Lege einen Finger auf ein Glas Wasser und schau von schräg unten durch die Wand: Wo die Haut das Glas berührt, siehst du die Fingerlinien dunkel und gestochen scharf — obwohl an dieser Stelle eigentlich Totalreflexion herrschen müsste, die das Licht vollständig im Glas hält. Genau dieser Effekt steckt in vielen Fingerabdruck-Scannern: Eine Glasplatte führt Licht per Totalreflexion, und überall dort, wo eine Hautleiste nahe genug an die Oberfläche kommt, springt das Licht aus dem Glas in den Finger und fehlt anschließend im reflektierten Bild. Nahe genug — nicht: berührt. Das Licht überwindet einen Luftspalt, durch den es laut Kapitel 12 gar nicht hindurchkönnen dürfte.
Dieses Kapitel löst gleich drei alte Versprechen ein. Kapitel 12 hatte den evaneszenten Saum vermessen — das exponentiell abklingende Feld jenseits der totalreflektierenden Grenze — und angekündigt, dass er hier zur Hauptfigur wird: Hält man ihm ein zweites Glas hin, tunnelt das Licht. Kapitel 15 fand, dass ein kleines Loch im Resonator praktisch dicht ist (die Mikrowellentür), und vertagte das Warum auf dieses Kapitel: den Cutoff — unterhalb einer Grenzfrequenz trägt ein Rohr schlicht keine Welle. Und Kapitel 16 maß im Drude-Medium Wellenberge, die schneller als \(c\) laufen; dieselbe Physik wohnt, wie sich zeigen wird, in jedem Stück Metallrohr. Tunneln und Cutoff sind dabei kein Themenpaar aus Verlegenheit: Es ist dieselbe Mathematik — ein Frequenzbereich, in dem die Welle nicht laufen kann, ein exponentielles \(e^{-\kappa x}\), und die Frage, wie viel davon am anderen Ende noch übrig ist.
Lernziele
Nach diesem Kapitel kannst du …
… die frustrierte Totalreflexion (FTIR) erklären und quantitativ vorhersagen: Transmission durch einen Luftspalt nach der sinh-Formel, über drei Dekaden gemessen,
… begründen, warum ein Strahl ein Winkelbündel ist und wann das die Messung dominiert (die Kapitel-12-Lektion, quantitativ gemacht),
… die Grenzfrequenz eines Hohlleiters \(f_c = m/(2w)\) herleiten und die Cutoff-Klippe messen — samt der Mikrowellentür-Bilanz aus Kapitel 15,
… die Hohlleiter-Dispersion \(\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2\) herleiten, ihre Verwandtschaft mit dem Drude-Plasma aus Kapitel 16 erkennen und \(v_p \cdot v_g = c^2\) im Rohr messen,
… erklären, warum die Glasfaser ihr Licht behält — und unter welchen Umständen doch nicht.
17.1 Eine Brücke für den Saum
Zuerst die Erinnerung mit Zahlen. Trifft Licht aus Glas (\(n = 1{,}5\)) unter \(\theta > \theta_c = 41{,}8°\) auf die Grenze zu Luft, wird es total reflektiert; jenseits der Grenze lebt nur der Saum \(e^{-\kappa y}\) mit (Kapitel 12)
Die Handrechnung für unsere Bühne — \(f = 1\), \(\theta = 50°\): \(n\sin\theta = 1{,}5 \cdot 0{,}766 = 1{,}149\), also \(\kappa = 2\pi\sqrt{1{,}320 - 1} = 2\pi \cdot 0{,}566 = 3{,}555\) und Eindringtiefe \(\delta = 1/\kappa = 0{,}281\) — gut eine Viertelwellenlänge. In dieser dünnen Schicht ist Feld, und Kapitel 12 hat gemessen, dass es dort sogar Energie seitwärts transportiert. Es fehlt ihm nur ein Abnehmer.
Den liefern wir jetzt: ein zweites Glas, im Abstand \(d\) parallel über dem ersten. Liegt \(d\) in Reichweite des Saums, findet das evaneszente Feld an der zweiten Grenze wieder ein Medium, in dem es als laufende Welle weiter kann — und ein Teil der Leistung tut genau das. Der Effekt heißt frustrierte Totalreflexion (FTIR): Die Totalreflexion wird um ihren hundertprozentigen Anspruch gebracht. Die Theorie dazu ist ein Randbedingungs-Puzzle wie die Spiegelformel aus Kapitel 6, nur mit zwei Grenzen und dem Saum dazwischen; das Ergebnis für unsere Polarisation (\(E_z\), also s) lautet
mit \(k_z = (2\pi f/c)\,n\cos\theta\), der senkrechten Wellenzahl im Glas. Zwei Proben aufs Exempel: Für \(d \to 0\) ist \(\sinh 0 = 0\), also \(T = 1\) — kein Spalt, keine Reflexion, das Glas ist durchgehend. Und für \(\kappa d \gtrsim 1\) wächst \(\sinh^2(\kappa d) \approx e^{2\kappa d}/4\), also fällt \(T \propto e^{-2\kappa d}\) — exponentiell, mit dem doppelten \(\kappa\), weil Leistung das Quadrat der Amplitude ist. Die Handrechnung an einem Punkt: \(k_z = 2\pi \cdot 1{,}5 \cdot
\cos 50° = 6{,}058\), \(V = (36{,}7 + 12{,}6)^2/(4 \cdot 36{,}7
\cdot 12{,}6) = 1{,}31\); bei \(d = 0{,}4\) ist \(\sinh(1{,}422) = 1{,}95\) und damit \(T = 1/(1 + 1{,}31 \cdot 3{,}81) = 0{,}167\) — ein Sechstel der Leistung springt über einen Spalt von \(0{,}4\) Wellenlängen.
WarnungNaheliegende Vermutung
„Total heißt total: Solange das zweite Glas die Oberfläche nicht berührt, bleibt die Reflexion bei 100 % — Luftspalt ist Luftspalt.”
Warum sie naheliegt: Kapitel 12 hat die Totalreflexion als perfekten Spiegel gemessen (Reflexionsgrad 0,989 plus Bündel-Krümel) — und ein Spalt, durch den keine laufende Welle passt, sieht nach einer absoluten Barriere aus.
Was stattdessen stimmt: Der Saum ist Feld jenseits der Grenze — nur eben abklingendes. Kommt die zweite Grenze in seine Reichweite (ein paar Zehntel Wellenlängen), trägt er Leistung hinüber: bei \(d = 0{,}4\,\lambda\) schon ein Sechstel. „Total” gilt nur, wenn der Saum nichts findet — die Messung folgt sofort, und die Empfindlichkeit der Sache (exponentiell in \(d\)!) ist kein Ärgernis, sondern die Grundlage von Fingerabdruck-Scannern und einstellbaren Strahlteilern.
Das Experiment: die Kapitel-12-Bühne mit zweitem Stockwerk. Frage: Folgt die gemessene Transmission \(T(d)\) der sinh-Formel? Bühne: eine \(24 \times 16\)-Zelle, Auflösung 24; Glas füllt alles unterhalb von \(y = 0\) und alles oberhalb von \(y = d\) — dazwischen der Luftspalt. Anregung: der Gauß-Strahl aus Kapitel 12 (GaussianBeamSource, Taille \(w_0 = 3\), schmalbandiger Puls um \(f = 1\)), aus dem unteren Glas auf den Punkt \((0, 0)\) gezielt, Einfallswinkel \(50°\) — acht Grad über dem Grenzwinkel, damit auch die Flügel des Winkelbündels (±4°, dazu gleich mehr) totalreflektiert werden. Gemessen wird der Fluss durch eine Linie oben im zweiten Glas (add_flux, until_after_sources — das Rezept aus Kapitel 12); als Referenz dient der Lauf mit \(d = 0\), also durchgehendes Glas: \(T(d) = P(d)/P(0)\). Erfolgskriterium: die Punkte auf der Theorielinie über mehrere Dekaden.
Zuerst ein einzelner Lauf mit \(d = 0{,}6\), von dem wir uns auch die Lichtspur (das aufsummierte \(E_z^2\), das Rezept aus Kapitel 16) zeigen lassen:
Abbildung 17.1: Lichtspur eines FTIR-Laufs mit Spalt d = 0,6 (aufsummiertes E_z², Wurzeldarstellung; die weißen Linien markieren die beiden Glasoberflächen). Der Strahl kommt von links unten, der helle reflektierte Arm läuft nach rechts unten ab — aber über den Luftspalt hinweg setzt ein zweiter, schwächerer Strahl im oberen Glas an und läuft parallel weiter: das getunnelte Licht. Im Spalt selbst liegt nur der schmale helle Saum.
Da ist die Brücke.
In dieser HTML-Fassung kannst du ihr beim Arbeiten zusehen — derselbe Aufbau, aber als Dauerstrich, eine volle Periode in sechzehn Bildern (Farbe jetzt das rohe \(E_z\), Skala gespreizt, damit der schwache getunnelte Strahl sichtbar wird). Achte mit den Einzelschritt-Knöpfen auf den Spalt: Unten laufen die Wellenberge schräg an die Grenze, oben laufen sie schräg davon — aber im Spalt selbst läuft nichts. Der Saum schwillt nur an und ab, im Takt der Welle, ohne eigene Laufrichtung: eine atmende Brücke, über die trotzdem Leistung fließt.
Wir messen gleich \(T\) für Spaltbreiten von \(0{,}2\) bis \(1{,}2\). Wenn man den Spalt von \(d = 0{,}4\) auf \(d = 0{,}8\)verdoppelt — fällt die Transmission dann ungefähr auf die Hälfte, auf ein Viertel, oder auf etwas ganz anderes?
Die Formel hat die Antwort schon verraten: Im Exponentialbereich kostet jede zusätzliche Strecke\(\delta\) denselben Faktor — \(T \propto e^{-2\kappa d}\) ist kein Verhältnis-, sondern ein Faktorengesetz. Verdopplung von \(0{,}4\) auf \(0{,}8\) heißt \(e^{-2 \cdot 3{,}555 \cdot 0{,}4}
\approx 1/17\) zusätzlich (die sinh-Korrektur mildert das auf etwa \(1/11\)). Jetzt die Reihe:
# von oben: ftir_lauf(), npdef theorie_T(theta_grad, d):"""FTIR-Transmission, ebene Welle, s-Polarisation.""" th = np.deg2rad(theta_grad) k =2* np.pi * F0 arg = (N_GLAS * np.sin(th))**2-1if arg <=0:return1.0# unterhalb des Grenzwinkels: durchlässig kz = k * N_GLAS * np.cos(th) kap = k * np.sqrt(arg) V = (kz**2+ kap**2)**2/ (4* kz**2* kap**2)return1/ (1+ V * np.sinh(kap * d)**2)P_ref = ftir_lauf(50.0, 0.0) # Referenz: durchgehendes GlasT_mess = {0.6: P_d06 / P_ref} # der Lauf von ebenfor d in (0.2, 0.4, 0.8, 1.0, 1.2): T_mess[d] = ftir_lauf(50.0, d) / P_reffor d insorted(T_mess):print(f"d = {d}: T = {T_mess[d]:.4f} "f"(ebene Welle: {theorie_T(50.0, d):.4f})")print(f"\nSpaltverdopplung 0,4 -> 0,8: Faktor "f"{T_mess[0.4] / T_mess[0.8]:.1f}")
d = 0.2: T = 0.5682 (ebene Welle: 0.5608)
d = 0.4: T = 0.1781 (ebene Welle: 0.1666)
d = 0.6: T = 0.0516 (ebene Welle: 0.0421)
d = 0.8: T = 0.0167 (ebene Welle: 0.0103)
d = 1.0: T = 0.0070 (ebene Welle: 0.0025)
d = 1.2: T = 0.0040 (ebene Welle: 0.0006)
Spaltverdopplung 0,4 -> 0,8: Faktor 10.7
Die Verdopplungsantwort: Faktor elf, nicht zwei — exponentielle Gesetze bestrafen lineare Intuition. Aber die Tabelle enthält noch eine zweite Geschichte, und die kennen wir aus Kapitel 12: Bei kleinen Spalten passt die Ebene-Welle-Formel auf wenige Prozent, doch je größer \(d\), desto weiter liegt die Messung über der Theorie — bei \(d = 1{,}2\) um mehr als Faktor sechs. Wieder ist der Strahl schuld, genauer: dass er keiner ist. Ein Gauß-Strahl der Taille \(w_0 = 3\) ist ein Winkelbündel mit etwa ±4° Streuung um die Strahlrichtung, und \(\kappa\) hängt empfindlich vom Winkel ab: Die flacheren Komponenten des Bündels (näher an \(\theta_c\)) haben ein kleineres \(\kappa\) und tunneln viel besser. Bei großem \(d\), wo jede Dekade \(\kappa d\) zählt, dominieren diese Flügel die Transmission — das Bündel-Mittel liegt weit über dem Wert des Mittelwinkels. Das können wir ausrechnen, denn das Winkelspektrum des Gauß-Strahls ist selbst eine Gauß-Glocke (Breite \(\propto 1/w_0\) — schmaler Strahl, breites Bündel: die Kapitel-10-Reziprozität im Raum):
# von oben: theorie_T(), T_mess, N_GLAS, F0, W0, np, pltdef theorie_T_buendel(theta_grad, d):"""sinh-Formel, gemittelt über das Gauß-Winkelbündel des Strahls.""" k_med =2* np.pi * F0 * N_GLAS kx0 = k_med * np.sin(np.deg2rad(theta_grad)) thetas = np.deg2rad(np.linspace(theta_grad -12, theta_grad +12, 241)) kx = k_med * np.sin(thetas) gewicht = np.exp(-((kx - kx0)**2) * (W0**2) /2) # Winkelspektrum T = np.array([theorie_T(np.rad2deg(t), d) for t in thetas])return np.sum(gewicht * T) / np.sum(gewicht)fig, achse = plt.subplots(figsize=(7, 4.2))d_fein = np.linspace(0.05, 1.3, 120)achse.semilogy(d_fein, [theorie_T(50.0, d) for d in d_fein], "k--", lw=1, label="ebene Welle: sinh-Formel")achse.semilogy(d_fein, [theorie_T_buendel(50.0, d) for d in d_fein],"k-", lw=1.2, label="über das Winkelbündel gemittelt")achse.semilogy(sorted(T_mess), [T_mess[d] for d insorted(T_mess)],"o", color="C0", label="Meep")achse.set(xlabel="Spaltbreite d (Wellenlängen)", ylabel="Transmission T", title="Tunneln über den Luftspalt: T(d)")achse.legend(fontsize=9)fig.tight_layout()plt.show()for d in (0.8, 1.0, 1.2):print(f"d = {d}: Messung/Bündel = "f"{T_mess[d] / theorie_T_buendel(50.0, d):.3f}, "f"Messung/ebene Welle = {T_mess[d] / theorie_T(50.0, d):.2f}")
Abbildung 17.2: FTIR-Transmission über der Spaltbreite (halblogarithmisch, drei Dekaden): Meep-Messpunkte, dazu die sinh-Formel für die ebene Welle (gestrichelt) und ihr Mittel über das Gauß-Winkelbündel des Strahls (durchgezogen). Bei kleinen Spalten fallen beide Linien zusammen; ab d ≈ 0,8 tunneln praktisch nur noch die flachen Flügel des Bündels, und die Messung folgt der Bündel-Linie — bei d = 1,2 liegt sie Faktor 6 über der ebenen Welle.
d = 0.8: Messung/Bündel = 1.059, Messung/ebene Welle = 1.63
d = 1.0: Messung/Bündel = 1.067, Messung/ebene Welle = 2.80
d = 1.2: Messung/Bündel = 1.070, Messung/ebene Welle = 6.63
Alle Punkte liegen auf wenige Prozent an der Bündel-Linie — über drei Dekaden. Die Lektion in einem Satz: Exponentielle Effekte verstärken kleine Unterschiede im Exponenten zu großen Faktoren im Ergebnis — wer mit Strahlen statt ebenen Wellen misst, muss das Bündel mitrechnen, sonst „widerlegt” die eigene Messung eine korrekte Formel.
Was FTIR praktisch kann, folgt direkt aus der Kurve. Der Fingerabdruck-Scanner vom Kapitelanfang liest die Exponentialempfindlichkeit ab: Hautleisten (Abstand ~0) koppeln das Licht fast vollständig aus, Hauttäler (einige Mikrometer Luft, also mehrere \(\delta\)) fast gar nicht — der Kontrast ist enorm, ganz ohne Linsenoptik an der Grenzfläche. Ein einstellbarer Strahlteiler ist ein Prismenpaar mit Stellschraube: Der Spaltabstand regelt stufenlos, welcher Anteil geradeaus tunnelt und welcher reflektiert wird — vom Spiegel (\(d \gg \delta\)) bis zur Fensterscheibe (\(d \to 0\)). Und wer die sinh-Formel schon einmal gesehen hat, hatte vermutlich ein Quantenmechanik-Buch in der Hand: Die Transmission eines Teilchens durch eine Potentialbarriere hat exakt dieselbe Gestalt — \(\bigl[1 + V\sinh^2(\kappa
d)\bigr]^{-1}\), nur dass \(\kappa\) dort aus der Schrödinger- statt der Wellengleichung kommt. FTIR ist das klassische Wellenexperiment zum Quantentunneln; was die Elektrodynamik hier mit Feldern vorführt, macht die Quantenmechanik mit Aufenthaltswahrscheinlichkeiten (Kapitel 30 nimmt diesen Faden bei \(|E|^2\) wieder auf).
17.2 Das Rohr und die Klippe
Jetzt zur Mikrowellentür. Kapitel 15 hat gemessen, dass ein Loch der Breite \(0{,}4\) (ein Zwölftel der Wellenlänge) den Resonator praktisch dicht lässt, und als Grund den „Wellenleiter unter Cutoff” genannt. Zeit, das Rohr selbst zu bauen. Ein Hohlleiter ist in unserer 2D-Welt ein Kanal zwischen zwei Metallwänden im Abstand \(w\): quer zur Laufrichtung muss das Feld an beiden Wänden null sein — eine stehende Welle mit \(m\) Bäuchen, exakt wie im Kapitel-15-Kasten, nur dass die zweite Richtung offen bleibt und die Welle dort laufen darf. In der \(f(m,n)\)-Formel aus Kapitel 15 heißt das: Die offene Richtung trägt keinen festen Index mehr, ihr \(k\) darf beliebig klein werden — übrig bleibt als Minimum die reine Querschwingung,
\[f_c \;=\; \frac{m\,c}{2w},\]
die Grenzfrequenz (englisch cutoff). Unterhalb von \(f_c\) passt nicht einmal mehr die Querschwingung in den Kanal: Es gibt kein reelles \(k\) mehr, das Feld kann nur noch evaneszent abklingen — mit
dem exakten Gegenstück zur FTIR-Formel (dort machte der zu große Querimpuls \(k_x\) die Welle evaneszent, hier die zu enge Geometrie). Die Handrechnung für unser Experiment: breites Rohr \(w = 4\), also \(f_{c} = 0{,}125\); Engstelle \(w = 2\), also \(f_c = 0{,}25\). Eine Welle mit \(f = 0{,}2\) läuft im breiten Rohr bequem (\(0{,}2 > 0{,}125\)), ist aber in der Engstelle unter Cutoff: \(\kappa = 2\pi\sqrt{0{,}0625 - 0{,}04} = 2\pi \cdot
0{,}15 = 0{,}9425\). Ein Stück Engstelle der Länge \(L\) sollte also \(T \approx e^{-2\kappa L}\) durchlassen — das ist die Mikrowellentür als Labormodell: Das Loch in der Tür ist ein kurzes Stück Rohr unter Cutoff.
Das Experiment nutzt einen Trick aus Kapitel 15: Meeps Zellrand ist von sich aus eine Metallwand. Wir bauen also gar keine Rohrwände — die Zelle \(36 \times 4\)ist das breite Rohr (PML nur links und rechts, in Laufrichtung); nur die Engstelle besteht aus zwei Metallblöcken, die den Kanal in der Mitte auf \(w = 2\) verengen. Anregung: eine Quelllinie quer über das Rohr (gleichmäßiges \(E_z\) — das überlappt mit der \(m = 1\)-Mode, nicht mit \(m = 2\)), schmalbandiger Puls um \(f = 0{,}2\). Gemessen wird der Fluss hinter der Engstelle, normiert auf den Referenzlauf ohne Engstelle (das FTIR-Rezept von eben). Erfolgskriterium:\(\ln T\) fällt linear in \(L\) mit Steigung \(-2\kappa\). Auch hier zuerst die Lichtspur eines Laufs:
Abbildung 17.3: Links: Lichtspur im Rohr mit Engstelle (L = 2, f = 0,2; Wurzeldarstellung, Engstellen-Blöcke weiß umrandet). Im breiten Rohr steht die m = 1-Mode (ein Bauch in der Mitte, null an den Wänden); in der Engstelle bricht die Helligkeit sichtbar zusammen — das Feld klingt dort exponentiell ab statt zu laufen — und rechts tritt nur ein schwacher Rest aus. Rechts: T(L) halblogarithmisch; die Messpunkte fallen auf einer Geraden mit der Theorie-Steigung −2κ (Linie: C·e^(−2κL) mit angepasstem C).
Fit-Steigung (L >= 1): -1.8519 (Theorie -2κ = -1.8850)
L = 0.5: T = 0.2979
L = 1.0: T = 0.1273
L = 2.0: T = 0.02044
L = 3.0: T = 0.003136
Die Steigung trifft \(-2\kappa\) auf unter zwei Prozent — das Rohr unter Cutoff ist ein Tunnelspalt in Blech. Jetzt die Mikrowellentür-Bilanz, die Kapitel 15 schuldig blieb: Das \(w = 0{,}4\)-Loch von dort hat \(f_c = 1/(2 \cdot 0{,}4) =
1{,}25\), die Mode lag bei \(f = 0{,}203\) — sechsfach unter Cutoff. Macht \(\kappa = 2\pi\sqrt{1{,}25^2 - 0{,}203^2} =
7{,}75\) und durch die Wandtiefe \(0{,}2\) den Leistungsfaktor \(e^{-2 \cdot 7{,}75 \cdot 0{,}2} = e^{-3{,}1} \approx 0{,}045\) — und das ist nur die Durchgangsdämpfung; dazu kommt, dass die große 4,9-Wellenlängen-Mode an das winzige Loch kaum ankoppelt (deshalb maß Kapitel 15 sogar \(Q \approx 70\,000\) statt „nur” zwanzigmal schlechter). Beim echten Mikrowellenherd sind die Verhältnisse noch krasser — das rechnet Ü 17.1 nach.
Was passiert an der Grenzfrequenz? Wir fahren mit einem breitbandigen Puls über die Klippe — ein Lauf, vierzig Frequenzen, geteilt durch die Referenz (das Spektrometer-Denken aus Kapitel 10/14):
Abbildung 17.4: Transmission durch die Engstelle (L = 2) über der Frequenz, gemessen mit einem breitbandigen Puls und Referenzlauf. Unterhalb der Grenzfrequenz f_c = 0,25 (gepunktete Senkrechte) sperrt das Rohr exponentiell — die gestrichelte Linie ist e^(−2κ(f)L) ohne jeden Fitparameter —, oberhalb läuft die Welle praktisch ungehindert. Die Klippe ist steil, aber bei endlicher Rohrlänge nicht senkrecht: Genau bei f_c ist κ = 0, und ein kurzes Stück lässt dort die Hälfte durch. (Das Frequenzraster endet bei 0,35 — darüber meldet sich die m = 3-Mode des breiten Rohrs mit ihrer eigenen Klippe; siehe Kleingedrucktes.)
Unter der Klippe (f < 0,17): T < 0.0041; über der Klippe (f > 0,30): T > 0.95
Drei Dekaden Sperrung auf der einen Seite, freie Fahrt auf der anderen, und der Übergang folgt der parameterfreien \(\kappa(f)\)-Kurve: Ein Stück Rohr ist ein Hochpassfilter mit Exponentialflanke — je länger das Stück, desto steiler (Ü 17.3 misst das nach).
17.3 Im Rohr wohnt ein Plasma
Oberhalb der Klippe läuft die Welle — aber wie schnell? Die Antwort steckt im Pythagoras aus Kapitel 9: Im Rohr setzt sich der Wellenvektor aus dem festen Quer-Anteil \(k_y = \pi m/w\) (die stehende Welle zwischen den Wänden) und dem freien Längs-Anteil \(k\) zusammen, \(|k|^2 = (\pi m/w)^2 + k^2\), und mit \(\omega = c\,|k|\) wird daraus
\[\omega^2 \;=\; \omega_c^2 + c^2 k^2.\]
Diese Formel sollte ein Déjà-vu auslösen: Es ist exakt die Dispersionsrelation des Drude-Plasmas aus Kapitel 16 — dort stand \(\omega_p\) (die Eigenfrequenz der schwappenden Elektronenwolke), hier steht \(\omega_c\) (die Eigenfrequenz der Querschwingung). Ein Metallrohr verhält sich für Wellen genau wie ein Plasma, nur dass die Grenzfrequenz aus der Geometrie kommt statt aus der Elektronendichte. Alles, was Kapitel 16 über das Drude-Medium hergeleitet hat, gilt wörtlich weiter: unterhalb evaneszent (das war unsere Klippe), oberhalb transparent mit \(n_\text{eff} = \sqrt{1 - (f_c/f)^2} < 1\) — also Phasengeschwindigkeit über\(c\), Gruppengeschwindigkeit darunter, Produkt exakt \(c^2\). Die Handrechnung für \(f = 1{,}2\,f_c\): \(\sqrt{1 - 1/1{,}44} = 0{,}5528\), also \(v_g = 0{,}553\,c\) und \(v_p = 1{,}809\,c\).
WichtigVorhersage-Punkt
Gleich schicken wir ein Wellenpaket mit \(f = 1{,}2\,f_c\) durch ein langes Rohr und messen mit den Kapitel-16-Werkzeugen. Kommt das Paket früher oder später an als ein gleich gestartetes Paket im freien Raum — und was machen die Wellenberge im Paket?
Das Rohr für diese Messung machen wir uns so schmal wie möglich, damit es billig bleibt: eine Zelle \(120 \times 1\) — der Zellrand ist die Rohrwand, also \(w = 1\) und \(f_c = 0{,}5\); der Träger liegt bei \(f = 0{,}6\). Zwei Sonden im Abstand 60 messen die Paket-Ankunftszeiten (Energie-Schwerpunkt), ein enges Sondenpaar (Abstand \(0{,}5 <
\lambda_\text{Rohr}/2\)) die Trägerphase — wörtlich das Wettrennen-Rezept aus Kapitel 16. Erfolgskriterium: beide Tempi auf ein Prozent, Produkt \(c^2\):
Paket: v_g = 0.5525 c (Theorie 0.5528 c)
Berge: v_p = 1.8062 c (Theorie 1.8091 c)
Produkt v_p·v_g = 0.9979 c²
Das Paket kommt später an als im freien Raum — es kriecht mit \(0{,}55\,c\), weil die Welle effektiv im Zickzack zwischen den Wänden läuft und nur die Längskomponente vorankommt. Die Berge dagegen rasen mit \(1{,}81\,c\) durchs Paket: dieselbe Leuchtturm-Physik wie im Drude-Medium, diesmal in einem Stück Blech, das man kaufen kann. Wer je mit Satelliten-, Radar- oder Beschleunigertechnik zu tun hat, rechnet täglich mit diesen beiden Geschwindigkeiten — die Signallaufzeit eines Hohlleiters bestimmt \(v_g\), seine Wellenlänge im Rohr (\(\lambda_\text{Rohr}
= v_p/f\), hier \(3{,}0\) statt \(1{,}67\) im Freien) bestimmt \(v_p\).
17.4 Warum die Glasfaser ihr Licht behält
Damit ist auch die Kapitel-12-Zusage fällig — und sie braucht keinen neuen Lauf mehr, nur die Summe dieses Kapitels. Eine Glasfaser führt ihr Licht per Totalreflexion: Der Kern ist optisch dichter als der Mantel, flache Strahlen werden an der Grenze total reflektiert, kilometerlang, milliardenfach. Nach diesem Kapitel weiß man, wie bemerkenswert das ist: Jede dieser Reflexionen hat einen evaneszenten Saum, der ein Stück weit aus dem Kern hinausreicht — und tunneln würde, sobald er etwas findet. Eine Berührung, ein Fettfilm, ein zweites Stück Glas in Saumweite: Licht koppelt aus, die Faser „leckt” (genau so funktionieren FTIR-Sensoren und abgegriffene Fasern). Die Lösung der Faserbauer: Der Saum bekommt garantiert nichts zu fassen. Der Kern (wenige bis ~50 µm) steckt in einem dicken Glasmantel (125 µm) — der Saum reicht nur Bruchteile einer Wellenlänge weit hinein, dahinter kommt Schutzschicht. Die Totalreflexion bleibt, was sie verspricht, weil man dem Tunneln nichts zum Hinüberspringen anbietet. Und der Richtkoppler in Ü 17.4 zeigt die Kehrseite als Werkzeug: Legt man absichtlich eine zweite Faser in den Saum, pendelt das Licht kontrolliert hinüber — so werden Glasfasersignale verzweigt, ganz ohne die Faser zu öffnen.
17.5 Das Kapitel-Programm
Das Programm kap17_tunneln_cutoff.py (im Buchpaket unter programme/kap17/) bündelt alle Messungen: FTIR-Reihe mit Bündel-Theorie, Engstellen-Reihe, Klippen-Sweep, Rohr-Tempi und den Richtkoppler aus Ü 17.4. Jede Behauptung steht als assert; der Lauf braucht knapp eine Minute und endet mit „Alle Tests bestanden.”
TippMerkkasten
Evaneszent heißt nicht leer: Der Saum trägt Feld, und findet er in Reichweite (\(\sim \delta = 1/\kappa\)) ein Medium, tunnelt Leistung hinüber — \(T \approx e^{-2\kappa d}\), exponentiell empfindlich am Abstand.
Strahlen sind Winkelbündel: Bei exponentiellen Effekten gewinnen die Flügel des Bündels; wer sie ignoriert, misst „Widersprüche” zur korrekten Formel.
Cutoff: Ein Kanal der Breite \(w\) trägt unterhalb von \(f_c = mc/2w\) keine laufende Welle — ein Loch ist ein kurzes Rohr unter Cutoff, darum ist die Mikrowellentür dicht.
Rohr = Plasma aus Geometrie: \(\omega^2 = \omega_c^2 +
c^2k^2\), also \(v_p > c > v_g\) und \(v_p \cdot v_g = c^2\) — wörtlich die Drude-Formeln aus Kapitel 16.
Tunneln (FTIR) und Cutoff sind dieselbe Mathematik: ein verbotener Bereich, ein \(\kappa\), ein Exponentialgesetz — und die Quantenmechanik benutzt exakt dieselbe sinh-Formel.
Roter Faden
Rückwärts: Der Saum samt \(\kappa\)-Formel stammt aus Kapitel 12 (dort vermessen, hier angezapft), die Flux-und-Referenz-Methode aus Kapitel 11/12, das Winkelbündel-Argument aus Kapitel 12/13 — hier wurde es erstmals quantitativ zur Theorielinie. Kapitel 15 lieferte die stehenden Querwellen (\(f_c\) ist ein halber Kapitel-15-Kasten), den Zellrand-als-Metallwand-Trick und die offene Mikrowellentür-Rechnung. Aus Kapitel 16 kommen das komplette Tempo-Messbesteck (Energie-Schwerpunkt, Sondenpaar, Hand-Detektor aus Kapitel 10) und die Drude-Form der Dispersionsrelation — das Rohr ist ihr Geometrie-Zwilling. Vorwärts: Kapitel 20 stellt die Frage, die hier offen bleiben musste — wie schnell ist eigentlich Tunneln, und was schützt die Kausalität? Kapitel 22 bringt mit Leitungen die Gegenspieler der Hohlleiter, Kapitel 26 baut Cutoffs aus Periodik (Bandlücken: „verbotene Bereiche nach Maß”), und Kapitel 27 macht aus dem Richtkoppler der Übung 17.4 Ringresonatoren und Filter. Kapitel 30 schließlich löst die Quanten-Anleihe ein: Dieselbe sinh-Formel, aber \(|E|^2\) ist dann eine Wahrscheinlichkeit (F16).
Übungen
Ü 17.1 (Verstehen). Die Mikrowellentür in SI-Einheiten: Der Herd arbeitet bei \(f = 2{,}45\) GHz, die Löcher im Türgitter haben \(w \approx 2\) mm, das Blech ist \(d \approx 1\) mm dick. Berechne die Grenzfrequenz eines Lochs (als Schlitz-Modell \(f_c = c/2w\)), das \(\kappa\) bei Betriebsfrequenz und den Durchgangsfaktor \(e^{-2\kappa d}\). Warum siehst du trotzdem deinen Teller durchs Gitter?
HinweisMusterlösung zu Ü 17.1
# von oben: npc0 =3e8f, w, d =2.45e9, 2e-3, 1e-3f_c = c0 / (2* w)kappa = (2* np.pi / c0) * np.sqrt(f_c**2- f**2)print(f"f_c = {f_c/1e9:.0f} GHz (Betrieb: {f/1e9:.2f} GHz "f"-> Faktor {f_c/f:.0f} unter Cutoff)")print(f"kappa = {kappa:.0f} 1/m -> e^(-2 kappa d) = "f"{np.exp(-2*kappa*d):.3f} pro {d*1000:.0f} mm Blech")
f_c = 75 GHz (Betrieb: 2.45 GHz -> Faktor 31 unter Cutoff)
kappa = 1570 1/m -> e^(-2 kappa d) = 0.043 pro 1 mm Blech
Das Loch liegt dreißigfach unter Cutoff. Der reine Durchgangsfaktor durch 1 mm Blech ist zwar „nur” \(\approx
0{,}04\) — aber wie in Kapitel 15 gemessen, ist die eigentliche Sperre die Ankopplung: Eine 12-cm-Welle übergibt an ein 2-mm-Loch fast nichts (und das Ausgekoppelte muss auf der anderen Seite wieder an die Freiraumwelle ankoppeln). Beides zusammen drückt die Leckage um viele Größenordnungen unter die Grenzwerte; unsere Schlitz-Rechnung ist die ehrliche Obergrenze für den Rohranteil. Sichtbares Licht dagegen hat \(\lambda \approx 0{,}5\) µm: Für \(f \gg f_c\) ist das Loch ein viertausend Wellenlängen breites Scheunentor — deshalb siehst du den Teller, während die Mikrowelle eingesperrt bleibt. Struktur gegen Wellenlänge entscheidet, nicht „Loch oder kein Loch” (das Kapitel-15-Motiv).
Ü 17.2 (Verändern). Der Strahlteiler-Regler: Miss die FTIR-Transmission bei festem Spalt \(d = 0{,}6\) für \(\theta = 45°, 50°, 55°, 60°\) (je mit eigener Referenz!). Erkläre den Trend mit der \(\kappa\)-Formel — und warum bei 45° auch die Bündel-Mittelung sichtbar ungenauer wird.
HinweisMusterlösung zu Ü 17.2
# von oben: ftir_lauf(), theorie_T(), theorie_T_buendel(), npfor th in (45, 50, 55, 60): T = ftir_lauf(th, 0.6) / ftir_lauf(th, 0.0)print(f"theta = {th}°: T = {T:.4f} "f"(eben {theorie_T(th, 0.6):.4f}, "f"Bündel {theorie_T_buendel(th, 0.6):.4f})")
theta = 45°: T = 0.1197 (eben 0.1037, Bündel 0.2052)
theta = 50°: T = 0.0516 (eben 0.0421, Bündel 0.0485)
theta = 55°: T = 0.0240 (eben 0.0176, Bündel 0.0197)
theta = 60°: T = 0.0135 (eben 0.0076, Bündel 0.0085)
Je steiler der Einfall, desto größer \(n\sin\theta\), desto größer \(\kappa\) — desto kürzer die Brücke: \(T\) fällt von 45° nach 60° um fast eine Größenordnung. Ein Prismenpaar hat also zwei Regler: den Spalt (exponentiell) und den Winkel (über \(\kappa\)). Bei \(45°\) liegt die Messung allerdings deutlich unter der Bündel-Linie: Der Mittelwinkel ist nur noch \(3°\) vom Grenzwinkel entfernt, die unteren Bündel-Flügel geraten unter\(\theta_c\) — und für sie ist unsere Bündel-Formel zu grob (sie setzt dort pauschal \(T = 1\), real gelten die Fresnel-Formeln aus Kapitel 13 mit Doppelgrenzfläche). Nahe an einer Klippe braucht auch die Mittelung feineres Werkzeug — dieselbe Demut, die Kapitel 12 an den Bündel-Flügeln gelernt hat.
Ü 17.3 (Verändern). Die weiche Klippe: Wiederhole den \(T(f)\)-Sweep aus dem Kapitel für Engstellen der Länge \(L = 1\) und \(L = 4\). Wie ändert sich die Flanke unterhalb von \(f_c\) — und um welchen Faktor unterscheiden sich die beiden Kurven bei \(f = 0{,}2\)? (Vorhersage per \(\kappa\)-Formel, dann messen.)
HinweisMusterlösung zu Ü 17.3
Vorhersage: Unterhalb der Klippe gilt \(T \approx C e^{-2\kappa(f)
L}\) — die Steigung im Logarithmus wächst proportional zu \(L\). Bei \(f = 0{,}2\) ist \(\kappa = 0{,}9425\), also Verhältnis \(T_{L=1}/T_{L=4} \approx e^{2\kappa \cdot 3} = e^{5{,}65}
\approx 285\).
Ein kurzes Rohrstück ist ein matschiger Filter, ein langes ein scharfer: Die Flankensteilheit ist schlicht \(2\kappa(f)L\) im Exponenten. Genau deshalb sind Hohlleiter-Filter und Tür-Bleche dick ausgeführt — und genau deshalb war die Klippe im Kapitel (L = 2) steil, aber nicht senkrecht.
Ü 17.4 (Übertragen). Der Richtkoppler: Lege zwei Glasstreifen (Breite \(0{,}4\), \(n = 1{,}5\)) parallel mit Spalt \(g\) und speise Licht (\(f = 1\), Dauerton) in nur einen ein. Miss den Leistungsanteil im zweiten Streifen entlang der Strecke für \(g = 0{,}3\) und \(g = 0{,}5\). Was passiert — und was hat das mit der Schwebung aus Kapitel 16 zu tun?
HinweisMusterlösung zu Ü 17.4
# von oben: mp, np, plt, GLASW_S =0.4def koppler(spalt): y_a, y_b =+(spalt + W_S) /2, -(spalt + W_S) /2 geom = [mp.Block(size=mp.Vector3(40, W_S, mp.inf), center=mp.Vector3(0, y), material=GLAS)for y in (y_a, y_b)] quelle = [mp.Source(mp.ContinuousSource(1.0, is_integrated=True), component=mp.Ez, center=mp.Vector3(-18, y_a), size=mp.Vector3(0, W_S))] sim = mp.Simulation(cell_size=mp.Vector3(44, 6), resolution=24, sources=quelle, geometry=geom, boundary_layers=[mp.PML(2.0)]) sim.run(until=120) summe =Nonefor _ inrange(10): # eine Periode mitteln sim.run(until=0.1) ez = sim.get_array(component=mp.Ez) summe = ez**2if summe isNoneelse summe + ez**2 nx, ny = summe.shape xs = np.linspace(-22, 22, nx) ys = np.linspace(-3, 3, ny) ja, jb = (np.argmin(np.abs(ys - y)) for y in (y_a, y_b)) P_a = summe[:, ja -2:ja +3].sum(axis=1) P_b = summe[:, jb -2:jb +3].sum(axis=1) m = (xs >-16) & (xs <19)return xs[m] +16, P_b[m] / (P_a[m] + P_b[m]), summefig, (oben, unten) = plt.subplots(2, 1, figsize=(8.5, 4.2))strecke03, anteil03, bild = koppler(0.3)strecke05, anteil05, _ = koppler(0.5)oben.imshow(np.sqrt(bild.T), origin="lower", cmap="inferno", extent=[-6, 38, -3, 3], aspect="auto", # x als Strecke vmax=0.6* np.sqrt(bild).max())oben.set(xlim=(0, 35), ylim=(-1.6, 1.6), ylabel="y", title="Lichtspur, Spalt 0,3: das Licht pendelt")for strecke, anteil, farbe, name in ( (strecke03, anteil03, "C0", "Spalt 0,3"), (strecke05, anteil05, "C3", "Spalt 0,5")): unten.plot(strecke, anteil, color=farbe, label=name)unten.set(xlabel="Strecke entlang der Leiter", ylabel="Anteil in B", ylim=(0, 1.08))unten.legend(fontsize=8, loc="upper left")fig.tight_layout()plt.show()for name, strecke, anteil in (("0,3", strecke03, anteil03), ("0,5", strecke05, anteil05)): L_halb = strecke[np.argmax(anteil >0.5)] - strecke[0]print(f"Spalt {name}: halbe Übergabe nach {L_halb:.1f}, "f"maximaler B-Anteil {anteil.max():.2f}")
Spalt 0,3: halbe Übergabe nach 3.2, maximaler B-Anteil 1.00
Spalt 0,5: halbe Übergabe nach 11.1, maximaler B-Anteil 1.00
Das Licht pendelt vollständig zwischen den Streifen hin und her — beim engen Spalt mehrmals auf der Strecke, beim weiten einmal: Die Übergabelänge wächst steil (exponentiell, denn gekoppelt wird über den Saum!) mit dem Spalt. Der Mechanismus ist die Kapitel-16-Schwebung in neuem Gewand: Das Doppelsystem hat zwei Eigenwellen — eine symmetrische und eine antisymmetrische Supermode — mit leicht verschiedenen Ausbreitungskonstanten. Speist man nur Streifen A, regt man beide gleich an, und ihre Überlagerung wandert mit der Differenz der beiden Wellenzahlen periodisch von A nach B und zurück: eine Schwebung im Raum statt in der Zeit. (Die feine Welligkeit auf den Kurven ist eine stehende Restwelle von den Streifenenden.) Technisch ist das der Richtkoppler — Glasfasersignale werden genau so verzweigt, und Kapitel 27 koppelt damit Ringresonatoren an.
Das Kleingedruckte
Vier Randnotizen. Erstens: Wie schnell ist Tunneln? Die Frage ist berühmt und heikel: Naive „Tunnelzeiten” (etwa der Vergleich der Paket-Gipfel vor und hinter der Barriere) können scheinbar Überlichtgeschwindigkeit ergeben (Hartman-Effekt) — aufgelöst wird das wie in Kapitel 16: Der durchgelassene Puls ist ein umgeformter Vorderteil des einlaufenden, keine Botschaft überholt die Front. Kapitel 20 nimmt sich Kausalität und Zeitpfeil grundsätzlich vor. Zweitens: Unser Klippen-Sweep endete bei \(f = 0{,}35\), weil bei \(0{,}375\) die \(m = 3\)-Mode des breiten Rohrs ihre eigene Klippe hat (die gleichmäßige Quelllinie regt \(m = 1, 3, 5, \dots\) an; \(m = 2\) bleibt aus Symmetriegründen stumm). Oberhalb wird die Transmission zur Verhandlungssache zwischen Moden — Hohlleiter betreibt man deshalb gern „einmodig”, im Band zwischen \(f_{c,1}\) und der nächsten nutzbaren Klippe. Drittens: Die FTIR-Formel galt für unsere s-Polarisation; für p-Polarisation (Kapitel 13) ändert sich der Vorfaktor \(V\) (und nahe am Brewster-Winkel wird die Geschichte reicher) — der Exponent \(e^{-2\kappa d}\) bleibt. Viertens: Für Löcher, die klein gegen die Wellenlänge sind, kommt zur Cutoff-Dämpfung die miserable Ankopplung (in der Streutheorie: Bethes Lochblenden-Theorie, Streuung \(\propto (w/\lambda)^4\) und schlimmer) — unsere Rohr-Rechnung ist deshalb stets die freundliche Obergrenze der Leckage; real ist es weniger. Gut für Mikrowellentüren, schlecht für jeden, der durch ein Schlüsselloch WLAN empfangen will.
