voller Herdstrom (16 A effektiv). Die Rechnung läuft in fünf Zeilen:
# von oben: C_LICHT
lam_50 = C_LICHT / 50 # Wellenlänge bei 50 Hz
l_kabel = 10.0
R_s50 = 20 * np.pi**2 * (l_kabel / lam_50)**2
rho_cu, A_kabel = 1.7e-8, 1.5e-6 # Kupfer, 1,5 mm²
R_v = rho_cu * l_kabel / A_kabel # Drahtwiderstand
eta = R_s50 / (R_s50 + R_v)
print(f"λ(50 Hz) = {lam_50 / 1000:.0f} km → l/λ = "
f"{l_kabel / lam_50:.2e}")
print(f"R_s = {R_s50:.2e} Ω gegen R_V = {R_v:.3f} Ω")
print(f"Wirkungsgrad η = R_s/(R_s + R_V) = {eta:.1e}")
print(f"16-A-Herd: P_funk = I² · R_s = {16**2 * R_s50:.2e} W")λ(50 Hz) = 5996 km → l/λ = 1.67e-06
R_s = 5.49e-10 Ω gegen R_V = 0.113 Ω
Wirkungsgrad η = R_s/(R_s + R_V) = 4.8e-09
16-A-Herd: P_funk = I² · R_s = 1.41e-07 W(Eine Sorgfaltsfrage am Rande: Gilt bei 50 Hz überhaupt der Gleichstrom-Drahtwiderstand? Ja — die Skin-Tiefe, ab Kapitel 18 ein Bekannter, beträgt bei 50 Hz in Kupfer 9,3 mm und ist damit viel größer als der Drahtradius; der Strom nutzt den vollen Querschnitt.)
Das Ergebnis verdient ein langsames Aussprechen: Der Strahlungswiderstand von zehn Metern Draht bei 50 Hz beträgt ein halbes Nano-Ohm. Der Wirkungsgrad ist fünf Milliardstel. Ein voll aufgedrehter Küchenherd, dessen Zuleitung wir mutwillig zur Antenne aufgebogen haben, sendet 0,14 Mikrowatt — weniger als ein Fitnessarmband. Die 955-km- Nahfeldgrenze aus Kapitel 21 sagte qualitativ „alles Nahfeld”; die \((l/\lambda)^2\)-Formel macht daraus eine Zahl, gegen die es keine Berufung gibt.
Und die Wirklichkeit ist noch gnadenloser, denn echte Kabel sind Doppelleitungen: Hin- und Rückleiter tragen entgegengesetzte Ströme wenige Millimeter voneinander. In der Sprache von Kapitel 23 ist das die Belegung \([1, -1]\) mit \(d \ll \lambda\) — der Faltungssatz multipliziert das Diagramm des Paars an alles dran, und dessen Wert ist winzig:
# von oben: lam_50, R_s50
kd = 2 * np.pi * 0.005 / lam_50 # Aderabstand 5 mm
daempfung = (kd / 2)**2 # |1 − e^{ikd}|²/4 ≈ (kd/2)²
print(f"Doppelleitungs-Faktor (kd/2)² = {daempfung:.1e}")
print(f"P_funk des Herds mit echtem Kabel: "
f"{16**2 * R_s50 * daempfung:.1e} W")Doppelleitungs-Faktor (kd/2)² = 6.9e-18
P_funk des Herds mit echtem Kabel: 9.6e-25 W\(10^{-24}\) Watt. Zum Vergleich: Das ist die Leistung, die ein einzelnes WLAN-Photon … nein, für diese Zahl gibt es keinen hilfreichen Vergleich mehr. Das Stromnetz funkt nicht — nicht, weil es zu schwach wäre, sondern weil es, gemessen an seiner Wellenlänge, zu klein ist. Sechstausend Kilometer Welle gegen zehn Meter Draht: Das ist dasselbe Verhältnis wie eine 2,4-GHz-WLAN-Welle gegen eine Antenne von der Größe eines Virus.
25.3 Pendeln statt senden
Wohin geht dann die Feldenergie, die ein 50-Hz-Kabel zweifellos um sich herum aufbaut? Kapitel 21 hat es am Hertz-Dipol gemessen: Im Nahfeld dominiert die Blindleistung — das Verhältnis Blind zu Wirk wächst wie \(1/(kr)^3\). Die Energie schwappt im Takt der Schwingung vom Draht ins Feld und wieder zurück, wie Wasser in einer schwappenden Wanne; nur ein Riesel-Anteil entkommt als Welle. Mit den analytischen Hertz-Dipol-Feldern (genau denen, deren Beträge Kapitel 21 über anderthalb Dekaden bestätigt hat) lässt sich das Schwappen direkt ansehen — als Zeitverlauf der radialen Energiestromdichte \(S_r(t)\):
# von oben: nichts Neues — die komplexen Hertz-Felder (Kap. 21),
# dimensionslos in u = kr, hier bei θ = 90° (Äquator)
def hertz_eth_hph(u):
"""E_theta und H_phi des Hertz-Dipols (komplex, normiert)."""
eiu = np.exp(1j * u)
H = (1 / u - 1j / u**2) * eiu
E = (1 / u - 1j / u**2 - 1 / u**3) * eiu
return E, H
t = np.linspace(0, 4 * np.pi, 400) # zwei Perioden
fig, ax = plt.subplots(figsize=(7.0, 4.0))
for u, farbe, name in ((0.3, "tab:blue", "kr = 0,3 (Nahfeld)"),
(5.0, "tab:red", "kr = 5 (Fernfeld)")):
E, H = hertz_eth_hph(u)
S_r = np.real(E * np.exp(-1j * t)) * np.real(H * np.exp(-1j * t))
ax.plot(t / (2 * np.pi), S_r / np.abs(S_r).max(), color=farbe,
lw=1.6, label=name)
ax.axhline(S_r.mean() / np.abs(S_r).max(), color=farbe, ls="--",
lw=0.9, alpha=0.7)
ax.axhline(0, color="0.5", lw=1)
ax.set_xlabel("Zeit (Perioden)")
ax.set_ylabel(r"$S_r(t)$, normiert")
ax.set_title("Nahfeld pendelt (S_r wird negativ), Fernfeld fließt")
ax.legend(fontsize=9)
plt.show()
E, H = hertz_eth_hph(0.3)
S = E * np.conj(H)
print(f"kr = 0,3: |Blind/Wirk| = {abs(S.imag / S.real):.1f}"
f" (Theorie 1/(kr)³ = {1 / 0.3**3:.1f})")
kr = 0,3: |Blind/Wirk| = 37.0 (Theorie 1/(kr)³ = 37.0)Die blaue Kurve wird fast so tief negativ, wie sie positiv wird — netto bleibt bei \(kr = 0{,}3\) nur ein Bruchteil; das Blind-zu-Wirk-Verhältnis trifft die \(1/(kr)^3\)-Formel aus Kapitel 21 exakt. Genau dieses Schwappen ist übrigens der 50-Hz-Brumm, den eine Gitarre am Verstärker einfängt: kein empfangener Funk, sondern direktes Mitbaden im pendelnden Nahfeld — Übung 25.1 zieht die Grenze sauber.
Im Film wird aus den zwei Kurven ein ganzer Strahl: \(S_r\) entlang des Abstands \(kr\) (mit \((kr)^2\) skaliert, sonst erschlüge das Nahfeld alles), animiert über eine Periode. Sieh zu, wie links die Fläche unter heftigem Auf und Ab ihr Vorzeichen wechselt — Energie raus, Energie zurück — während rechts ab \(kr \approx 1\) (der \(\lambda/2\pi\)-Grenze!) ein ruhiger, immer positiver Strom übrig bleibt: der Anteil, der es in die Welt schafft.
Code der Animation (nur in der HTML-Fassung)
# von oben: hertz_eth_hph()
from matplotlib import animation
from IPython.display import HTML
u_strahl = np.linspace(0.25, 6.0, 300)
E_s, H_s = hertz_eth_hph(u_strahl)
phasen = np.linspace(0, 2 * np.pi, 16, endpoint=False)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(7.0, 4.0))
S0 = (np.real(E_s) * np.real(H_s)) * u_strahl**2
linie, = ax.plot(u_strahl, S0, "b-", lw=1.8)
flaeche = ax.fill_between(u_strahl, 0, S0, color="tab:blue",
alpha=0.25)
ax.axhline(0, color="0.5", lw=1)
ax.axhline(0.5, color="tab:red", ls="--", lw=1,
label=r"Zeitmittel $\langle S_r \rangle (kr)^2$")
ax.axvline(1.0, color="0.6", ls=":", lw=1.2)
ax.text(1.05, -7.5, "kr = 1 (λ/2π)", fontsize=9, color="0.4")
ax.set_xlim(0, 6)
ax.set_ylim(-9, 9) # Lupe: Nahfeld ragt hinaus!
ax.set_xlabel("Abstand kr")
ax.set_ylabel(r"$S_r(t) \cdot (kr)^2$")
titel = ax.set_title("", fontsize=10)
ax.legend(loc="upper right", fontsize=9)
fig.subplots_adjust(top=0.86)
def bild(i):
global flaeche
St = (np.real(E_s * np.exp(-1j * phasen[i]))
* np.real(H_s * np.exp(-1j * phasen[i]))) * u_strahl**2
linie.set_ydata(St)
flaeche.remove()
flaeche = ax.fill_between(u_strahl, 0, St, color="tab:blue",
alpha=0.25)
titel.set_text("Energiestrom am Hertz-Dipol — "
f"t = {phasen[i] / (2 * np.pi):.2f} Perioden\n"
"(Skala gekappt: das Nahfeld pendelt weit hinaus)")
return [linie, flaeche, titel]
anim = animation.FuncAnimation(fig, bild, frames=len(phasen),
interval=140)
plt.close(fig)
HTML(anim.to_jshtml(default_mode="loop"))25.4 Das erste Gefängnis: der Blindanteil-Abgrund
Zurück zur Anpassungsfrage. Wer die kleine Antenne trotzdem betreiben will, muss ihre riesige Kapazität wegstimmen — eine Verlängerungsspule in Serie liefert \(+\mathrm{j}|X|\) gegen das \(-\mathrm{j}|X|\) des Stabs (das L-Glied-Denken aus Kapitel 22/24). Auf dem Papier kostet das nichts; real hat jede Spule Drahtverluste, zusammengefasst in ihrer Güte \(Q_L = |X_L| / R_{\text{Spule}}\) (die Bauteil-Schwester der Resonator-Güte aus Kapitel 15). Eine solide Luftspule schafft \(Q_L \approx 100\) — und damit wird die Rechnung bitter:
# von oben: dipol_z()
z = dipol_z(0.10)
R_spule = abs(z.imag) / 100 # Q_L = 100
eta_gesamt = z.real / (z.real + R_spule)
print(f"l/λ = 0,1: Z = {z.real:.2f} {z.imag:+.0f}j Ω")
print(f"Spule kompensiert {abs(z.imag):.0f} Ω und verheizt dabei "
f"{R_spule:.1f} Ω")
print(f"η = R_s/(R_s + R_Spule) = {eta_gesamt:.2f}")l/λ = 0,1: Z = 2.06 -1201j Ω
Spule kompensiert 1201 Ω und verheizt dabei 12.0 Ω
η = R_s/(R_s + R_Spule) = 0.15Die Spule, die den \(\lambda/10\)-Dipol überhaupt erst anschließbar macht, frisst 85 % der Leistung. Je kürzer die Antenne, desto größer \(|X|\), desto mehr verheizt die Kompensation — der Blindanteil-Abgrund bestraft das Schrumpfen doppelt. (Genau deshalb fühlen sich die Gummiwendel-Antennen an Handfunkgeräten so an, wie sie sich anfühlen: Die Wendel ist die Verlängerungsspule, über die Länge verteilt — ein erzwungener Kompromiss, kein Wunder.)
Die Spielwiese rechnet den ganzen Haushalt durch — mit der Kurzdipol-Formel für \(R_s\) und einer Ingenieurs-Näherung für den Blindanteil (\(X \approx -120\,(\ln(l/2a) - 1)/\tan(\pi l/\lambda)\); wir haben sie oben implizit gegen NEC geprüft — bei \(l/\lambda = 0{,}1\) liefert sie \(-1150\) statt \(-1201\ \Omega\), gut genug fürs Spielen). Sage vorher: Hilft ein dickerer Draht (größeres RADIUS_MM) — und an welcher Stellschraube wirkt er? Und ab welcher Länge schafft es die Antenne über 50 % Wirkungsgrad?
25.5 Das zweite Gefängnis: die Chu-Grenze
Angenommen, jemand baut die Wunderspule mit \(Q_L = 10\,000\) aus Supraleiter — wäre die kleine Antenne dann gerettet? Nein, und das Verbot ist diesmal fundamental. Die kompensierte kleine Antenne ist ein Resonator (Kapitel 15/19): viel pendelnde Nahfeld-Energie, wenig entkommende. Das Verhältnis ist aber genau die Definition der Güte \(Q\) — und Kapitel 15 hat eingebrannt, was hohe Güte für das Spektrum heißt: endlich scharf, Bandbreite \(\Delta f = f/Q\).
L. J. Chu hat 1948 gezeigt, dass dieses \(Q\) eine untere Schranke hat, die nur von der elektrischen Größe der Antenne abhängt — vom Radius \(a\) der kleinsten Kugel, die sie umschließt, gemessen in \(k a = 2\pi a/\lambda\):
\[Q \;\ge\; \frac{1}{(ka)^3} + \frac{1}{ka}.\]
Die Idee dahinter ist Kapitel-21-Stoff: Das \(1/(kr)^3\)- Pendelfeld gehört zu jeder kleinen Quelle; unterhalb von \(r = a\) kann keine Bauform es abschütteln, und sein Energievorrat wächst zwingend wie \(1/(ka)^3\). Kleine Antenne heißt hohes \(Q\) heißt schmale Bandbreite — egal wie genial die Konstruktion:
# von oben: C_LICHT
def chu_q(ka):
return 1 / ka**3 + 1 / ka
beispiele = [("WLAN-Stummel", 2.45e9, 0.03),
("Autoschlüssel", 433e6, 0.02),
("NFC-Karte", 13.56e6, 0.04),
("MW-Ferritstab", 1e6, 0.05)]
fig, ax = plt.subplots(figsize=(7.0, 4.2))
ka_fein = np.logspace(-3.2, 0.6, 300)
ax.loglog(ka_fein, chu_q(ka_fein), "b-", lw=1.6,
label="Chu: Q ≥ 1/(ka)³ + 1/(ka)")
for name, f, a in beispiele:
ka = 2 * np.pi * f / C_LICHT * a
ax.plot(ka, chu_q(ka), "ro", ms=6)
ax.annotate(f" {name}", xy=(ka, chu_q(ka)), fontsize=9)
print(f"{name:14s}: ka = {ka:7.4f} → Q ≥ {chu_q(ka):14.1f}"
f" → Bandbreite ≤ {100 / chu_q(ka):9.4f} %")
ax.set_xlabel("elektrische Größe ka = 2πa/λ")
ax.set_ylabel("kleinstmögliches Q")
ax.set_title("Das Bandbreiten-Gefängnis: klein gegen λ heißt schmal")
ax.legend(fontsize=9)
plt.show()WLAN-Stummel : ka = 1.5404 → Q ≥ 0.9 → Bandbreite ≤ 108.3743 %
Autoschlüssel : ka = 0.1815 → Q ≥ 172.8 → Bandbreite ≤ 0.5788 %
NFC-Karte : ka = 0.0114 → Q ≥ 680800.1 → Bandbreite ≤ 0.0001 %
MW-Ferritstab : ka = 0.0010 → Q ≥ 868986376.0 → Bandbreite ≤ 0.0000 %
Der Autoschlüssel bei 433 MHz passt mit seinen \(0{,}6\,\%\) maximaler Bandbreite gerade noch durch (sein Signal ist langsam — wenige Kilobit pro Sekunde reichen zum Aufsperren). Der Mittelwellen-Ferritstab dürfte als Sender nur noch Bruchteile von Hertz übertragen: ein Morsezeichen pro Tag. Damit ist auch der letzte Fluchtweg der 50-Hz-Funkidee versperrt — selbst die verlustfreie, perfekt angepasste Zehn-Meter-Antenne hätte bei \(ka \approx 10^{-5}\) ein Mindest-\(Q\) von \(10^{15}\): Sie könnte ihr Signal um Femtohertz modulieren.
Die zweite Spielwiese ist der Chu-Rechner fürs eigene Gerät: Frequenz und Gehäusegröße hinein, Bandbreiten-Urteil heraus. Prüfe damit eine echte Designfrage: Bluetooth (2,44 GHz, \(\approx 80\) MHz Bandbreite = 3,3 %) im winzigen Ohrhörer mit \(a = 8\) mm — geht sich das aus?
25.6 Drei Auswege — und was sie wirklich sind
Ausweg 1: Empfangen ist nicht Senden. Das Mittelwellenradio im Oldtimer empfängt mit einem Meter Stab bei \(\lambda = 300\) m, also \(l/\lambda = 0{,}003\) und \(\eta \sim 10^{-4}\) — und funktioniert. Der Trick ist keiner: Beim Empfang zählt nicht der Wirkungsgrad, sondern das Verhältnis von Signal zu Rauschen, und auf Mittelwelle kommt das Rauschen nicht aus dem Empfänger, sondern vom Himmel (Gewitter rund um den Globus, atmosphärisches Knistern — zigtausendfach stärker als das Eigenrauschen der Elektronik). Eine ineffiziente Antenne schwächt Signal und Himmelsrauschen um denselben Faktor: Das Verhältnis bleibt, solange das geschwächte Rauschen immer noch über dem Empfängerrauschen liegt. Die Reziprozität aus Kapitel 23 ist also nicht verletzt — die Antenne ist in beide Richtungen gleich schlecht; nur ist Schlechtsein beim Empfang oft egal. (Genau deshalb ist der „Ferritstab” im Radio kein Skandal, als Sender aber unbrauchbar.)
Ausweg 2: das Nahfeld zum Zweck erklären. Die NFC-Karte an der Bürotür arbeitet bei 13,56 MHz — \(\lambda/2\pi = 3{,}5\) m, die Reichweite aber nur Zentimeter. NFC findet vollständig im Pendelfeld statt: Lesegerät- und Kartenspule bilden einen Transformator durch Luft (Kapitel 19); Energie schwappt induktiv hinüber, statt als Welle davonzulaufen. Der lächerliche Strahlungswiderstand der kleinen Schleife (\(5 \cdot 10^{-7}\ \Omega\) — für Schleifen gilt sogar eine vierte Potenz, \(R_s \propto (C/\lambda)^4\)) ist hier ein Feature: Was nicht strahlt, ist drei Meter weiter unhörbar — gut für die Batterie und für die Abhörsicherheit. Das vermeintliche Versagen der kleinen Antenne, als Geschäftsmodell.
Ausweg 3: rohe Größe. Wer wirklich bei Kilohertz senden muss — Längstwellenfunk erreicht getauchte U-Boote, weil nur solche Wellen ins Meerwasser eindringen —, baut Antennen von der Größe einer Ortschaft. Der schwedische Sender Grimeton (17,2 kHz, seit 1924 in Betrieb, heute Weltkulturerbe) spannt seine Drähte über sechs 127-Meter-Türme und zwei Kilometer Länge — und erreicht trotzdem nur einstellige Prozente Wirkungsgrad bei zweihundert Kilowatt Maschinenleistung (Übung 25.4 rechnet das Modell). Die \((l/\lambda)^2\)-Formel verhandelt nicht; man kann sie nur mit Beton und Stahl ein Stück hinaufklettern.
25.7 Das Kapitel-Programm
programme/kap25/kap25_kleine_antenne.py bündelt alle Befunde eigenständig und mit assert-Schranken: die NEC-Reihe (Steigung 2 ± 0,2, Formeltreue ≤ 9 % für \(l/\lambda \le 0{,}15\), Blindabgrund < \(-2000\ \Omega\)), die komplette 50-Hz-Längenrechnung samt Doppelleitungsfaktor (\(< 10^{-23}\) W), die Spulen-Rechnung (\(\eta\) zwischen 10 und 20 %), die Chu-Werte der vier Geräte und die exakte Konsistenz der Hertz-Formeln (\(\langle S_r\rangle (kr)^2\) konstant auf \(10^{-12}\), Blind/Wirk \(= 1/(kr)^3\), Pendel-Nachweis bei \(kr = 0{,}3\)). Läuft in Sekunden.
Roter Faden
Mit diesem Kapitel schließt sich Teil VI, und fast jeder Faden lief hier zusammen: das Knick-Argument und die Nahfeld-Tabelle aus Kapitel 21 (die 955-km-Zeile hat jetzt ihre Zahl), die Güte aus Kapitel 15 und der Resonator aus Kapitel 19 (Chu ist ihre Verschwörung gegen kleine Antennen), Anpassung und Verluste aus Kapitel 22/24 (die Verlängerungsspule als bittere L-Glied-Pointe), der Faltungssatz aus Kapitel 23 (die Doppelleitung als \([1,-1]\)-Belegung) und die Skin-Tiefe aus Kapitel 18. Nach vorn: Teil VII verlässt die Antennen und fragt, was passiert, wenn periodische Strukturen Wellen führen, sperren und falten — Kapitel 26 beginnt mit dem photonischen Kristall; und das pendelnde Nahfeld kehrt dort als evaneszente Blochwelle in der Bandlücke wieder.
Übungen
Ü 25.1 (Verstehen). Eine E-Gitarre brummt am Verstärker mit 50 Hz, sobald sie in der Nähe eines Netzkabels liegt — dabei haben wir gerade bewiesen, dass das Netz nicht funkt (\(10^{-24}\) W!). Löse den scheinbaren Widerspruch auf: Was genau fängt der Tonabnehmer ein, und warum hilft schon ein Meter Abstand so deutlich?
HinweisMusterlösung zu Ü 25.1
Der Tonabnehmer empfängt keine Welle, er badet im pendelnden Nahfeld: Das 50-Hz-Magnetfeld des Kabels durchsetzt seine Spule und induziert direkt eine Spannung — derselbe Mechanismus wie bei NFC, nur ungewollt (ein Transformator durch Luft, Kapitel 19). Mit „Funk” hat das nichts zu tun; die Energie kehrt fast vollständig ins Kabel zurück (\(S_r(t)\) pendelt, Abbildung 25.2). Deshalb hilft Abstand so drastisch: Das quasistatische Nahfeld eines Leiterpaars fällt mit \(1/r^2\) bis \(1/r^3\) (Kapitel 21 — die steilen Stockwerke unterhalb der \(1/r\)-Welle), während eine echte Funkwelle nur mit \(1/r\) abklingt. Ein Meter statt zehn Zentimeter heißt hundert- bis tausendfach weniger Brumm — bei einem Sender wären es nur zehnfach.
Ü 25.2 (Verändern). Miss die \(R_s\)-Reihe mit einem zehnmal dickeren Draht (Radius 1 mm statt 0,1 mm) für \(l/\lambda = 0{,}06\) bis \(0{,}15\) nach. Sage vorher: Ändert sich der Strahlungswiderstand? Und der Blindanteil? (Denk daran, was \(R_s\) bestimmt — und was einen Kondensator.) Prüfe auch, ob die Reihe noch im MoM-Gültigkeitsfenster aus Kapitel 24 liegt.
HinweisMusterlösung zu Ü 25.2
# von oben: dipol_z()-Bauweise, necpp, LAM, SEG
def dipol_z_dick(l_lambda, radius=0.001):
ctx = necpp.nec_create()
halb = l_lambda * LAM / 2
necpp.nec_wire(ctx, 1, SEG, 0, -halb, 0, 0, halb, 0,
radius, 1.0, 1.0)
necpp.nec_geometry_complete(ctx, 0)
necpp.nec_fr_card(ctx, 0, 1, F_MHZ, 0)
necpp.nec_ex_card(ctx, 0, 1, (SEG + 1) // 2, 0,
1.0, 0, 0, 0, 0, 0)
necpp.nec_rp_card(ctx, 0, 1, 3, 0, 5, 0, 0, 90.0, 0.0, 0.0,
180.0, 0.0, 0.0)
z = complex(necpp.nec_impedance_real(ctx, 0),
necpp.nec_impedance_imag(ctx, 0))
necpp.nec_delete(ctx)
return z
print("l/λ dünn (0,1 mm) dick (1 mm) Seg/R")
for L in (0.06, 0.10, 0.15):
zd = dipol_z(L)
zk = dipol_z_dick(L)
segr = L * LAM * 1000 / SEG / 1.0
print(f"{L:.2f} {zd.real:6.2f} {zd.imag:+7.0f}j "
f"{zk.real:6.2f} {zk.imag:+7.0f}j {segr:4.1f}")l/λ dünn (0,1 mm) dick (1 mm) Seg/R
0.06 0.72 -1708j 0.11 -169j 0.7
0.10 2.06 -1201j 1.14 -284j 1.1
0.15 4.80 -862j 3.76 -280j 1.7Der Strahlungswiderstand bleibt (im Rahmen weniger Prozent) gleich — er hängt am Produkt Strom × Länge, nicht am Drahtquerschnitt. Der Blindanteil dagegen schrumpft beim dicken Draht deutlich: Ein dicker Stab ist ein größerer Kondensator (mehr Oberfläche), also weniger kapazitiver Blindwiderstand — die Verlängerungsspule hat weniger zu kompensieren und verheizt weniger. Dicke Kurzantennen sind deshalb effizienter anzupassen; auf die Gültigkeit muss man nur bei den kürzesten Längen achten (\(l/\lambda = 0{,}06\): Segmentlänge \(\approx 2{,}4\) Radien — schon grenzwertig, die \(0{,}06\)er-Zeile des dicken Drahts ist mit Vorsicht zu lesen).
Ü 25.3 (Verstehen/Übertragen). Ein Mittelwellensender (1 MHz) speist 100 kW in seinen 100-m-Sendemast; dein Autoradio empfängt ihn mit einem 1-m-Stab. Berechne die \(l/\lambda\)-Werte beider Antennen und ihre Strahlungswiderstände nach der Kurzdipol-Formel. Warum braucht die Sende-Seite den großen Mast, während die Empfangs-Seite mit dem Stummel davonkommt?
HinweisMusterlösung zu Ü 25.3
# von oben: nichts (reine Handrechnungs-Kontrolle)
lam_mw = 299792458.0 / 1e6
for name, l in (("Sendemast 100 m", 100.0), ("Autostab 1 m", 1.0)):
print(f"{name}: l/λ = {l / lam_mw:.4f}, "
f"R_s = {20 * np.pi**2 * (l / lam_mw)**2 * 1000:.3f} mΩ "
f"(Dipol-Näherung)")Sendemast 100 m: l/λ = 0.3336, R_s = 21962.832 mΩ (Dipol-Näherung)
Autostab 1 m: l/λ = 0.0033, R_s = 2.196 mΩ (Dipol-Näherung)Der Mast kommt auf \(l/\lambda = 0{,}33\) — gar nicht mehr „elektrisch klein” (real als Monopol über leitendem Boden gerechnet, mit ordentlichem \(R_s\) um Dutzende Ohm): Beim Senden zählt jedes Prozent Wirkungsgrad, denn verlorene Kilowatt sind Heizkosten und Reichweite. Der Autostab liegt bei \(l/\lambda = 0{,}003\) und \(R_s \approx 2\) mΩ — als Sender hoffnungslos, als Empfänger unproblematisch: Auf Mittelwelle dominiert das atmosphärische Rauschen aus der Antenne das Eigenrauschen des Empfängers um Größenordnungen, und eine schwache Antenne schwächt Signal und Himmelsrauschen gleichermaßen — das Signal-zu-Rausch-Verhältnis bleibt, bis das Antennensignal unter das Elektronikrauschen fällt. Senden ist ein Energieproblem, Empfangen ein Rauschproblem.
Ü 25.4 (Übertragen). Der Längstwellensender Grimeton (17,2 kHz, \(\lambda \approx 17{,}4\) km) nutzt als strahlendes Element im Wesentlichen die vertikalen 127-m-Speiseleitungen seiner Antenne (die 2 km horizontaler Draht wirken vor allem als kapazitive „Dachlast”, die den Strom in den Vertikalteilen groß und gleichmäßig macht — wie ein verbreitertes Dreieck). Modelliere die Anlage grob als Monopol über perfekter Erde: \(h/\lambda\)? Für einen dachbelasteten Monopol gilt \(R_s \approx 40\pi^2 (h/\lambda)^2\) (gleichmäßiger Strom statt Dreieck, Monopol statt Dipol). Wie groß ist \(R_s\) — und welcher Wirkungsgrad folgt, wenn Erdungs- und Spulenverluste zusammen etwa \(1{,}5\ \Omega\) betragen?
HinweisMusterlösung zu Ü 25.4
# von oben: nichts (Handrechnungs-Kontrolle)
lam_g = 299792458.0 / 17.2e3
h = 127.0
R_s_g = 40 * np.pi**2 * (h / lam_g)**2
print(f"h/λ = {h / lam_g:.4f}")
print(f"R_s ≈ {R_s_g:.2f} Ω")
print(f"η = {R_s_g / (R_s_g + 1.5):.2f}")h/λ = 0.0073
R_s ≈ 0.02 Ω
η = 0.01Rund \(0{,}02\) Ohm Strahlungswiderstand gegen anderthalb Ohm Verluste: \(\eta\) im Bereich weniger Prozent — von den 200 kW der Maschine erreichen nur einige Kilowatt den Äther, und das galt 1924 als Triumph (es reichte für Telegramme nach New York). Die historischen Berichte nennen Wirkungsgrade derselben Größenordnung. Wer die Zahlen variiert, sieht den Hebel: Doppelte Masthöhe vervierfacht \(R_s\) — deshalb die 127-Meter-Türme, deshalb die Dachlast (ohne sie fiele der Strom dreieckig ab und \(R_s\) noch einmal um den Faktor 4). Kleiner-als-λ bleibt auch mit Weltkulturerbe-Aufwand ein teures Geschäft.
Das Kleingedruckte
Chu, etwas genauer. Chus Beweis zerlegt das Feld außerhalb der umschließenden Kugel in Kugelwellen-Moden und zeigt: Jede Mode unterhalb von \(ka \approx 1\) speichert zwingend viel mehr Energie, als sie abstrahlt — das beste \(Q\) bekommt, wer nur die niedrigste Mode anregt, und genau dafür gilt die Formel. Spätere Verfeinerungen (Harrington, McLean) ändern Faktoren, nicht das Fazit. Die Schranke gilt für passive, lineare Antennen; aktiv nachgestimmte Systeme (der Empfänger springt mit der Resonanz dem Signal hinterher) können sie scheinbar umgehen — bezahlt mit Elektronik, Energie und Rauschen.
Das zweite verbotene Paradies: Superdirektivität. Auf dem Papier kann eine beliebig kleine Anordnung beliebig scharf bündeln — die Kapitel-23-Mathematik verbietet es nicht (Belegungen mit wild alternierenden Vorzeichen). Real explodieren dabei Ströme, Verluste und Toleranzen exponentiell; es ist dieselbe Sorte fundamentaler Strafe wie Chu, nur für die Richtwirkung. Wer beides zusammen liest, versteht, warum Antennentechnik ein Handwerk der ehrlichen Kompromisse ist.
ELF: Funken bei 76 Hertz. Es ging übrigens doch — einmal. Die US-Marine betrieb bis 2004 das „Project ELF”: Sendeanlagen bei 76 Hz (\(\lambda \approx 4000\) km!), deren „Antenne” aus 135 Kilometern Überlandleitung bestand, geerdet über granitnem Untergrund, sodass der Rückstrom durch Kilometer Erdtiefe floss — die wirksame Schleifenfläche machte den \((l/\lambda)\)-Faktor gerade erträglich. Megawatt hinein, einstellige Watt hinaus, Datenrate: Minuten pro Buchstabengruppe — genug, um U-Boote in aller Welt zum Auftauchen für richtigen Funk zu rufen. Die 50-Hz-Funkfrage hat also eine ehrliche Antwort: Man kann — mit der Infrastruktur eines Bundesstaats, für drei Zeichen pro Minute.
Und warum Trafos brummen dürfen: Alles, was das Stromnetz an Feld erzeugt, bleibt pendelndes Nahfeld — es koppelt in Gitarren, Messleitungen und schlecht geschirmte Verstärker, aber es reist nicht. Elektromagnetische Verträglichkeit (EMV) bei 50 Hz ist deshalb ein Nahfeld-Handwerk: Abstand, Verdrillen (die \([1,-1]\)-Auslöschung im Kleinen!), Schirmung — kein Funkproblem.