Ein Experiment für sofort, Kosten: null. Nimm eine polarisierte Sonnenbrille (fast jede moderne ist es) und schau damit auf dein Handydisplay. Jetzt drehe das Handy langsam um 90 Grad. Das Display wird dunkel — bei manchen Geräten stockfinster, als wäre es aus. Dreh zurück: wieder hell. Zwischen Brille und Display ist nichts als Luft, und trotzdem entscheidet ein Drehwinkel darüber, ob Licht ankommt.
Offenbar hat Licht eine eingebaute Richtung quer zu seinem Weg — und Displays wie Brillengläser können sie befragen. Diese Richtung heißt Polarisation, und um sie zu verstehen, müssen wir die Welle, die in Kapitel 3 aus den Gleichungen gefallen ist, endlich im Detail ansehen: Was genau schwingt da? In welche Richtung? Und was hat das mit dem Drehwinkel der Brille zu tun?
Lernziele
Nach diesem Kapitel kannst du …
… die ebene Welle \(E_0 \sin(kx - \omega t)\) lesen: was \(k\), \(\omega\), \(\lambda\), \(T\) und \(f\) bedeuten und wie \(c = \lambda f\) daraus folgt,
… erklären und numerisch belegen, dass \(\vec{E}\), \(\vec{B}\) und die Ausbreitungsrichtung paarweise senkrecht stehen,
… lineare und zirkulare Polarisation unterscheiden — am 3D-Bild und an der Frontalsicht,
… einen Polfilter als Projektion verstehen und das Malus-Gesetz \(I = I_0\cos^2\alpha\) nachrechnen,
… mit \(\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}\) den Energiefluss einer Welle berechnen — bis zur Feldstärke des Sonnenlichts in V/m.
4.1 Die ebene Welle lesen
Kapitel 3 endete mit der Wellengleichung und ihrer Lösung: ein Profil, das unverformt mit Tempo \(c\) davonläuft. Die wichtigste Ausprägung ist die harmonische ebene Welle — ein reiner Sinus:
\[
E(x, t) \;=\; E_0 \,\sin(k x - \omega t).
\]
Drei Stellschrauben, drei Bedeutungen. \(E_0\) ist die Amplitude (der Maximalausschlag, in V/m). \(k\) ist die Wellenzahl — sie sagt, wie schnell die Phase im Raum tickt; nach der Strecke \(\lambda = 2\pi/k\) (der Wellenlänge) wiederholt sich das Muster. Und \(\omega\) ist die Kreisfrequenz — sie sagt, wie schnell die Phase in der Zeit tickt; nach der Zeit \(T = 2\pi/\omega\) (der Periode) ist am festen Ort wieder derselbe Wert da, und \(f = 1/T\) zählt die Schwingungen pro Sekunde in Hertz.
Abbildung 4.1: Zwei Blicke auf dieselbe Welle. Links das Momentbild (Foto zur festen Zeit): Das Muster wiederholt sich nach der Wellenlänge λ, und eine Achtelperiode später (gestrichelt) ist es ein Stück nach rechts gerückt. Rechts der Zeitverlauf an einem festen Ort (Messschrieb): Er wiederholt sich nach der Periode T.
Wie schnell wandert das Muster? Ein Wellenberg sitzt dort, wo das Argument \(kx - \omega t\) konstant bleibt — wächst \(t\), muss \(x\) mitwachsen, und zwar mit dem Tempo \(v = \omega/k\). Mit \(k = 2\pi/\lambda\) und \(\omega = 2\pi f\) wird daraus die handlichste Formel der Wellenlehre:
\[
c \;=\; \frac{\omega}{k} \;=\; \lambda \, f
\qquad\text{— Wellenlänge mal Frequenz ist das Tempo.}
\]
Eine Handrechnung dazu, an einer Zahl, die im Alltag ständig vorbeifliegt: WLAN funkt bei \(f = 2{,}4\) GHz \(= 2{,}4 \cdot 10^9\) Schwingungen pro Sekunde. Umgestellt ist \(\lambda = c/f =
(3{,}0\cdot 10^8\ \text{m/s}) / (2{,}4\cdot 10^9\ \text{1/s}) =
0{,}125\) m — 12,5 Zentimeter. Heraus kommt eine Länge, ein ganz gewöhnlicher Zollstock-Wert.
WichtigVorhersage-Punkt
Bevor du die Zelle liest: Das Stromnetz schwingt mit bescheidenen \(f = 50\) Hz. Schätze die zugehörige Wellenlänge, bevor du sie berechnest — Zimmerbreite? Stadtlänge? Mehr?
from scipy.constants import cfor name, f in [("Stromnetz ", 50.0), ("UKW-Radio ", 100e6), ("WLAN ", 2.4e9), ("grünes Licht ", 5.6e14)]: lam = c / f einheit =f"{lam:,.0f} m"if lam >1elsef"{lam*1e9:,.0f} nm"print(f"{name}: f = {f:>12,.0f} Hz → λ = {einheit}")
Stromnetz : f = 50 Hz → λ = 5,995,849 m
UKW-Radio : f = 100,000,000 Hz → λ = 3 m
WLAN : f = 2,400,000,000 Hz → λ = 124,913,524 nm
grünes Licht : f = 560,000,000,000,000 Hz → λ = 535 nm
Die 50-Hz-Welle ist sechstausend Kilometer lang — Lissabon bis Moskau. Merke dir diese Zahl: In Kapitel 25 erklärt sie, warum dein Stromkabel zum Glück keine Antenne ist. Und grünes Licht? Ein halber Mikrometer — zweihundertmal feiner als ein Haar. Es ist ein und dieselbe Physik über zwölf Größenordnungen.
WarnungNaheliegende Vermutung
Vermutung:„Die Sinuskurve zeigt den Weg des Lichts — es schlängelt sich wellenförmig durch den Raum.”
Warum sie naheliegt: Jede Skizze einer Welle (auch unsere oben) zeichnet eine geschwungene Linie von links nach rechts. Bei einer Wasserwelle bewegt sich die Oberfläche ja wirklich auf und ab — warum nicht auch der Lichtstrahl?
Was stattdessen stimmt: Nichts bewegt sich auf und ab, und der Weg des Lichts ist schnurgerade. Die Kurve ist ein Diagramm: An jedem Ort \(x\) der geraden Strecke trägt sie nach oben ab, wie stark das elektrische Feld dort gerade ist — denselben Feldwert, den seit Kapitel 1 ein Pfeil an jedem Ort darstellt. „Es schwingt” heißt: Der Zahlenwert des Feldes am festen Ort pendelt im Takt \(T\) — so wie eine Temperatur am festen Ort steigen und fallen kann, ohne dass irgendwo Materie auf- und abhüpft.
In dieser HTML-Fassung kannst du genau das laufen sehen — das Muster wandert nach rechts, aber der rote Punkt (ein fester Ort!) pendelt nur auf seiner Senkrechten auf und ab, wie ein Korken auf der Wasserwelle. Die Steuerleiste erlaubt auch Einzelschritte:
Code der Animation (nur in der HTML-Fassung)
# von oben: np, plt# matplotlib.animation: baut aus einer Zeichenfunktion einen Filmfrom matplotlib import animation# IPython.display.HTML: bettet den fertigen Player in die Seite einfrom IPython.display import HTMLx_a = np.linspace(0, 4, 400)LAMBDA =2.0k_a =2* np.pi / LAMBDAX_FEST =2.5# der beobachtete feste Ortfig_a, ax_a = plt.subplots(figsize=(7.0, 2.8))welle, = ax_a.plot(x_a, np.sin(k_a * x_a), color="tab:blue", lw=2)punkt, = ax_a.plot([X_FEST], [np.sin(k_a * X_FEST)], "o", color="crimson", ms=10)ax_a.axvline(X_FEST, color="crimson", lw=0.8, ls=":")ax_a.set_ylim(-1.25, 1.25)ax_a.set_xlabel("x")ax_a.set_ylabel("E")def zeichne(i): wt =2* np.pi * i /24# ω·t in Schritten von T/24 welle.set_ydata(np.sin(k_a * x_a - wt)) punkt.set_data([X_FEST], [np.sin(k_a * X_FEST - wt)])return [welle, punkt]anim = animation.FuncAnimation(fig_a, zeichne, frames=48, interval=60)plt.close(fig_a) # sonst erschiene zusätzlich ein StandbildHTML(anim.to_jshtml(default_mode="loop"))
4.2 Dieselbe Welle, dreimal gezeichnet — und was davon echt ist
Wenn die Kurve nur ein Diagramm ist: Wie sieht die Welle dann in echt aus? Die ehrliche Antwort: gar nicht. Ein Feld ist kein Ding mit Aussehen — es ist eine messbare Eigenschaft des Raums. Die Messvorschrift kennst du seit Kapitel 1: Setze eine Probeladung an einen Punkt des (schnurgeraden!) Strahls und miss die Kraft auf sie — Kraft pro Ladung ist\(\vec{E}\), mit Betrag und Richtung. Läufst du den Strahl entlang und misst an jedem Punkt, bekommst du eine Zahlenliste. Alles, was wir zeichnen können, sind verschiedene Auftragungen dieser einen Liste:
x = np.linspace(0, 4, 400)k =2*np.pi /2.0# Wellenzahl (λ = 2)E_jetzt = np.sin(k*x) # die Messreihe bei t = 0E_danach = np.sin(k*x -0.9) # dieselbe, einen Augenblick späterfig, (ax1, ax2, ax3) = plt.subplots(3, 1, figsize=(7.2, 6.2), sharex=True)ax1.plot(x, E_jetzt, color="tab:blue")ax1.axhline(0, color="k", lw=0.5)ax1.set_ylabel("E (V/m)")ax1.set_title("1 · Diagramm: der Messwert, nach oben aufgetragen", fontsize=10, loc="left")xq = np.linspace(0, 4, 41)ax2.quiver(xq, np.zeros_like(xq), np.zeros_like(xq), np.sin(k*xq), color="tab:blue", scale_units="y", scale=1, width=0.004)ax2.axhline(0, color="k", lw=0.8)ax2.set_ylim(-1.4, 1.4)ax2.set_ylabel("Kraft auf\nProbeladung")ax2.set_title("2 · Pfeile: dieselben Werte als Querkraft am Ort", fontsize=10, loc="left")band = np.vstack([E_jetzt, E_danach]) # zwei Zeitpunkte übereinanderax3.imshow(band, aspect="auto", extent=(0, 4, 0, 2), cmap="RdBu_r", vmin=-1, vmax=1)ax3.set_yticks([1.5, 0.5])ax3.set_yticklabels(["t = 0", "kurz danach"])ax3.set_xlabel("Ort entlang des geraden Strahls (m)")ax3.set_title("3 · Farbband: der Strahl selbst — Farbe = Messwert", fontsize=10, loc="left")plt.tight_layout(); plt.show()
Abbildung 4.2: Ein und dieselbe Messreihe entlang eines geraden Strahls, dreimal aufgetragen. Oben als Diagramm (Messwert nach oben). Mitte als Kraftpfeile am Ort — so würde eine Probeladung an jedem Punkt gezogen. Unten als Farbband: der Strahl selbst, Farbe = Messwert (rot positiv, blau negativ); kurze Zeit später ist das Farbmuster nach rechts gerückt — gewandert ist die Eigenschaft, nicht der Strahl.
Das Farbband ist die ehrlichste Darstellung dessen, was räumlich passiert: ein gerader Strahl, an dem sich nichts verbiegt — nur ein Eigenschafts-Muster, das nach rechts wandert wie eine Lichterkette, deren Lämpchen nacheinander schalten. Aber Farbe kann keine Richtung quer zum Strahl zeigen, und genau die ist der Inhalt dieses Kapitels. Deshalb braucht es auch die Pfeile — und die sind keine bloße Diagramm-Erfindung, denn die Querrichtung ist physikalisch real und messbar:
Ein Elektron in einer Empfangsantenne zappelt wirklich quer — entlang der Pfeile aus Panel 2, im Takt der Welle. Deshalb steht die UKW-Stabantenne aufrecht: ihre Elektronen sollen entlang des Stabes geschoben werden.
Deine Polbrille reagiert wirklich auf den Winkel dieser Richtung — das \(\cos^2\), das wir gleich messen, ist Experimentalphysik, kein Zeichen-Artefakt.
Die Beträge tragen reale Energie (am Kapitelende: 868 V/m im Sonnenschein).
Fiktion ist an den Wellendiagrammen also nur eines: die Vorstellung, das Licht selbst weiche seitlich aus. Die Querbewegung gehört den Ladungen, auf die das Feld trifft — nicht dem Strahl. Mit dieser Übersetzungstafel im Kopf darfst du ab jetzt jede Darstellung lesen, ohne ihr auf den Leim zu gehen: Kurven und Pfeile, wenn Richtungen und Winkel zählen (Polarisation, Projektion) — Farbe, wenn die Verteilung im Raum zählt (so zeigen ab Kapitel 9 die 2D-Simulationen ihre Felder als Farbbilder).
4.3 Quer liegt das Feld: Transversalität
In welche Richtung zeigt nun der pendelnde Feldpfeil? Die Maxwell-Gleichungen lassen auch hier keine Wahl. Im leeren Raum gilt \(\nabla \cdot \vec{E} = 0\) — hätte das Feld eine Komponente entlang der Laufrichtung, die wie ein Sinus an- und abschwillt, dann hätte es genau die Quellstärke, die Gleichung (1) ohne Ladungen verbietet. Also bleibt dem Feld nur die Querrichtung. Dasselbe gilt für \(\vec{B}\), und die beiden Wirbelgleichungen verzahnen die Felder zusätzlich miteinander: Für eine Welle in \(+x\)-Richtung mit \(\vec{E}\) entlang \(y\) liegt \(\vec{B}\) entlang \(z\), mit dem festen Größenverhältnis \(B = E/c\) aus Kapitel 3. Alle drei Richtungen stehen paarweise senkrecht:
Abbildung 4.3: Momentbild einer ebenen Welle, die nach rechts läuft. Jeder Pfeil ist der Feldwert an einem Punkt der geraden x-Achse: E (blau) schwingt in y, B (rot, in Einheiten von E/c gezeichnet) schwingt in z — beide quer zum Weg, beide im Gleichtakt.
Eine Lesehilfe, denn dieses Bild wird oft missverstanden: Alle Pfeile starten auf der geraden x-Achse — der einzigen Linie, auf der hier irgendetwas passiert. Jeder blaue Pfeil ist der E-Feldwert an seinem Fußpunkt (er zeigt in y, aber er sitzt auf der Achse), jeder rote der B-Feldwert ebendort. Die geschwungenen Kurven verbinden nur die Pfeilspitzen — sie sind das Diagramm aus dem Kästchen oben, in 3D.
Ob die Senkrecht-Behauptung stimmt, klärt das Kreuz- und Skalarprodukt aus Kapitel 1 — an einem konkreten Punkt, mit konkreten Zahlen. Wir nehmen den Ort, an dem die Phase gerade \(\pi/3\) beträgt (\(\sin = 0{,}866\)), und setzen \(E_0 = 1\) V/m:
# von oben: c (Import aus scipy.constants, Wellenlängen-Zelle)from scipy.constants import mu_0E = np.array([0.0, 0.866, 0.0]) # V/m — zeigt in yB = np.array([0.0, 0.0, 0.866]) / c # T — zeigt in z, Betrag E/claufrichtung = np.array([1.0, 0.0, 0.0])print(f"E · B = {E @ B} (senkrecht: Skalarprodukt 0)")print(f"E · Laufrichtung = {E @ laufrichtung}")print(f"B · Laufrichtung = {B @ laufrichtung}")print(f"E × B zeigt nach {np.cross(E, B) / np.linalg.norm(np.cross(E, B))}")
E · B = 0.0 (senkrecht: Skalarprodukt 0)
E · Laufrichtung = 0.0
B · Laufrichtung = 0.0
E × B zeigt nach [1. 0. 0.]
Beide Skalarprodukte null, und das Kreuzprodukt \(\vec{E}\times\vec{B}\) zeigt exakt in die Laufrichtung — das wird am Kapitelende noch wichtig, denn dort fließt die Energie.
4.4 Polarisation: die Schwingungsrichtung ist wählbar
„\(\vec{E}\) liegt quer” lässt der Welle genau eine Freiheit: In welche Querrichtung zeigt der Pfeil? Diese Wahl heißt Polarisation. Zeigt \(\vec{E}\) immer entlang derselben Geraden (etwa stur in \(y\)), heißt die Welle linear polarisiert. Die Komponenten dürfen sich aber auch abwechseln: \(E_y\) und \(E_z\) je ein Sinus, um eine Viertelperiode versetzt — dann ist der Pfeil nie null, sondern dreht sich mit konstanter Länge im Kreis: zirkular polarisiert.
Abbildung 4.4: Links die linear polarisierte Welle: Die E-Pfeile bleiben in einer Ebene, das Momentbild ist ein flaches Band. Rechts die zirkulare: gleiche Amplitude in y und z, um T/4 versetzt — die Pfeilspitze beschreibt eine Schraube. Darunter die Frontalsicht (Blick der Welle entgegen, an einem festen Ort über eine Periode): Strich beziehungsweise Kreis.
Die Frontalsicht ist die ehrlichste Darstellung: Sie zeigt, was an einem festen Ort über eine Periode wirklich geschieht. Linear heißt: Der Feldpfeil pendelt auf einem Strich (durch null hindurch). Zirkular heißt: Er läuft mit konstanter Länge auf einem Kreis. Dazwischen gibt es jede Ellipse — Übung 4.4 baut eine. Sonnenlicht und Glühlampenlicht sind übrigens unpolarisiert: ein wildes Gemisch, dessen Schwingungsrichtung millionenfach pro Sekunde zufällig wechselt.
Den Unterschied sieht man am besten in Bewegung — hier die Frontalsicht beider Wellen als Film: Links pendelt der Pfeil durch die Null, rechts läuft er mit konstanter Länge im Kreis (und die graue Spur zeichnet die Bahn nach):
Und jetzt du: Das Mischpult unten ist eine editierbare Live-Zelle (Run-Knopf oder Strg+Enter, läuft im Browser). Stelle PHASE = 0 (was wird aus dem Kreis?), dann PHASE = 45, dann A_Z = 0.5 bei 90° — und sage jeweils vorher, welche Bahn die Pfeilspitze ziehen wird. Zum Schluss PHASE = -90: Die Bahn sieht gleich aus — was hat sich trotzdem geändert? (Die Animation oben verrät es.)
4.5 Der Polfilter: ein Skalarprodukt aus Plastik
Jetzt zum Brillen-Experiment. Ein Polfilter hat eine Durchlassrichtung\(\hat{d}\): Er lässt von einem ankommenden E-Feld genau den Anteil passieren, der entlang \(\hat{d}\) zeigt — und schluckt den Rest. „Der Anteil entlang einer Richtung” ist seit Kapitel 1 ein fester Begriff: die Projektion, berechnet mit dem Skalarprodukt. Durchgelassene Amplitude: \(E_0 \cos\alpha\), wenn \(\alpha\) der Winkel zwischen Polarisation und Durchlassrichtung ist. Die Helligkeit (Intensität) geht mit dem Quadrat der Amplitude — warum, klärt der Energie-Abschnitt gleich —, also:
\[
I \;=\; I_0 \cos^2\alpha
\qquad\text{(Malus-Gesetz).}
\]
Eine Handrechnung bei \(\alpha = 30°\): Durchgelassene Amplitude \(\cos 30° = 0{,}866\), Intensität \(0{,}866^2 = 0{,}75\) — drei Viertel der Helligkeit. Bei \(\alpha = 90°\) (Brille quer zum Display): \(\cos 90° = 0\), Intensität null — stockfinster, wie beobachtet. Das Display sendet nämlich linear polarisiertes Licht aus (so funktionieren LC-Displays intern), und die Brille fragt mit ihrem Skalarprodukt genau diese Richtung ab.
Und nun die Überraschung, die dieses harmlose \(\cos^2\) versteckt:
WichtigVorhersage-Punkt
Bevor du die Zelle liest: Zwei gekreuzte Filter (0° und 90°) lassen nichts durch. Jetzt schieben wir einen dritten Filter mit 45° zwischen die beiden. Es gibt jetzt mehr lichtschluckendes Material im Weg als vorher. Wird es dunkler, gleich dunkel — oder heller? Lege dich fest, mit Begründung.
def durch_filter(E, winkel_grad):"""Polfilter = Projektion des E-Vektors auf die Durchlassrichtung.""" w = np.radians(winkel_grad) # np.radians: Grad → Bogenmaß d = np.array([np.cos(w), np.sin(w)])return (E @ d) * d # Anteil entlang d, als VektorE_start = np.array([1.0, 0.0]) # linear polarisiert, 0°, I = 1E1 = durch_filter(E_start, 90)print(f"nur 90°-Filter: I = {E1 @ E1:.4f}")E2 = durch_filter(durch_filter(E_start, 45), 90)print(f"erst 45°, dann 90°: I = {E2 @ E2:.4f}")
nur 90°-Filter: I = 0.0000
erst 45°, dann 90°: I = 0.2500
Heller. Ein Viertel der Helligkeit, wo eben noch absolute Dunkelheit war — durch Hinzufügen eines Filters. Der Trick: Der 45°-Filter projiziert das Feld auf seine eigene Richtung und dreht damit die Polarisation. Das Licht, das bei ihm herauskommt, schwingt unter 45° — und davon lässt der 90°-Filter wieder den \(\cos^2 45° = 0{,}5\)-Anteil durch. Zweimal halbiert ergibt ein Viertel. Ein Polfilter ist eben kein Sieb, das Vorhandenes nur ausdünnt — er ist eine Projektion, und Projektionen können die Richtung dessen, was sie durchlassen, neu festlegen. (Übung 4.3 treibt das auf die Spitze: Mit vielen kleinen Drehschritten kommt fast alles Licht um die 90°-Ecke.)
4.6 Die Welle trägt Energie: \(\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}\) konkret
Dass „Intensität” mit dem Quadrat der Amplitude geht, ist keine Konvention, sondern Physik — und ihr Träger ist das Kreuzprodukt aus Kapitel 1. Der Poynting-Vektor
ist ein Vektorfeld: An jedem Ort zeigt er, wohin Feldenergie strömt, und sein Betrag sagt, wie viel — in Watt pro Quadratmeter, der Einheit aus der Vorwort-Tabelle. (\(\vec{H}\) ist dabei nur das mit \(1/\mu_0\) umskalierte \(\vec{B}\) — ein eigenes Symbol bekommt es, weil es in Materie später ein Eigenleben entwickelt.)
Für unsere ebene Welle haben wir oben schon nachgerechnet, dass \(\vec{E}\times\vec{B}\) in die Laufrichtung zeigt. Setzen wir Zahlen ein — am selben Punkt wie vorhin (\(E = 0{,}866\) V/m, \(B = E/c\)):
Eine Zahl pro Ort und Moment — und weil \(S \propto E^2\) ist, steckt hier das Quadrat aus dem Malus-Gesetz. Wie sieht \(S\) entlang der ganzen Welle aus?
# von oben: mu_0, c (Importe aus scipy.constants)x = np.linspace(0, 4, 600)k =2*np.pi /2.0# Wellenzahl (λ = 2)E = np.sin(k*x) # E_y in V/m (E₀ = 1)S = E**2/ (mu_0 * c) # S_x = E²/(µ₀c) in W/m²fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(7.2, 4.6), sharex=True)ax1.plot(x, E, color="tab:blue")ax1.axhline(0, color="k", lw=0.5)ax1.set_ylabel("E (V/m)")ax2.plot(x, 1000*S, color="tab:orange")ax2.axhline(0, color="k", lw=0.5)ax2.set_ylim(-0.3, 2.9) # Nulllinie sichtbar im Bildax2.set_xlabel("Ort x"); ax2.set_ylabel("S (mW/m²)")plt.tight_layout(); plt.show()print(f"kleinster Wert von S entlang der Welle: {np.min(S):.1e} W/m²")print(f"Zeitmittel: S̄ = E₀²/(2µ₀c) = {1.0/(2*mu_0*c)*1000:.3f} mW/m²")
Abbildung 4.5: Oben das Feld E der Welle: Es wechselt das Vorzeichen. Unten der Energiefluss S am selben Ort: Er tut es nie — er pulsiert mit halber Wellenlänge zwischen null und Maximum, bleibt aber überall oberhalb seiner Nulllinie. Energie schwappt nicht zurück.
kleinster Wert von S entlang der Welle: 0.0e+00 W/m²
Zeitmittel: S̄ = E₀²/(2µ₀c) = 1.327 mW/m²
\(S\) wird nie negativ — auch wo das Feld gerade „nach unten” zeigt, fließt die Energie vorwärts, denn \(\vec{B}\) kippt im selben Moment mit, und das Kreuzprodukt zweier gekippter Pfeile zeigt unverändert nach vorn. Im Zeitmittel bleibt die Hälfte des Spitzenwerts: \(\bar{S} = E_0^2/(2\mu_0 c)\).
Diese Formel kann man rückwärts lesen, und das lohnt sich. Die Sonne liefert am Mittag rund \(\bar{S} = 1000\) W/m² (der Anker aus dem Vorwort). Welche Feldstärke steckt dahinter?
# von oben: mu_0, c (Importe aus scipy.constants)S_sonne =1000.0# W/m²E0 = np.sqrt(2* mu_0 * c * S_sonne)print(f"E₀ = sqrt(2·µ₀·c·S̄) = {E0:.0f} V/m")print(f"B₀ = E₀/c = {E0/c*1e6:.1f} µT (Erdmagnetfeld: ≈ 50 µT)")
Im hellen Sonnenschein steht an jedem Punkt der Luft ein elektrisches Wechselfeld von fast 900 Volt pro Meter Spitzenwert — das zugehörige Magnetfeld dagegen ist zwanzigmal schwächer als das Erdmagnetfeld. Dieses krasse Ungleichgewicht der Zahlenwerte (Faktor \(c\)!) täuscht: Beide Felder tragen exakt gleich viel Energie. Das rechnen wir in Kapitel 18 nach, wenn der Poynting-Vektor sein eigenes Kapitel bekommt.
Das Kapitel-Programmprogramme/kap04/kap04_polarisation.py bündelt die Bausteine: Polarisations-Galerie, Malus-Drehkurve gegen die \(\cos^2\)-Theorie (Abweichung \(10^{-16}\)), Filterketten-Checks und die Sonnenlicht-Rechnung — alles mit assert-Schranken.
TippMerkkasten
Ebene Welle \(E_0\sin(kx - \omega t)\): \(k\) tickt im Raum (\(\lambda = 2\pi/k\)), \(\omega\) in der Zeit (\(T = 2\pi/\omega\)); Tempo \(c = \omega/k = \lambda f\).
Die Sinuskurve ist ein Diagramm des Feldwerts, kein Flugweg — Licht läuft schnurgerade.
\(\vec{E} \perp \vec{B} \perp\) Laufrichtung, mit \(B = E/c\); Polarisation = die Querrichtung, in der \(\vec{E}\) schwingt (Strich = linear, Kreis = zirkular).
Ein Polfilter projiziert (Skalarprodukt): \(I = I_0\cos^2\alpha\) — und weil Projektionen die Polarisation drehen, kann ein dritter Filter Licht „zurückholen”.
\(\vec{S} = \vec{E}\times\vec{H}\) (W/m²) zeigt bei der ebenen Welle stets vorwärts und pulsiert; Sonnenlicht: \(E_0 \approx 870\) V/m.
Roter Faden
Mit diesem Kapitel ist Teil I geschlossen, und seine Werkzeuge haben alle Physik gefunden: Das Skalarprodukt aus Kapitel 1 steckt im Polfilter, das Kreuzprodukt im Energiefluss; die Quellenfreiheit aus Kapitel 2/3 hat die Felder in die Querrichtung gezwungen; die Wellengleichung aus Kapitel 3 lieferte Tempo und Takt. Nach vorn: In Teil II (ab Kapitel 5) bauen wir die Wirbelgleichungen als Schleife auf dem Gitter nach — FDTD — und sehen Wellen entstehen statt sie anzusetzen. Die Polarisation kehrt in Kapitel 13 zurück (Brewster-Winkel: warum Polbrillen Spiegelungen schlucken), der Poynting-Vektor in Kapitel 18, und die 6000-km-Welle des Stromnetzes in Kapitel 25.
Übungen
Ü 4.1 (Verstehen). UKW-Radio sendet um \(f = 100\) MHz. Berechne \(\lambda\) — und erkläre damit, warum die klassische Teleskop-Stabantenne ausgezogen etwa 1,5 m lang ist.
HinweisMusterlösung zu Ü 4.1
\(\lambda = c/f = 3\cdot 10^8 / 10^8 = 3\) m:
# von oben: c (Import aus scipy.constants)f_ukw =100e6print(f"λ = c/f = {c/f_ukw:.2f} m → λ/2 = {c/f_ukw/2:.2f} m")
λ = c/f = 3.00 m → λ/2 = 1.50 m
Antennen arbeiten am besten, wenn ihre Länge zur Welle passt; ein bewährtes Maß ist die halbe Wellenlänge — hier 1,5 m. (Warum gerade λ/2 so günstig ist, klärt Teil VI.)
Ü 4.2 (Verstehen). Drehe einen Polfilter um volle 180°. Das Malus-Gesetz sagt \(\cos^2 180° = 1\) — alles kommt durch, als hätte man nie gedreht. Aber der durchgelassene Feldvektor zeigt jetzt in die Gegenrichtung. Warum sieht man davon nichts?
HinweisMusterlösung zu Ü 4.2
Ein um 180° gedrehter E-Vektor ist dieselbe Schwingung mit halbem Perioden-Versatz: Der Pfeil pendelt ohnehin ständig zwischen \(+\vec{E}\) und \(-\vec{E}\) hin und her. Messbar ist nur die Intensität \(\propto E^2\), und \((-E)^2 = E^2\). Die Polarisations-Richtung ist darum eine Gerade ohne Pfeilspitze — 0° und 180° sind physikalisch derselbe Filter.
Ü 4.3 (Verändern). Erweitere die Filterkette des Kapitel-Programms: Statt eines 45°-Zwischenfilters nimm \(N\) Filter bei \(90°/N,\, 2\cdot 90°/N,\, \dots,\, 90°\). Berechne die durchgelassene Intensität für \(N = 2, 4, 8, 16, 90\). Wohin strebt sie — und was bedeutet das anschaulich?
HinweisMusterlösung zu Ü 4.3
E in einer Schleife durch die gestaffelten Filter schicken:
# von oben: durch_filter() (Polfilter-Abschnitt)for N in (2, 4, 8, 16, 90): E_kette = np.array([1.0, 0.0])for i inrange(1, N +1): E_kette = durch_filter(E_kette, i *90/ N)print(f"N = {N:2d} Filter: I = {E_kette @ E_kette:.3f}")
N = 2 Filter: I = 0.250
N = 4 Filter: I = 0.531
N = 8 Filter: I = 0.733
N = 16 Filter: I = 0.857
N = 90 Filter: I = 0.973
Jeder Schritt dreht nur um den kleinen Winkel \(90°/N\) und kostet den Faktor \(\cos^2(90°/N)\); insgesamt \(I = \cos^{2N}(90°/N)\) — gegen 1 für großes \(N\): Mit genügend sanften Drehschritten lässt sich die Polarisation praktisch verlustfrei um 90° führen. Eine Projektion in vielen kleinen Schritten ist fast eine Drehung.
Ü 4.4 (Übertragen). Baue in der Frontalsicht-Darstellung eine Welle aus \(E_y = \sin(\omega t)\) und \(E_z = \sin(\omega t + \varphi)\) und zeichne die Spur der Pfeilspitze für \(\varphi = 0°, 45°, 90°, 135°, 180°\). Beschreibe, was zwischen Strich und Kreis passiert.
HinweisMusterlösung zu Ü 4.4
Fünf plot(np.sin(wt), np.sin(wt + φ))-Aufrufe genügen:
\(\varphi = 0°\): Strich unter 45° (beide Komponenten im Gleichtakt). \(\varphi = 90°\): Kreis. Dazwischen (\(45°, 135°\)): Ellipsen, zunehmend bauchig, mit gekippter Hauptachse — die allgemeine, „elliptische” Polarisation, deren Grenzfälle Strich und Kreis sind. \(\varphi = 180°\): wieder ein Strich, nun unter \(-45°\).
Das Kleingedruckte
Das Lattenzaun-Bild (Polfilter als Schlitzgitter, durch das nur „passend schwingende” Wellen schlüpfen) trägt für die Mechanik eines Seils — für Licht an realen Drahtgitter-Polarisatoren ist es sogar verkehrt herum: Durchgelassen wird die Schwingung quer zu den Drähten, denn längs der Drähte kann das Feld Ströme treiben und wird absorbiert.
\(\vec{H}\) vs. \(\vec{B}\): Im Vakuum unterscheiden sich beide nur um den festen Faktor \(\mu_0\) — die Unterscheidung wird erst in Materie inhaltlich (Magnetisierung), ab Teil IV/VII.
„Intensität” meint das Zeitmittel von \(|\vec{S}|\) — daher der Faktor \(\tfrac{1}{2}\) in \(\bar{S} = E_0^2/(2\mu_0 c)\), das Mittel von \(\sin^2\).
Zirkular gibt es zweimal: links- und rechtsdrehend, je nach Vorzeichen des Versatzes. Der Drehsinn wird wichtig, wo Licht auf chirale Strukturen trifft (Teil VII) — und bei Satellitenfunk, der zirkulare Polarisation nutzt, weil sie Drehungen der Antenne verzeiht.
