Man erkennt in Sekunden, wenn ein Film rückwärts läuft: Scherben springen vom Boden auf und fügen sich zum Glas, Rauch kriecht in den Schornstein zurück, Wellen laufen auf den geworfenen Stein zu. Nichts davon verletzt ein einziges Naturgesetz der Mechanik oder der Elektrodynamik — und genau das ist das Rätsel. Die Maxwell-Gleichungen, mit denen wir seit neunzehn Kapiteln rechnen, enthalten keine eingebaute Zeitrichtung; unser FDTD-Verfahren tut dagegen nichts anderes, als aus der Vergangenheit die Zukunft zu bauen, Schritt für Schritt, niemals umgekehrt. Wer hat recht? In diesem Kapitel spulen wir den Film tatsächlich zurück — wir rechnen Maxwell rückwärts, erst am Schwingkreis aus Kapitel 19, dann auf dem 2D-Gitter aus Kapitel 9 — und finden eine Antwort, die präziser ist als beide Alternativen: Die Richtung der Zeit steckt nicht in den Gleichungen. Sie steckt darin, was wir wissen können.
Vorher räumen wir die letzte Grundsatzfrage von Teil V ab. Zwei Kapitel lang haben wir Energie gewogen, verfolgt und umgepackt — da liegt ein Verdacht nahe: Wenn \(\vec S\) zeigt, wohin die Energie fließt, ist dann vielleicht die Energie das Eigentliche, und die Felder sind nur ihre Beschreibung? Die Frage klingt philosophisch, hat aber eine harte physikalische Antwort, und sie hängt — das wird sich zeigen — direkt mit der Zeitpfeil-Frage zusammen: Beide Male geht es darum, was der Zustand der Welt ist und was nur Buchhaltung über ihn.
Lernziele
Nach diesem Kapitel kannst du …
… mit vier unabhängigen Argumenten begründen, warum die Felder der Zustand der Elektrodynamik sind und die Energie ihre Buchhaltung — nicht umgekehrt,
… die Zeitumkehr-Invarianz der Maxwell-Gleichungen von Hand zeigen (\(t \to -t\), \(\vec B \to -\vec B\)) und erklären, wo die Kausalität stattdessen sitzt (in der Wahl der retardierten Lösungen),
… einen FDTD-Lauf wörtlich rückwärts rechnen — als Symmetrie (B-Feld umdrehen) und als algebraische Inversion — und vorhersagen, wann das gelingt,
… den Informations-Horizont eines gedämpften Systems berechnen: Eine absolute Unkenntnis \(\delta\) wächst rückwärts wie \(\delta\,e^{Rt/2L}\), die Vergangenheit endet bei \(T^* = (2L/R)\ln(1/\delta)\),
… den Zweiten Hauptsatz in seiner numerischen Gestalt erklären: mikroskopisch umkehrbar, praktisch unumkehrbar — und benennen, welche drei Feinde jede Zeitumkehr begrenzen.
20.1 Ist die Energie das Primäre?
Erst der Verdacht, dann die Prüfung:
WarnungNaheliegende Vermutung
„Die fließende Energie ist das Eigentliche — die Felder sind nur die Größen, mit denen wir ihre Strömung beschreiben.”
Warum sie naheliegt: Energie ist das, was ankommt, was man bezahlt, was die Lampe leuchten lässt. Die Felder dagegen sind unsichtbare Rechengrößen — und \(\vec S\) aus Kapitel 18 sah verdächtig danach aus, als wäre der Energiestrom das eigentliche Geschehen.
Was stattdessen stimmt: Es ist genau umgekehrt, aus vier unabhängigen, harten Gründen (unten ausgeführt): Die Felder sind der Zustand der Welt, die Energie ist eine — großartige, erhaltene — Buchhaltungsgröße über diesen Zustand. Feynman sagt es wörtlich: Die Physik weiß nicht, was Energie „ist”; sie weiß nur, dass diese eine Zahl bei allem Umpacken gleich bleibt.
Die vier Gründe, jeder für sich schon ausreichend:
Zu wenig Information. An jedem Punkt sind \((\vec E,
\vec B)\) sechs Zahlen, \((u, \vec S)\) nur vier. Dreh die Polarisationsebene einer Welle (Kapitel 4): \(u\) und \(\vec S\) ändern sich überhaupt nicht — die Felder schon, und der Unterschied ist messbar (jede Polfilter-Brille tut es, Kapitel 13). Aus dem Energiestrom lassen sich die Felder nicht rekonstruieren; ein Schatten kann den Körper nicht erzeugen.
Die Natur addiert Felder, nicht Energien. An den dunklen Streifen des Doppelspalts (Kapitel 14) gilt \(E_1 + E_2 = 0\) — gemessen: \(4\cdot 10^{-4}\) der Einzelhelligkeit. Zwei Energieströme können sich aber nur addieren, nie auslöschen, denn Energie hat kein Vorzeichen. Interferenz funktioniert nur, weil die Felder (mit Phase und Vorzeichen) die Grundgröße sind; die Energie folgt quadratisch aus ihnen.
Keine geschlossene Dynamik. Maxwell macht aus den Feldern von heute die Felder von morgen — \((\vec E, \vec B)\) ist ein vollständiger Zustand, und FDTD führt das seit Kapitel 5 jeden Zeitschritt vor. Für \((u, \vec S)\) gibt es keine solche Gleichung: Aus dem heutigen Energiefluss allein folgt der morgige nicht. Das Primäre einer Theorie muss aber das sein, was die Zukunft festlegt.
Der „Fluss” hängt vom Beobachter ab. Ein statisches Feld hat für dich \(\vec S = 0\) — für jemanden, der vorbeifährt, nicht. Eine Substanz, deren Fließen davon abhängt, wer hinschaut, taugt nicht als Urgrund.
Die Rangordnung der Theorie läuft also in eine Richtung: Quellen (Ladungen, Ströme) erzeugen Felder (den Zustand), und aus den Feldern folgt die Energie samt Bilanz. Zwei Körner Wahrheit stecken trotzdem in der Intuition: Das Wort „Anregung” ist goldrichtig — nur das Substrat ist ein anderes, als der Verdacht meinte (in der Quantenfeldtheorie ist ein Photon eine Anregung des Feldes, und \(hf\) ist eine Eigenschaft dieser Anregung, Kapitel 30). Und es gibt eine Theorie, in der Energie- und Impulsströme wirklich etwas erzeugen — die Gravitation. Nur die elektromagnetischen Felder erzeugen sie nicht; deren Quellen sind Ladungen und Ströme.
20.2 Gleichungen ohne Richtungspfeil
Nun zur Zeit. Nimm die beiden 1D-Gleichungen, mit denen alles begann (Kapitel 5):
Lass den Film rückwärts laufen, das heißt: Ersetze \(t \to -t\). Jede Zeitableitung wechselt das Vorzeichen, die Ortsableitungen bleiben — beide Gleichungen scheinen zu kippen. Aber jetzt der Trick: Drehe zusätzlich das Magnetfeld um, \(B \to -B\) (und lass \(E\), wie es ist). In der ersten Gleichung kippen dann beide Seiten (links das \(B\), rechts nichts — aber die Zeitableitung hatte schon gekippt), in der zweiten ebenfalls (links nur die Zeitableitung, rechts das \(B\)): Beide Vorzeichenwechsel heben sich paarweise auf, und der rückwärts laufende Film mit umgedrehtem Magnetfeld erfüllt exakt dieselben Gleichungen. Das gilt genauso in 3D für die vollen Maxwell-Gleichungen. Physikalisch ist das \(B\)-Umdrehen plausibel: \(B\) entsteht aus Strömen (Kapitel 3), und im Rückwärtsfilm fließen alle Ströme andersherum. Zwei Größen aus Kapitel 18 sortieren sich dann von selbst: Der Poynting-Vektor \(\vec S = \vec E \times \vec H\) dreht um (alle Energieströme fließen rückwärts — gut so), die Energiedichte \(u \propto E^2 +
B^2\) bleibt unverändert (Quadrate vergessen Vorzeichen).
Wenn aber die einlaufende, sich auf die Quelle zusammenziehende Welle genauso „legal” ist wie die auslaufende — warum sehen wir draußen immer nur die auslaufende? An dieser Stelle wird oft der Fehler gemacht, die Antwort in der Gleichung zu suchen. Gleichungen sind Relationen ohne Richtungspfeil:\(\nabla \times \vec H =
\vec J + \partial \vec D/\partial t\) sagt nicht, wer wen verursacht — nur, dass beide Seiten zu jeder Zeit gleich sind. Die Kausalität ist eine zusätzliche physikalische Aussage, und sie steckt in der Wahl der Lösungen: Von den mathematisch erlaubten realisiert die Natur die retardierten — die Felder jetzt sind durch Ladungen und Ströme zu früheren Zeiten bestimmt, verzögert um die Lichtlaufzeit (explizit ausgeschrieben heißen diese Lösungen Jefimenko-Gleichungen). Die einlaufenden Geschwister, die avancierten Lösungen, sind nicht verboten — sie verlangen nur absurd verabredete Anfangsbedingungen: Ein perfekt auf die Quelle zulaufender Wellenring müsste am Anfang der Zeit überall draußen exakt präpariert worden sein.
Und unser Handwerkszeug? FDTD ist genau diese Sichtweise als Algorithmus. Anfangszustand plus Zeitschritte: Die Zukunft wird Schritt für Schritt aus der Vergangenheit berechnet, nie umgekehrt — die Kausalität steckt bei uns nicht in den Update-Formeln (die sind so richtungslos wie Maxwell selbst, gleich beweisen wir es), sondern in der Entscheidung, bei \(t = 0\) mit einem bekannten Anfang loszurechnen.
20.3 Der Film läuft rückwärts: das 1D-Labor
Die Behauptung „richtungslos” ist überprüfbar, und zwar wörtlich. Wir nehmen das älteste Experiment des Buchs — den Gauß-Puls aus Kapitel 5, der sich in zwei Hälften teilt — und drehen mitten im Lauf das Magnetfeld um. Kein Code läuft „rückwärts”, wir rechnen stur vorwärts weiter; nur \(B\) bekommt ein Minuszeichen. Vorher du:
WichtigVorhersage-Punkt
Der Puls ist nach 120 Schritten längst in zwei auseinanderlaufende Hälften zerfallen (Kapitel 5). Jetzt ersetzen wir \(B \to -B\) und machen 120 ganz normale Leapfrog-Schritte weiter. Was passiert: Laufen die Hälften weiter auseinander? Frieren sie ein? Oder laufen sie zurück — und falls ja, wie exakt setzt sich der Anfangspuls wieder zusammen?
Das Experiment dazu. Frage: Ist der diskrete Leapfrog zeitumkehr-invariant wie seine Gleichungen? Bühne: das 1D-Gitter aus Kapitel 5 (400 Zellen, \(S = 1\), PEC-Ränder, in Gittereinheiten \(c = 1\), \(\Delta x = \Delta t = 1\)). Anfangsbedingungen: Gauß-Puls in \(E\), \(B = 0\) — er teilt sich in zwei Hälften (das wissen wir seit Kapitel 5). Eingriff: nach 120 Schritten \(B \to -B\); danach 120 weitere Vorwärts-Schritte, allerdings mit getauschter Update-Reihenfolge (erst \(E\), dann \(B\) — warum, klärt der Text nach dem Bild). Messgröße:\(\max|E - E_0|\) am Ende. Erfolgskriterium: Maschinengenauigkeit.
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltN1 =400X1 = np.arange(N1)E = np.exp(-((X1 -200) /12.0) **2)E0 = E.copy()B = np.zeros(N1 -1)for k inrange(120): # vorwärts: erst B, dann E B += np.diff(E) E[1:-1] += np.diff(B)E_mitte = E.copy()B *=-1# ZEITUMKEHR: B -> -B, E bleibtfor k inrange(120): # weiter vorwärts, Reihenfolge getauscht E[1:-1] += np.diff(B) B += np.diff(E)fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(9, 3.0), sharey=True)for ax, feld, titel in ((axes[0], E0, "$t = 0$: der Anfangspuls"), (axes[1], E_mitte, "$t = 120$: zweigeteilt,\njetzt $B \\to -B$"), (axes[2], E, "$t = 240$: wieder beisammen")): ax.plot(X1, feld, color="royalblue", lw=1.5) ax.set_title(titel, fontsize=10) ax.set_xlabel("Zelle")axes[2].plot(X1, E0, ":", color="black", lw=1.5, label="Anfangspuls $E_0$")axes[2].legend(fontsize=8)axes[0].set_ylabel("E")plt.show()print(f"max|E - E0| nach Hin- und Rückfilm: {np.abs(E - E0).max():.1e}")
Abbildung 20.1: Zeitumkehr als Symmetrie, kein Trick: Links der Anfangspuls, Mitte der Zustand nach 120 Schritten (zwei Hälften, halbe Höhe — der Moment, in dem B umgedreht wird), rechts der Zustand nach 120 weiteren ganz normalen Vorwärts-Schritten (durchgezogen) über dem Anfangspuls (gepunktet): deckungsgleich auf 2,5·10⁻¹⁶. Der Leapfrog kennt keine Zeitrichtung — mit umgedrehtem B ist der Rückwärtsfilm einfach eine weitere Lösung.
max|E - E0| nach Hin- und Rückfilm: 2.5e-16
Die Hälften kehren um, laufen aufeinander zu und setzen sich zum Original zusammen — auf sechzehn Stellen. Es lohnt sich, kurz innezuhalten: Wir haben nichts invertiert, keinen einzigen Schritt zurückgenommen. Der Rückwärtsfilm ist selbst ein stinknormaler Vorwärtslauf, nur mit gespiegeltem Magnetfeld — die Symmetrie der Gleichungen, vom Gitter geerbt. Das einzige Zugeständnis ans Diskrete ist die getauschte Update-Reihenfolge, und sie ist ein alter Bekannter: \(B\) lebt auf halben Zeitschritten (Kapitel 5). Der Zustand „\(E\) jetzt, \(B\) eine halbe Stufe später” wird unter Zeitumkehr zum Zustand „\(E\) jetzt, \(B\) eine halbe Stufe früher” — und ein Lauf, der mit dem E-Update beginnt, ist exakt der Leapfrog für diese gespiegelte Staffelung. (Wer den Tausch weglässt, bekommt den Anfangspuls trotzdem zurück, nur um einen Zeitschritt verrutscht — ein Fehler in der zweiten Nachkommastelle statt der sechzehnten. Der Yee-Versatz hat damit seinen vierten Auftritt im Buch.)
20.4 Der gedämpfte Kreis rückwärts: eine Überraschung
Verlustfrei ist die Zeitumkehr also makellos. Jetzt das Gegenteil von makellos: der gedämpfte Schwingkreis aus Kapitel 19, dessen Energie unwiederbringlich zu Wärme wurde — das Paradebeispiel eines Vorgangs mit Zeitrichtung. Sein \(B\)-Flip-Double gibt es nicht: Ein Medium mit Verlusten bleibt unter Zeitumkehr ein Medium mit Verlusten, der zurücklaufende Film zeigt eine Schwingung, die von selbst anwächst — dafür müsste der Widerstand zum Verstärker werden. Genau das können wir im Computer aber erzwingen, indem wir die Leapfrog-Schritte algebraisch auflösen: Aus \(i_{\text{neu}} = c_a\,i_{\text{alt}} - c_b\,q/C\) wird rückwärts \(i_{\text{alt}} = (i_{\text{neu}} + c_b\,q/C)/c_a\) — eine Division durch \(c_a < 1\), der Verstärker in einer Codezeile. Jeder Rückwärtsschritt multipliziert dabei auch jeden Fehler mit \(1/c_a\). Über die Laufzeit \(T\) summiert sich das zu \(e^{RT/2L}\) — bei \(T = 700\) (das sind 111 Schwingungen, die Amplitude ist auf \(e^{-42} \approx 10^{-19}\) gefallen) zu einem Verstärkungsfaktor von \(10^{18}\). Vorher du:
WichtigVorhersage-Punkt
Wir lassen den Kreis (\(R = 0{,}12\), also \(Q = 8{,}3\)) bis \(T = 700\) abklingen und lösen dann alle 70 000 Schritte rückwärts auf. Die Rundungsfehler des Computers (\(\sim 10^{-16}\)) werden dabei um \(e^{RT/2L} \approx 10^{18}\) verstärkt. Kommt der Anfangszustand \(q_0 = 1\) wieder heraus — oder Rauschen von der Größe \(10^{2}\)?
Die Rechnung ist drei Zeilen Code, und ihr Ergebnis hat uns beim Schreiben dieses Kapitels selbst überrascht:
# von oben: npL, C, R, DT0 =1.0, 1.0, 0.12, 0.01def kreis_hin_zurueck(R_, T, delta=0.0):"""Kapitel-19-Leapfrog vorwärts, Störung δ am Umkehrpunkt, dann alle Schritte algebraisch exakt rückwärts auflösen.""" s = R_ * DT0 / (2* L) ca, cb = (1- s) / (1+ s), (DT0 / L) / (1+ s) q, i =1.0, 0.0for k inrange(int(T / DT0)): # vorwärts (Kapitel 19) i = ca * i - cb * q / C q = q + DT0 * i q += delta # absolute Unkenntnis (erstmal 0)for k inrange(int(T / DT0)): # rückwärts auflösen q = q - DT0 * i i = (i + cb * q / C) / ca # Division durch ca: der Verstärkerreturnabs(q -1.0) # Abstand zum wahren Anfangprint(f"verlustfrei, T = 700: Rest {kreis_hin_zurueck(0.0, 700.0):.1e}")print(f"GEDÄMPFT, T = 700: Rest {kreis_hin_zurueck(R, 700.0):.1e}")
verlustfrei, T = 700: Rest 7.2e-15
GEDÄMPFT, T = 700: Rest 6.9e-15
Die Rückrechnung klappt. Trotz Dämpfung, trotz \(10^{18}\)-facher Fehlerverstärkung steht der Anfangszustand wieder da, auf vierzehn Stellen. Wie kann das sein? Weil die Verstärkung nicht auf festes Rauschen wirkt, sondern auf die Rundungsfehler des Gleitkomma-Formats — und das speichert relativ genau: Auch die auf \(10^{-19}\) abgeklungene Schwingung trägt noch ihre vollen sechzehn gültigen Ziffern (ein float reicht hinunter bis \(10^{-308}\)). Der Rundungsfehler ist an jeder Stelle \(\sim 10^{-16}\)der aktuellen Amplitude; rückwärts wächst er genau in dem Maß, in dem die Amplitude selbst wieder anwächst — die relative Genauigkeit bleibt konstant. Die Lektion ist fundamental: Dämpfung vernichtet keine Information. Sie macht das Signal nur leise. Wer beliebig genau messen kann, kann die Vergangenheit eines gedämpften Systems vollständig rekonstruieren.
Niemand kann beliebig genau messen. Und damit kommt der eigentliche Gegenspieler ins Spiel: nicht der Verlust, sondern die Unkenntnis. Wir stellen sie mit einem einzigen Eingriff nach — am Umkehrpunkt addieren wir auf \(q\) ein winziges, absolutes\(\delta = 10^{-15}\) (ein Staubkorn: als hätten wir den Endzustand „nur” auf fünfzehn Stellen gemessen) und lösen dann wie eben exakt rückwärts auf. Dieses \(\delta\) ist von der Schwingung entkoppelt, es klingt rückwärts nicht ab — es wird nur verstärkt, pro Zeitspanne \(t\) um \(e^{Rt/2L}\). Die Vorhersage ist also messerscharf: Rest \(\approx
\delta\,e^{RT/2L}\), und die Vergangenheit endet am Informations-Horizont
# von oben: np, plt, kreis_hin_zurueck, L, RDELTA =1e-15T_reihe = np.array([100, 200, 300, 400, 500, 600], float)rest = np.array([kreis_hin_zurueck(R, T, DELTA) for T in T_reihe])T_stern =2* L / R * np.log(1/ DELTA)fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 3.4))ax.semilogy(T_reihe, rest, "o", color="crimson", ms=7, label="gemessen")tt = np.linspace(50, 650, 200)ax.semilogy(tt, DELTA * np.exp(R * tt / (2* L)), "k--", label="Theorie $\\delta\\,e^{RT/2L}$")ax.axvline(T_stern, color="0.5", ls=":", label="$T^* = (2L/R)\\ln(1/\\delta)$")ax.set_xlabel("Laufzeit T bis zur Umkehr")ax.set_ylabel("Rest bei $t = 0$")ax.legend(fontsize=9)plt.show()for T, rst inzip(T_reihe, rest):print(f"T = {T:3.0f}: Rest {rst:.2e} "f"(Theorie {DELTA * np.exp(R * T / (2* L)):.2e})")
Abbildung 20.2: Der Informations-Horizont: Rest der Rückrechnung bei t = 0, wenn der Umkehrzustand um ein absolutes δ = 10⁻¹⁵ gestört wurde, über der Laufzeit T (Punkte), dazu die parameterfreie Theoriegerade δ·e^(RT/2L). Die Steigung stimmt exakt — jede Zeiteinheit Dämpfung verstärkt die Unkenntnis rückwärts um denselben Faktor, um den sie das Signal vorwärts leiser macht. An der gepunkteten Linie (T* ≈ 576, das sind 92 Schwingungen) erreicht der Fehler die Größe des Signals selbst: Dahinter ist die Vergangenheit nicht mehr rekonstruierbar — nicht weil die Gleichungen es verbieten, sondern weil unser Wissen endet.
T = 100: Rest 3.29e-13 (Theorie 4.03e-13)
T = 200: Rest 3.31e-11 (Theorie 1.63e-10)
T = 300: Rest 3.19e-08 (Theorie 6.57e-08)
T = 400: Rest 2.49e-05 (Theorie 2.65e-05)
T = 500: Rest 1.00e-02 (Theorie 1.07e-02)
T = 600: Rest 2.08e+00 (Theorie 4.31e+00)
Die Punkte liegen auf der Theoriegeraden (der Vorfaktor wackelt um einen Faktor 2 — er hängt davon ab, in welche Schwingungsphase das \(\delta\) fällt; die Steigung ist exakt). Bei \(T = 600\), knapp hinter dem Horizont, ist der „rekonstruierte Anfang” um den Faktor 2 falsch — Schrott. Das Bemerkenswerte an der Horizont-Formel: \(\delta\) steht im Logarithmus. Zehntausendmal genauer messen schiebt den Horizont nur um \((2L/R)\ln 10^4\), also gut ein Drittel, hinaus — die Vergangenheit gedämpfter Systeme ist exponentiell teuer. Genau dieselbe Mathematik begrenzt übrigens die Wettervorhersage (dort wächst die Unkenntnis vorwärts, weil die Strömung chaotisch ist) — und Ü 20.2 rechnet aus, was ein realistisches Messgerät mit sechs Stellen vom Horizont übrig lässt.
Der Horizont zum Selberschieben (editierbar; Run-Knopf oder Strg+Enter): Die Spielwiese fährt die Messreihe von eben mit deinen Werten — die graue Waagerechte markiert die Signalgröße \(q_0 = 1\); wo die Punkte sie erreichen, ist die Vergangenheit verloren. Drei Aufträge: Erstens, dein Messgerät habe nur neun Stellen (DELTA = 1e-9) — rechne \(T^*\) erst von Hand, dann lass laufen. Zweitens verdopple R_KREIS: Stärker gedämpfte Systeme vergessen schneller. Drittens DELTA = 1e-30, eine absurd genaue Messung — und der Horizont rückt trotzdem nur auf das Doppelte von \(10^{-15}\): Der Logarithmus ist unerbittlich.
20.5 2D: der Absorber gewinnt
Jetzt dasselbe Spiel auf dem Yee-Gitter aus Kapitel 9 — und damit die Begegnung mit dem Zweiten Hauptsatz in seiner ehrlichsten Form. Vorab die Vermutung, die sich nach dem 0D-Erfolg geradezu aufdrängt:
WarnungNaheliegende Vermutung
„Verluste machen die Gleichungen unumkehrbar — deshalb scheitert die Zeitumkehr an einem Absorber.”
Warum sie naheliegt: Wärme kommt nicht zurück; was der Absorber geschluckt hat, ist weg. Irgendwo muss die Unumkehrbarkeit ja in der Mathematik stecken.
Was stattdessen stimmt: Die Gleichungen — auch die mit Verlusten — bleiben algebraisch exakt umkehrbar, und der gedämpfte Schwingkreis hat es eben sogar numerisch vorgeführt. Was die Rückrechnung im großen Feld zerstört, ist nicht die Algebra, sondern die Information: Der Absorber sitzt in einem Meer aus Feldwerten voller Größe, deren Rundungsreste (\(\sim 10^{-16}\)der großen Nachbarwerte) bei jedem Schritt über die Rotation in ihn hineinmischen. Das ist genau das absolute \(\delta\) von eben — nur dass es niemand von Hand einstreuen muss: Die vielen Freiheitsgrade der Umgebung liefern die Unkenntnis frei Haus. Mikroskopisch umkehrbar, praktisch unumkehrbar — der Zweite Hauptsatz handelt nicht von Gleichungen, sondern von Wissen.
Das Experiment, in zwei Läufen. Frage: Lässt sich eine 2D-Welle zur Quelle zurückrechnen — und was ändert ein Absorber daran? Bühne: das \(300 \times 300\)-Gitter aus Kapitel 9 (\(S = 0{,}5 < 1/\sqrt2\), PEC-Ränder, Gittereinheiten); in Lauf B steht rechts der Quelle ein Absorberbalken (\(16 \times 180\) Zellen, \(c_a = 0{,}8\) — pro Rückwärtsschritt also Faktor \(1{,}25\)). Ablauf: Eine Punktquelle in der Mitte sendet einen Wellenzug (\(\lambda = 20\) Zellen, 260 Schritte vorwärts); dann werden alle Schritte algebraisch rückwärts aufgelöst, die Quelle wird dabei zeitrichtig wieder abgezogen. Unterwegs vergleichen wir mit gemerkten Zwischenständen des Hinwegs. Messgrößen: das Restfeld bei \(t = 0\) (Soll: leer!) und die Fehlerkurve über den Rückwärtsschritten. Erfolgskriterium: Lauf A Maschinenrest; Lauf B sagt der Kasten oben voraus.
Abbildung 20.3: Zeitumkehr in der Fläche. Oben Lauf A (verlustfrei): Der ausgelaufene Wellenring (links) läuft rückwärts vollständig in die Quelle zurück — bei t = 0 (rechts) ist das Gitter bis auf 5·10⁻¹⁷ leer, das Bild zeigt buchstäblich nichts. Unten Lauf B (Absorberbalken, grün): Vorwärts schluckt der Balken einen Teil des Rings (links, der Schatten rechts vom Balken); rückwärts explodiert das Rauschen im Balken, und der „rekonstruierte Anfang“ (rechts, eigene Farbskala!) ist ein Artefakt von der Größe 9 — achtzigmal lauter als die ursprüngliche Welle und ohne jede Ähnlichkeit mit dem wahren Anfang (leeres Gitter).
Lauf A: Restfeld 4.7e-17 Lauf B: Restfeld 9.2e+00
Lauf A ist die Flächen-Fassung des B-Flip-Wunders: 260 Schritte hin, 260 algebraisch zurück, und das Gitter ist wieder so leer, wie es angefangen hat — der Wellenzug verschwindet rückstandsfrei in der Quelle (dass das Restfeld sogar kleiner als beim Schwingkreis ausfällt, liegt daran, dass im Vakuum-Teil gar nicht dividiert wird: \(c_a = 1\)).
In dieser HTML-Fassung gibt es Lauf A als ganzen Film: vorwärts, bis der Ring ausgelaufen ist — dann wechselt der Titel auf Zeitumkehr (rot), und die Welle zieht sich Schritt für Schritt in die Quelle zurück, bis die Bühne leer ist. Die Einzelschritt-Knöpfe lohnen sich besonders um den Umkehrmoment:
Lauf B dagegen liefert als „Anfang” ein Feld, das es nie gab: laut, auf den Balken konzentriert, physikalisch bedeutungslos. Die Fehlerkurve zeigt, wie es dazu kommt:
Abbildung 20.4: Der Rekonstruktionsfehler (Abstand zu den gemerkten Zwischenständen des Hinwegs) über den Rückwärtsschritten. Lauf A (blau) bleibt auf Maschinenniveau — die Zeitumkehr ist exakt. In Lauf B (rot) wächst der Fehler exponentiell; die gestrichelte Gerade ist die lokale Maximalsteigung (1/c_a)ⁿ = 1,25ⁿ des Absorbers. Die gemessene Steigung bleibt darunter (Faktor e^0,17 statt e^0,22 pro Schritt), weil das verstärkte Rauschen ständig aus dem Balken herausstrahlt und im Vakuum nicht weiterwächst — mit stärkerem Absorber rückt die Messung an die Grenze heran (Ü 20.3).
Das ist der Zweite Hauptsatz in Zahlen. Vorwärts schiebt der Absorber die Feldinformation in Freiheitsgrade, die unser Gitter gar nicht mitführt (echte Wärme: ungezählte Molekülbewegungen — unser \(\sigma\) ist ja nur die Pauschalbuchung dafür, Kapitel 6); zurückbleiben Zahlen, deren letzte Stellen von den groben Nachbarn verrauscht sind. Und rückwärts müsste genau aus diesen letzten Stellen das Verschluckte wiederauferstehen — die Division durch \(c_a\) versucht es redlich und verstärkt eben alles, Signal wie Unkenntnis. Mikroskopisch ist jede Kollision umkehrbar; praktisch wächst die kleinste Unkenntnis exponentiell, bis sie das Signal frisst. Boltzmanns Antwort auf das Umkehr-Paradoxon, auf einem 300×300-Gitter nachgestellt.
Damit lassen sich die drei Feinde der Zeitumkehr benennen, denen jedes reale Rückwärtsrechnen begegnet:
Verluste — eben vorgeführt: nicht weil sie die Gleichungen brechen, sondern weil sie Information in unzugängliche Freiheitsgrade verschieben und die Rückverstärkung jede Unkenntnis explodieren lässt.
Die PML (Kapitel 9) — eine eingebaute Informationsvernichtungsmaschine: Was sie geschluckt hat, ist weg; rückwärts müsste sie eine perfekt abgestimmte Verstärkerschicht sein, und ihr Rauschen explodiert wie eben der Balken, nur um Größenordnungen heftiger.
Evaneszente Wellen (Kapitel 12) — Details der Quelle, die feiner sind als etwa \(\lambda/2\), klingen exponentiell ab und sind schon wenige Wellenlängen entfernt unlesbar: Die Vergangenheit ist aus der Ferne nur beugungsbegrenzt scharf rekonstruierbar. (Ü 20.4 misst genau diese Grenze.)
20.6 Zeitumkehr als Technik
Wie viel muss man eigentlich wissen, um die Vergangenheit zu rechnen? Weniger, als man denkt — aber vollständig: Maxwell ist von erster Ordnung in der Zeit, also legt ein einziger kompletter Schnappschuss (\(\vec E\) und \(\vec H\) überall im Raum zu einem Zeitpunkt) die gesamte Vergangenheit und Zukunft fest — keine Anfangsgeschwindigkeiten, kein Anlauf (genau deshalb genügte unseren Simulationen seit Kapitel 5 ein Anfangszustand). Alternativ genügt das Feld auf einer geschlossenen Fläche, über die Zeit aufgezeichnet — man muss nicht überall messen, nur lückenlos um das Geschehen herum und lange genug.
Diese zweite Variante ist keine Theorie-Fußnote, sondern Alltagstechnik: Der Zeitumkehrspiegel (Mathias Fink, ab den 1990ern) zeichnet eine Welle auf einem Wandlerring auf und sendet sie zeitgespiegelt wieder aus — worauf sie sich, durch alle Streuung hindurch, von selbst auf ihre ursprüngliche Quelle fokussiert. So zertrümmert man Nierensteine durch inhomogenes Gewebe und schickt Ultraschall durch den Schädel; die Seismologie lokalisiert Bebenherde, indem sie die Signale aller Stationen rückwärts in ein Erdmodell propagiert; und Meeps Adjoint-Löser (Kapitel 31) macht aus der Rückwärts-Simulation ein Entwurfswerkzeug. In Ü 20.4 baust du den Spiegel selbst — 72 Aufnahmepunkte auf einem Ring genügen, und der Fokus wird so scharf, wie Feind Nummer drei es erlaubt: eine halbe Wellenlänge.
Ein Faden bleibt für später gespannt: Wenn Kausalität bedeutet, dass die Antwort eines Materials nie vor der Ursache kommen darf, dann hat das überraschende Konsequenzen für ganz gewöhnliche Optik — aus „keine Wirkung vor der Ursache” folgt zwingend, dass jedes durchsichtige Material Dispersion haben muss. Diese Brücke (sie heißt Kramers-Kronig) schlägt Kapitel 29.
Bevor das Kapitel-Programm alles bündelt, der Teil-V-Bogen in einem Satz: Felder sind der Zustand, Energie ist seine Buchhaltung, und die Richtung der Zeit steht auf dem Konto der Buchhalterin — sie misst, was wir noch wissen.
TippMerkkasten
Felder sind der Zustand, Energie ist Buchhaltung — vier Gründe: zu wenig Information (Polarisation!), Felder addieren sich (Interferenz!), keine eigene Dynamik, beobachterabhängig.
Maxwell hat keine Zeitrichtung: \(t \to -t\) und \(\vec B \to -\vec B\) ist wieder eine Lösung (\(\vec S\) dreht um, \(u\) bleibt). Kausalität = Wahl der retardierten Lösungen — FDTD ist diese Wahl als Algorithmus.
Dämpfung vernichtet keine Information, sie macht das Signal leise: Der gedämpfte Kreis ließ sich über 111 Schwingungen exakt zurückrechnen.
Eine absolute Unkenntnis \(\delta\) wächst rückwärts wie \(\delta\,e^{Rt/2L}\) → Informations-Horizont \(T^* = (2L/R)\ln(1/\delta)\). In ausgedehnten Systemen liefert die Umgebung das \(\delta\) von selbst — das ist der Zweite Hauptsatz: Der Zeitpfeil steckt darin, was wir wissen können.
Ein Schnappschuss von \(\vec E\) und \(\vec H\) legt alles fest (Maxwell ist 1. Ordnung); ein aufgezeichneter Rand genügt auch → Zeitumkehrspiegel, beugungsbegrenzt auf \(\sim\lambda/2\).
20.7 Das Kapitel-Programm
Das Programm kap20_zeitumkehr.py (im Buchpaket unter programme/kap20/) bündelt alles: den 1D-B-Flip, den gedämpften Kreis rückwärts (mit und ohne Störung, samt Horizont-Reihe), die beiden 2D-Läufe mit Fehlerkurven, die Absorber-Stärke-Reihe aus Ü 20.3 und den Zeitumkehrspiegel aus Ü 20.4. Jede Behauptung steht als assert; der Lauf braucht etwa eine Minute und endet mit „Alle Tests bestanden.”
Roter Faden
Rückwärts: Der Puls aus Kapitel 5 hat sich wieder zusammengesetzt (und der Yee-Halbschritt hatte seinen vierten Auftritt), das 2D-Gitter aus Kapitel 9 lief erstmals rückwärts (und die PML von dort entpuppte sich als Informationsvernichter), der evaneszente Saum aus Kapitel 12 wurde zur Schärfegrenze der Vergangenheit, die Interferenz aus Kapitel 14 lieferte das stärkste Argument gegen das Energie-Primat, der gedämpfte Kreis aus Kapitel 19 bekam seine Zeitpfeil-Pointe, und der Poynting-Vektor aus Kapitel 18 dreht unter Zeitumkehr brav um. Vorwärts: Kapitel 21 kehrt zur Vorwärtsrichtung zurück und lässt Antennen strahlen (retardiert!), Kapitel 29 macht aus der Kausalität ein quantitatives Werkzeug (Kramers-Kronig: Durchsichtigkeit erzwingt Dispersion), Kapitel 30 fragt, was vom Determinismus des Schnappschusses an der Quantengrenze übrig bleibt, und Kapitel 31 nutzt die Rückwärts-Simulation als Entwurfswerkzeug (Adjoint).
Übungen
Ü 20.1 (Verstehen). Zeitumkehr von Hand: (a) Zeige an den beiden 1D-Gleichungen explizit, dass mit \(E'(x,t) = E(x,-t)\) und \(B'(x,t) = -B(x,-t)\) wieder eine Lösung vorliegt (Kettenregel für die innere Ableitung \(-t\) genügt). (b) Was wird unter dieser Spiegelung aus \(\vec S = \vec E \times \vec H\) und aus \(u\)? Prüfe beides numerisch am 1D-Lauf aus Abbildung 20.1: Vergleiche \(E \cdot B\) und \(E^2 + c^2B^2\) unmittelbar vor und nach dem B-Flip. (c) Welche „Filme” verraten ihre Richtung: eine ebene Welle im Vakuum, die zerspringende Tasse, der gedämpfte Schwingkreis? Und warum ist Letzterer trotzdem mikroskopisch umkehrbar?
HinweisMusterlösung zu Ü 20.1
(a) Einsetzen mit Kettenregel: \(\partial_t B' = -\partial_t
[B(x,-t)] = +(\partial_t B)(x,-t)\) — das innere Minus der Zeitspiegelung und das äußere Minus der B-Umkehr heben sich; ebenso in der zweiten Gleichung, wo rechts \(\partial_x B' =
-(\partial_x B)(x,-t)\) das Minus der links stehenden Zeitableitung von \(E\) auffängt. Beide Gleichungen bestehen. Numerisch zu (b):
# von oben: np — der 1D-Aufbau aus fig-bflip, am UmkehrpunktE_u = np.exp(-((np.arange(400) -200) /12.0) **2)B_u = np.zeros(399)for k inrange(120): B_u += np.diff(E_u) E_u[1:-1] += np.diff(B_u)S_vor = E_u[:-1] * B_u # ~ Poynting (c = 1)u_vor = E_u**2+ np.concatenate([B_u, [0]])**2B_u *=-1# der FlipS_nach = E_u[:-1] * B_uu_nach = E_u**2+ np.concatenate([B_u, [0]])**2print(f"S: max|S_nach + S_vor| = {np.abs(S_nach + S_vor).max():.1e}"f" (S dreht exakt um)")print(f"u: max|u_nach - u_vor| = {np.abs(u_nach - u_vor).max():.1e}"f" (u bleibt exakt)")
S: max|S_nach + S_vor| = 0.0e+00 (S dreht exakt um)
u: max|u_nach - u_vor| = 0.0e+00 (u bleibt exakt)
(c) Die ebene Welle verrät nichts — rückwärts ist sie einfach eine Welle in Gegenrichtung, beide Filme sind gleichberechtigte Lösungen. Tasse und gedämpfter Kreis verraten sich sofort: Energie sammelt sich nie von selbst aus tausend Splittern bzw. aus der Wärme wieder ein. Mikroskopisch ist trotzdem beides umkehrbar — jede einzelne Molekülkollision, jeder Feldschritt gehorcht richtungslosen Gleichungen. Was die Richtung erzeugt, ist die Information: Der Rückwärtsfilm verlangt absurd fein verabredete Anfangsbedingungen (jeder Splitter, jede Molekülschwingung exakt richtig), und die kleinste Abweichung davon wächst exponentiell — wie in Abbildung 20.2 gemessen.
Ü 20.2 (Verstehen/Verändern). Der Horizont eines ehrlichen Messgeräts: Wiederhole die Horizont-Reihe aus Abbildung 20.2 mit \(\delta = 10^{-6}\) (sechs gültige Stellen — ein sehr gutes Voltmeter). Bei welchem \(T^*\) endet die Rekonstruktion jetzt, in Schwingungsperioden (\(T_0 = 2\pi\)) ausgedrückt? Und andersherum: Wie genau müsste man messen, um 50 Schwingungen weit zurückzusehen?
HinweisMusterlösung zu Ü 20.2
# von oben: np, kreis_hin_zurueck, L, Rd6 =1e-6for T in (100.0, 200.0, 250.0, 300.0):print(f"T = {T:3.0f}: Rest {kreis_hin_zurueck(R, T, d6):.2e}")T6 =2* L / R * np.log(1/ d6)print(f"T* = {T6:.0f} = {T6 / (2* np.pi):.0f} Schwingungen")delta_50 = np.exp(-50*2* np.pi * R / (2* L))print(f"Für 50 Schwingungen: δ ≲ {delta_50:.0e}")
T = 100: Rest 3.20e-04
T = 200: Rest 3.31e-02
T = 250: Rest 4.92e-01
T = 300: Rest 3.19e+01
T* = 230 = 37 Schwingungen
Für 50 Schwingungen: δ ≲ 7e-09
Mit sechs Stellen endet die Vergangenheit nach \(T^* = (2L/R)\ln 10^6 \approx 230\), also nach 37 Schwingungen — die Messreihe bestätigt es: Zwischen \(T = 200\) und \(T = 250\) erreicht der Fehler die Größe des Signals, bei \(T = 300\) ist nichts mehr zu retten. Für 50 Schwingungen bräuchte man \(\delta \lesssim 7\cdot 10^{-9}\), also neun gültige Stellen — pro gewünschter Schwingung Vergangenheit kostet es den Faktor \(e^{2\pi R/2L} \approx 1{,}46\), etwa eine sechstel Dekade Messgenauigkeit. Information über die Vergangenheit gedämpfter Systeme wird exponentiell teuer — das ist der Kern des Zeitpfeils.
Ü 20.3 (Verändern). Die Stärke des Feindes: Lass den 2D-Doppellauf für drei Absorberstärken laufen (\(V = 0{,}05\), \(0{,}111\), \(0{,}2\), also \(c_a = 0{,}905\), \(0{,}8\), \(0{,}667\)) und bestimme jeweils das Restfeld und die Fehlerrate pro Rückwärtsschritt (Log-Fit wie immer). Vergleiche mit der lokalen Maximalsteigung \(\ln(1/c_a)\). Warum bleibt die gemessene Rate darunter — und warum rückt sie mit wachsendem \(V\) näher heran?
HinweisMusterlösung zu Ü 20.3
# von oben: np, hin_und_zurueck_2d, N_SCHRITTEprint(" V Restfeld Rate/Schritt ln(1/ca) Verhältnis")for V in (0.05, 0.111, 0.2): rst, ft, fw, _, _ = hin_und_zurueck_2d(V) rs = N_SCHRITTE -1- ft rate = np.polyfit(rs[2:], np.log(fw[2:]), 1)[0] grenze = np.log((1+ V) / (1- V))print(f"{V:5.3f}{rst:9.1e}{rate:8.3f}{grenze:8.3f}"f" {rate / grenze:6.2f}")
Schon \(V = 0{,}05\) verstärkt den Rundungsrest in 260 Schritten um zehn Größenordnungen (bleibt aber unter der Hörschwelle); \(V = 0{,}2\) produziert ein Restfeld von \(10^{23}\). Die gemessene Rate liegt unter \(\ln(1/c_a)\), weil der Balken kein geschlossener Kasten ist: Das in ihm verstärkte Rauschen strahlt ständig in das umgebende Vakuum ab, wo es nicht weiterwächst — die globale Rate ist ein Kompromiss aus Verstärkung drinnen und Verdünnung draußen. Je stärker der Absorber, desto mehr dominiert die Verstärkung das Rennen gegen die Abstrahlung, und das Verhältnis klettert von 0,39 über 0,76 auf 0,92 Richtung 1.
Ü 20.4 (Übertragen). Baue den Zeitumkehrspiegel: Zeichne im verlustfreien 2D-Lauf das Feld \(E_z\) an 72 Punkten eines Rings (Radius 60 Zellen um die Quelle) über 300 Schritte auf. Starte dann ein leeres Gitter und speise an denselben Punkten die Aufzeichnung zeitgespiegelt als weiche Quellen ein. Was entsteht im Ringinneren — wo, wann, und wie scharf? Vergleiche die Fokusbreite mit \(\lambda/2\) und erkläre den Zusammenhang mit Feind Nummer drei.
Abbildung 20.5: Der Mini-Zeitumkehrspiegel im Moment des Fokus: Die von 72 Ringpunkten (grün) zeitgespiegelt wieder ausgesandte Welle ist nach innen gelaufen und sammelt sich von selbst am alten Quellort — exakt zur Spiegelzeit der Emission. Der Fokus ist 6 Zellen breit (λ = 20 Zellen): Schärfer als etwa eine halbe Wellenlänge geht es nicht, denn die evaneszenten Details der Punktquelle waren am Ring längst unmessbar klein — die Vergangenheit ist nur beugungsbegrenzt scharf.
Fokus bei Schritt 249 (Spiegelzeit der Emission: 249); FWHM 6 Zellen (λ/2 = 10 Zellen)
Im Inneren entsteht eine perfekt einlaufende Kreiswelle, die sich exakt zur Spiegelzeit der Emission (Schritt 249) am alten Quellort sammelt — obwohl keiner der 72 Lautsprecher etwas von den anderen „weiß”; die Aufzeichnung enthält alle nötigen Laufzeit- und Phasenbeziehungen von selbst. Der Fokus ist 6 Zellen breit, von der Größenordnung \(\lambda/2\): Die Punktquelle (eine Zelle!) kommt nicht zurück, denn ihre feineren Details steckten in evaneszenten Anteilen, die den Ring nie messbar erreicht haben — Feind Nummer drei, jetzt als Messwert. Genau dieses Prinzip fokussiert in der Medizin Stoßwellen durch inhomogenes Gewebe auf Nierensteine: Der Spiegel braucht kein Modell des Mediums, er spielt nur das rückwärts, was er gehört hat.
Das Kleingedruckte
Loschmidt gegen Boltzmann. Unser Absorber-Experiment ist die Gitterfassung eines Streits von 1876: Loschmidt hielt Boltzmann entgegen, aus umkehrbaren Gleichungen könne unmöglich ein unumkehrbares Naturgesetz (Entropiezunahme) folgen — man drehe einfach alle Geschwindigkeiten um. Boltzmanns Antwort ist im Kern unsere Fehlerkurve: Die Umkehrung müsste exakt sein, und jede noch so kleine Abweichung wächst in Systemen mit vielen Freiheitsgraden exponentiell. Der Zweite Hauptsatz ist kein Bewegungsgesetz, sondern eine Aussage über Wahrscheinlichkeit und Wissen — was sich auch daran zeigt, dass Spin-Echos in der Kernspinresonanz das Loschmidt-Umdrehen für kleine, gut isolierte Systeme tatsächlich vorführen (dort heißt der B-Flip 180°-Puls).
Warum \(e^{RT/2L}\) und nicht \(e^{RT/L}\)? Die Energie des Kreises fällt mit \(e^{-Rt/L}\) (Kapitel 19), die Amplituden\(q\) und \(i\) fallen mit der halben Rate \(e^{-Rt/2L}\) — und rückwärts verstärkt werden Zustandsgrößen, nicht Energien. Eine Störung \(\delta\) in \(q\) wächst daher mit \(e^{+Rt/2L}\). Wer die Horizont-Formel auf die Energie bezieht, bekommt denselben Horizont: \(\delta^2 e^{RT/L} \sim 1\) ist dieselbe Bedingung wie \(\delta\,e^{RT/2L} \sim 1\).
Avancierte Lösungen sind nicht nutzlos. Die „verbotenen” einlaufenden Lösungen sind dieselben Funktionen, die der Zeitumkehrspiegel praktisch herstellt — man muss sie nur aktiv präparieren, statt auf ihr spontanes Auftreten zu warten. Auch die Theorie verwendet sie: Wheeler und Feynman haben 1945 eine Elektrodynamik aus halb retardierten, halb avancierten Feldern konstruiert (der Strahlungswiderstand kommt dort von den Absorbern des restlichen Universums). Sie blieb eine Kuriosität, aber eine lehrreiche: Die Retardierung ist eine Eigenschaft unserer Welt (ihrer Anfangsbedingung), nicht der Elektrodynamik.
Präzisions-Grenzen des Schnappschuss-Determinismus. „Ein Schnappschuss legt alles fest” gilt im Rahmen der klassischen Theorie. Real begrenzen ihn dieselben drei Feinde plus einer: Auch das Aufzeichnen selbst stört. An der Quantengrenze (Kapitel 30) wird daraus ein prinzipielles Verbot — den vollständigen Feldzustand eines einzelnen Photons kann man nicht kopieren. Der klassische Determinismus dieses Kapitels ist also eine Idealisierung — eine, die für Radiowellen, Ultraschall und Seismik hervorragend trägt.
