16 Der Mechanostat

In Kapitel 15 stand am Ende eine offene Frage: Welche Mehrlastfallgröße zählt biologisch? Die Antwort dieses Kapitels ist die Formänderungsenergiedichte je Knochenmasse — und mit ihr fällt zum ersten Mal das Wort, das bisher Teil VI vorbehalten war: der Reiz. Bis hierher hat das Buch über Kräfte Buch geführt, zuletzt als kumulativer Kraftindex einer ganzen Trainingswoche (Kapitel 14). Ein Kraftindex ist eine Verbuchung, kein Reiz. Ein Astronaut verliert in der Schwerelosigkeit Knochenmasse, ein Gewichtheber baut sie auf: Woher weiß eine einzelne Knochenstelle, ob sie gerade zu viel oder zu wenig belastet wird — und was passiert, wenn sie genau richtig belastet ist? Die Antwort ist eine Kennlinie mit einem toten Bereich in der Mitte, der Mechanostat nach Frost.

Lernziele

Nach diesem Kapitel kannst du

den mechanischen Reiz als Formänderungsenergiedichte je Knochenmasse (\(S = U/\rho\)) deuten und erklären, warum derselbe Energieinhalt bei wenig Masse stärker zählt,
die drei Zonen des Mechanostaten unterscheiden — Aufbau, Totzone, Abbau — und die Antwortkurve \(g(a)\) lesen,
erklären, warum eine Einzelstelle ohne Totzone bei hinreichend großem Iterationsschritt zwischen Auf- und Abbau schwingt (Überschießen der diskreten Iteration) und warum die Totzone kein Trick ist, sondern beides zugleich (Biologie und Numerik),
erklären, warum der Endzustand mit Totzone kein Punkt ist, sondern ein Band, und was das für die Verlässlichkeit einer Umbaurechnung bedeutet.

Das Rechenwerk bindet die Rechenquelle der Einzelstellen-Dynamik ein (programme/kap16/mechanostat.py) und die Reiz-Kette über den gemeinsamen Rechenkern. Wer einem Namen nachgehen will, klappt die Zelle auf.

Das Rechenwerk dieses Kapitels — zum Nachlesen aufklappen

# --- Nur Zeichen- und Rechenhilfen. Die EINE Rechenquelle der Einzelstellen-
# Dynamik ist programme/kap16/mechanostat.py; die Reiz-Kette S = U/ρ erdet sich
# über reglerkern.formaenderungsenergie_feld auf dem Buchnetz. Diese Zelle
# konfiguriert nur und deutet nichts.
import pathlib
import sys

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.tri as mtri
from matplotlib.ticker import FuncFormatter

sys.path.insert(0, str(pathlib.Path("programme/gemeinsam").resolve()))
sys.path.insert(0, str(pathlib.Path("programme/kap14").resolve()))
sys.path.insert(0, str(pathlib.Path("programme/kap15").resolve()))
sys.path.insert(0, str(pathlib.Path("programme/kap16").resolve()))
import mechanostat as MS

komma = MS.komma
SIGMA0 = MS.sigma0_fuer_fixpunkt(MS.RHO_STERN_DEMO, MS.S0_BASIS)
BAND_U, BAND_O, BAND_BR = MS.band(MS.S0_BASIS, SIGMA0, MS.DELTA)

# Das Reizfeld wird EINMAL gerechnet und von Bild und Text gemeinsam benutzt.
# Gerechnet wird auf der gleichmäßigen Spongiosa, aus der Kapitel 17 den Umbau
# startet (ρ = 0,50 g/cm³; der E-Modul folgt daraus über das Morgan-Gesetz).
FELD = MS.reizfeld_buchnetz("mittel")
RHO_FELD = FELD["dichte_gcm3"]
E_FELD = FELD["e_modul_pa"]
E_VERHAELTNIS = FELD["e_kortikal_pa"] / E_FELD
U_KORTIKAL_ZONE = FELD["u_zone_jm3"] / E_VERHAELTNIS   # dieselbe Zone, Kapitel 15
U_SKALA = 8000.0                                        # J/m³, Obergrenze der Skala
S_SKALA = MS.reiz_je_masse(U_SKALA, RHO_FELD)           # J/kg, dieselbe Grenze
U_GESAETTIGT = 100.0 * float(np.mean(np.asarray(FELD["u_feld_jm3"]) >= U_SKALA))
A_ZONE = FELD["s_zone_jkg"] / MS.S0_BASIS - 1.0         # Reizabweichung der Zone
GG_NIEDRIG = MS.gleichgewicht(0.50, 2.60, SIGMA0, MS.ETA_FELD, MS.DELTA)
GG_HOCH = MS.gleichgewicht(0.50, 10.41, SIGMA0, MS.ETA_FELD, MS.DELTA)

def de_tick():
    """Ein Achsenformatter, der die Zahlen mit deutschem Komma setzt."""
    def deutsch(wert, _stelle):
        return komma(wert, 3)
    return FuncFormatter(deutsch)

def de_achse(ax, x=True, y=True):
    """Deutsche Kommas an den Achsenzahlen (Hausform der Kapitel 6–13).

    ``x=False`` bei Balkendiagrammen: dort trägt die x-Achse Kategorien,
    keine Zahlen — ein Zahlenformatter würde sie überschreiben.
    """
    if x:
        ax.xaxis.set_major_formatter(de_tick())
    if y:
        ax.yaxis.set_major_formatter(de_tick())

def fest(x, stellen):
    """Deutsche Zahl mit fester Stellenzahl — komma() kürzt Nullen am Ende weg,
    die Prosa dieses Kapitels schreibt aber η = 0,40 und η = 0,50 aus."""
    return ("%.*f" % (stellen, x)).replace("-", "−").replace(".", ",")

def skalentext(einheit, vmax):
    """Beschriftung der Farbleiste — Sättigungsgrenze mit tragenden Stellen."""
    stellen = 0 if vmax >= 10 else (1 if vmax >= 1 else 2)
    return "%s (≥ %s gesättigt)" % (einheit, komma(vmax, stellen))

def feld_bild(ax, knoten, dreiecke, feld, titel, einheit, vmax, cmap="magma"):
    """Ein Elementfeld über dem Buchnetz mit benannter Skala und Ort/Maßstab."""
    kn = np.asarray(knoten) * 1000.0
    tri = mtri.Triangulation(kn[:, 0], kn[:, 1], dreiecke)
    tp = ax.tripcolor(tri, facecolors=np.asarray(feld), cmap=cmap,
                      vmin=0.0, vmax=vmax)
    cb = plt.colorbar(tp, ax=ax, fraction=0.046, pad=0.03, extend="max")
    cb.set_label(skalentext(einheit, vmax), fontsize=7)
    cb.ax.tick_params(labelsize=7)
    cb.ax.yaxis.set_major_formatter(de_tick())
    ax.text(0, 46, titel, fontsize=9, weight="bold")
    ax.text(-10, -7.0, "hinten (Ferse)", fontsize=7, color="#666")
    ax.text(70, -7.0, "vorn (Zehen)", fontsize=7, color="#666", ha="right")
    ax.annotate("oben", xy=(-7, 26), xytext=(-7, 12), fontsize=7, color="#444",
                ha="center", arrowprops=dict(arrowstyle="->", color="#444", lw=1.2))
    # Maßstab auf EIGENER Höhe unter der Orientierungszeile (Formregel).
    ax.plot([28, 38], [-11.0, -11.0], color="#333", lw=2.2, solid_capstyle="butt")
    ax.text(33, -13.6, "10 mm", ha="center", fontsize=7, color="#333")
    ax.set_xlim(-12, 72); ax.set_ylim(-15.5, 49); ax.set_aspect("equal"); ax.axis("off")

16.1 Der Reiz: aus der Energie hinter der Spannung wird eine Größe je Masse

Hinter jeder Von-Mises-Spannung steckt eine Energie. Ein belastetes Stück Gewebe speichert elastische Energie wie eine gespannte Feder; pro Volumeneinheit ist das die Formänderungsenergiedichte \(U\) (Einheit J/m³). Sie ist dieselbe Größe, die Kapitel 15 als das biologisch maßgebliche Mehrlastfallmaß benannt hat — das gewichtete Mittel der lastfallweisen Energiedichte über die fünf Momente des Schrittes. Damit sie im ganzen Buch aus einer Quelle kommt, rechnet sie überall derselbe Rechenkern.

Ein Unterschied zum Kraftmittel aus Kapitel 14 ist wichtig, bevor es weitergeht — es ist der Maßwechsel, den jenes Kapitel angekündigt hat. Die gespeicherte Energie wächst nicht mit der Spannung, sondern mit ihrem Quadrat: Im ebenen Spannungszustand ist \(U \sim \sigma^2/E\), doppelte Spannung heißt vierfache Energie. Deshalb zählen im Reiz die hohen Momente des Schrittes stärker, als sie es im linearen Kraftmittel taten; was dort nur knapp vorn lag, liegt hier deutlich vorn. Kapitel 7 hat das angekündigt, als es sagte, das Modell mittle Reize und nicht Kräfte. Hier ist der Grund.

Aus \(U\) wird der Reiz durch eine Division. Frost und, in der Rechenfassung, Huiskes setzen nicht die Energiedichte selbst als Reiz an, sondern die Energie je Knochenmasse:

\[ S = \frac{U}{\rho}, \qquad [S] = \frac{\text{J/m}^3}{\text{kg/m}^3} = \frac{\text{J}}{\text{kg}}. \]

Die Massendichte ist \(1000\,\rho\), wenn \(\rho\) in g/cm³ steht (1 g/cm³ = 1000 kg/m³). Der Sinn der Division: Zwei Stellen können dieselbe Energie speichern, aber verschieden viel Masse tragen — und dann spürt die leichtere Stelle mehr. Abbildung 16.1 zeigt das an zwei Stellen gleicher Energiedichte.

Code

# Die Energiedichte, die Kapitel 15 für die plantare Zone genannt hat (kortikal
# gerechnet) — hier nur als Zahl, an der man die Division vorführt.
U = U_KORTIKAL_ZONE
dichten = [0.3, 0.6]
reize = MS.reiz_balken(U, dichten)
fig, (a1, a2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(7.2, 3.4))
# Dieselbe Stelle trägt links wie rechts dieselbe Farbe (dünn rot, dicht blau).
stellen_farben = ["#c0392b", "#1f6fb4"]
a1.bar([komma(d) for d in dichten], [U, U], color=stellen_farben)
a1.set_ylabel("Energiedichte U (J/m³)"); a1.set_title("gleiche Energie", fontsize=9)
a1.set_xlabel("Dichte ρ (g/cm³)")
for i, d in enumerate(dichten):
    a1.text(i, U + 8, komma(U, 1), ha="center", fontsize=9)
a2.bar([komma(d) for d in dichten], reize, color=stellen_farben)
a2.set_ylabel("Reiz S = U/ρ (J/kg)"); a2.set_title("Reiz je Masse", fontsize=9)
a2.set_xlabel("Dichte ρ (g/cm³)")
for i, s in enumerate(reize):
    a2.text(i, s + 0.02, komma(s, 3), ha="center", fontsize=9)
de_achse(a1, x=False); de_achse(a2, x=False)
plt.tight_layout(); plt.show()

print("Reiz je Masse S = U/ρ bei U = %s J/m³:" % komma(U, 1))
for d, s in zip(dichten, reize):
    print("  ρ = %s g/cm³  →  S = %s J/kg" % (komma(d), komma(s, 4)))
print("Verhältnis der Reize (0,3 zu 0,6): %s" % komma(reize[0] / reize[1], 2))

Abbildung 16.1: Zwei Knochenstellen gleicher Formänderungsenergiedichte, aber verschiedener Dichte (0,3 gegen 0,6 g/cm³). Links die Energiedichte — in beiden Balken dieselbe; rechts der Reiz S = U/ρ je Masse. Die Zahlen stehen an den Balken, die Deutung folgt im Text.

Reiz je Masse S = U/ρ bei U = 327,3 J/m³:
  ρ = 0,3 g/cm³  →  S = 1,091 J/kg
  ρ = 0,6 g/cm³  →  S = 0,5455 J/kg
Verhältnis der Reize (0,3 zu 0,6): 2

Deutung. Die Energiedichte ist links in beiden Balken gleich — als Zahl genommen ist es die, die Kapitel 15 für die plantare Zone genannt hat. Rechts trennt die Division durch die Masse die beiden Stellen: Bei halber Dichte ist der Reiz doppelt so groß, das Verhältnis ist genau zwei. Das ist der Grund, warum weiches, dünn besetztes Gewebe — die Enthese am Sehnenansatz, die Kapitel 12 als eigene Zone eingeführt hat — bei derselben Formänderungsenergiedichte stärker antwortet als dichter Knochen. (Bei derselben äußeren Last wäre schon die Energiedichte selbst eine Modellfolge der Steifigkeit; hier halten wir bewusst die Energiedichte fest.) Der Reiz ist keine Verbuchung von Kräften mehr, sondern eine Energie je Masse.

Damit die Kette nicht nur behauptet, sondern gerechnet ist, zeigt sie Abbildung 16.2 auf dem Buchnetz: erst das \(U\)-Feld, dann daraus \(S = U/\rho\). Gerechnet wird sie auf derselben gleichmäßigen Spongiosa, aus der Kapitel 17 den Umbau startet — überall \(\rho = 0{,}50\) g/cm³, der E-Modul dazu passend aus dem Morgan-Gesetz. Das ist nicht der harte kortikale Knochen der Kapitel 10 bis 15; Geometrie, Talus-Lager und die fünf Lastfälle sind dieselben, nur das Material ist weicher.

Code

feld = FELD                       # im Rechenwerk oben einmal gerechnet
fig, (a1, a2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(6.4, 6.2))
feld_bild(a1, feld["knoten"], feld["dreiecke"], feld["u_feld_jm3"],
          "Formänderungsenergiedichte U", "J/m³", U_SKALA)
feld_bild(a2, feld["knoten"], feld["dreiecke"], feld["s_feld_jkg"],
          "Reiz S = U/ρ", "J/kg", S_SKALA)
# Die plantare Auswertezone verorten: ohne diese Marke stünde die Zonenzahl in
# der Prosa, ohne dass der Leser weiß, welcher Teil des Bildes gemeint ist.
# Die Beschriftung steht rechts NEBEN dem Knochen (unter dem Fortsatz ist das
# Netz ab x = 28 mm erst über y = 9,6 mm) — im Feld selbst liefe die Strichlinie
# durch die Schrift und der Text verdeckte Daten.
for achse in (a1, a2):
    achse.plot([2.5, 25.1], [6.0, 6.0], color="#00c2ff", lw=1.2, ls="--")
    achse.annotate("plantare Auswertezone\n(alles darunter)", xy=(25.1, 6.0),
                   xytext=(29.0, 3.2), fontsize=6.5, color="#0077a3",
                   ha="left", va="center",
                   arrowprops=dict(arrowstyle="-", color="#00c2ff", lw=0.8))
plt.tight_layout(); plt.show()

print("plantare Zone, mittleres Buchnetz, gleichmäßige Spongiosa "
      "(ρ = %s g/cm³, E = %s GPa aus dem Morgan-Gesetz):"
      % (komma(RHO_FELD, 2), komma(E_FELD / 1e9, 2)))
print("  Formänderungsenergiedichte U = %s J/m³" % komma(feld["u_zone_jm3"], 1))
print("  Reiz S = U/(1000·ρ)          = %s J/kg" % komma(feld["s_zone_jkg"], 3))
print("  Sollwert der Regler unten     = %s J/kg" % komma(MS.S0_BASIS, 3))
print("  Elemente über der Skalenobergrenze %s J/m³: %s %% (hell, ohne Zeichnung)"
      % (komma(U_SKALA, 0), komma(U_GESAETTIGT, 1)))

Abbildung 16.2: Die Reiz-Kette auf dem mittleren Buchnetz, gerechnet auf der gleichmäßigen Spongiosa (ρ = 0,50 g/cm³), aus der Kapitel 17 den Umbau startet. Oben die gewichtet gemittelte lastfallweise Formänderungsenergiedichte U (magma, 0–8000 J/m³), unten der Reiz S = U/ρ auf der entsprechenden Skala (0–16 J/kg). Die blaue Strichlinie begrenzt die plantare Auswertezone (Elementschwerpunkte unter 6 mm Höhe). Sagittalschnitt, hinten links, vorn rechts, oben ↑; Maßstab 10 mm.

plantare Zone, mittleres Buchnetz, gleichmäßige Spongiosa (ρ = 0,5 g/cm³, E = 2,44 GPa aus dem Morgan-Gesetz):
  Formänderungsenergiedichte U = 2281,7 J/m³
  Reiz S = U/(1000·ρ)          = 4,563 J/kg
  Sollwert der Regler unten     = 5,205 J/kg
  Elemente über der Skalenobergrenze 8000 J/m³: 9,7 % (hell, ohne Zeichnung)

Deutung. Das obere Feld ist die Energie hinter den Spannungsbildern von Kapitel 15, jetzt als gewichtetes Mittel der fünf Momente — in der plantaren Zone 2282 J/m³. Das untere Feld teilt durch die Masse und wird zum Reiz: 4,56 J/kg in derselben Zone. Weil die Dichte hier überall gleich ist, ist die Division nur eine Umskalierung — die Gestalt bleibt; ihre eigentliche Wirkung zeigt sie erst, wenn die Dichte örtlich verschieden wird, und genau das ist im Umbau der Fall. Ein Hinweis zum Lesen des Bildes: Das große helle Feld im Inneren ist keine gleichmäßig hohe Energiedichte, sondern der gesättigte Bereich — 9,7 % der Elemente liegen über der Skalenobergrenze (die Zelle rechnet den Anteil mit aus). Innerhalb dieses Bereichs zeichnet die Farbskala nichts mehr; wer die Spitzenwerte sucht, findet sie nicht hier, sondern in Kapitel 15.

Zwei Vergleiche lohnen sich. Der erste: Kapitel 15 hat für dieselbe plantare Zone 327,3 J/m³ genannt, hier steht rund das 7-fache. Der Grund ist nicht das Netz, sondern das Material. Bei vorgegebener Last hängt das Spannungsfeld nicht vom E-Modul ab, die gespeicherte Energie dagegen umgekehrt: weicherer Knochen, mehr Verformung, mehr Energie. Und 17 GPa gegen 2,44 GPa sind genau dieser Faktor.

Der zweite Vergleich ist der wichtigere: Der Reiz dieser Zone liegt bei einigen Joule je Kilogramm — in derselben Größenordnung wie der Sollwert 5,2 J/kg, um den die Regler weiter unten kreisen. Genau gleich sind beide nicht: Der Sollwert stammt aus der numerisch geprüften Vergleichsrechnung auf einem feineren Netz und einer anderen Auswertezone (Tabelle 13.3), und Kapitel 17 setzt für seinen eigenen Buchnetzlauf noch einen dritten Wert an, nämlich das Mittel genau dieses Reizfeldes. Dass sie einander nahekommen, ist trotzdem die Botschaft: Der Reiz ist keine Zahl, die man nur ausrechnet, sondern eine, mit der man den Zustand eines Knochens misst — und sie ist auf diesem Startzustand ungefähr so groß, wie ein Knochen im Gleichgewicht sie hätte. Gemessen an diesem Sollwert liegt die plantare Zone rund 12 % darunter, also knapp außerhalb des toten Bereichs, den der nächste Abschnitt einführt.

16.2 Frosts Mechanostat: der biologische Rahmen, nicht die Zahlen

Harold Frost gab dem Ganzen 1987 einen Namen und einen biologischen Rahmen: den Mechanostat. Die Idee ist die eines Thermostaten, nur für Last. Es gibt einen Sollwert \(S_0\), bei dem die Stelle im Gleichgewicht ist. Liegt der Reiz deutlich darüber, wird Aufbau ausgelöst — die Stelle legt Masse zu. Liegt er deutlich darunter, folgt Abbau. Und dazwischen, in einem breiten mittleren Bereich, geschieht nichts: die Totzone (in der Regelungstechnik: das Totband).

Wichtig ist, wer was beigetragen hat, und dieses Kapitel trennt das sauber:

Frost (1987) liefert die biologische Hypothese und den Namen. Seine Arbeit ist ausdrücklich ein Vorschlag und formuliert die Zonen anhand mechanischer Dehnung, nicht anhand von Energie (H. M. Frost, „Bone ‚mass‘ and the ‚mechanostat‘: A proposal“, The Anatomical Record 219(1), 1987, S. 1–9, DOI 10.1002/ar.1092190104).
Der konkrete Rechenweg mit der Formänderungsenergie je Knochenmasse (\(S = U/\rho\)) gehört zur FEM-Umbautradition von Weinans, Huiskes und Grootenboer (R. Huiskes u. a., „Adaptive bone-remodeling theory applied to prosthetic-design analysis“, Journal of Biomechanics 20(11–12), 1987, S. 1135–1150, DOI 10.1016/0021-9290(87)90030-3; H. Weinans, R. Huiskes, H. J. Grootenboer, „The behavior of adaptive bone-remodeling simulation models“, Journal of Biomechanics 25(12), 1992, S. 1425–1441, DOI 10.1016/0021-9290(92)90056-7).

Frost gibt also den Rahmen (oben Aufbau, unten Abbau, Mitte tot), die FEM-Umbautradition den Rechenweg. Warum rechnet dieses Buch dann in Energie und nicht, wie Frost, in Dehnung? Weil die Energiedichte eine einzige Zahl je Stelle ist, die Zug, Druck und Schub schon zusammenfasst, sich über die fünf Momente des Schrittes gewichtet mitteln lässt und ohne Umweg aus dem Feld fällt, das die Rechnung ohnehin liefert — eine Dehnung müsste man erst auf eine Richtung festlegen. Beide, Frost und die FEM-Umbautradition, sind Modellrahmen aus der Literatur, keine Messung an dieser Ferse. Die konkreten Zahlen dieses Kapitels — die Totzonenbreite \(\delta = 0{,}08\) (ein festgelegter Modellparameter, keine gemessene biologische Bandbreite), der Sollwert 5,2 J/kg, die Streuungen weiter unten — stammen nicht von Frost oder Huiskes, sondern aus der numerisch geprüften Vergleichsrechnung dieses Buches (Tabelle 13.3) und gelten dort als Modellwerte.

Ein Wort zum Gültigkeitsbereich, das den Rest des Teils begleitet: Das Morgan-Gesetz aus Kapitel 6 ist für Dichten von rund 0,26 bis 0,75 g/cm³ belegt. Der Fixpunkt dieses Kapitels (0,50 g/cm³) und das ganze Totzonen-Band liegen darin; die Reglergrenzen 0,20 und 1,00 g/cm³ und die Dichtegrenzen des Umbaus in Kapitel 17 liegen außerhalb. Dort extrapoliert das Buch das Gesetz über seinen belegten Bereich hinaus. Das ist eine bewusste Modellentscheidung, keine gemessene Aussage — wer die Ränder des Dichtebereichs ausreizt, sollte es wissen.

16.3 Die Antwortkurve g(a)

Der Mechanostat lässt sich in eine einzige Kurve fassen. Statt des absoluten Reizes zählt seine Abweichung vom Sollwert, dimensionslos gemacht:

\[ a = \frac{S}{S_0} - 1. \]

Ist \(a = 0\), sitzt der Reiz genau auf dem Sollwert; \(a > 0\) heißt zu viel Reiz, \(a < 0\) zu wenig. Die Antwortkurve \(g(a)\) übersetzt diese Abweichung in eine Umbau-Antwort, mit der Totzone der halben Breite \(\delta\) in der Mitte:

\[ g(a) = \begin{cases} a + \delta & a < -\delta \quad (\text{Abbau}) \\ 0 & |a| \le \delta \quad (\text{Totzone}) \\ a - \delta & a > \delta \quad (\text{Aufbau}). \end{cases} \]

Abbildung 16.3 zeichnet sie mit der Breite \(\delta = 0{,}08\), die dieses Buch durchgehend benutzt. Der sichtbare Lehrcode darunter schreibt die Regel Fall für Fall hin und zeichnet daraus die Kurve — dieselbe Funktion, die auch die Regler benutzen und die im Feldmodell das lokale Aktualisierungsgesetz jedes Elements bildet. Sichtbar bleibt die Fallunterscheidung; die reine Zeichenmechanik steht in einer Hilfsdatei daneben.

Die Antwortregel des Mechanostaten Fall für Fall, mit ihrer Kurve

# Die Antwortkurve, Fall für Fall von Hand gerechnet (dasselbe lokale
# Aktualisierungsgesetz wie im Regler und je Element im Feld). a ist die
# Reizabweichung, delta die halbe Totzonenbreite; die Antwort ist der Antrieb.
def antwort(a, delta):
    if a < -delta:
        return a + delta        # Abbau: Reiz zu klein, Dichte soll sinken
    if a > delta:
        return a - delta        # Aufbau: Reiz zu groß, Dichte soll steigen
    return 0.0                   # Totzone: nichts geschieht

from antwortbild import zeichne_antwortkurve
zeichne_antwortkurve(0.08, komma)                # zeichnet g über a (dieselbe Regel)

for a in (-0.20, -0.08, 0.0, 0.08, 0.20):
    zone = "Abbau" if a < -0.08 else ("Aufbau" if a > 0.08 else "Totzone")
    print("a = %s  →  g(a) = %s   (%s)"
          % (komma(a, 2), komma(antwort(a, 0.08), 3), zone))

Abbildung 16.3: Die Antwortkurve g(a) des Mechanostaten mit Totzonenbreite δ = 0,08. Links vom toten Bereich der Abbau-Ast (Antwort negativ), rechts der Aufbau-Ast (Antwort positiv), dazwischen die flache Totzone (Antwort null); der Knick sitzt bei a = ±δ. Darunter dieselbe Regel an fünf Stützstellen als Zahlen.

a = −0,2  →  g(a) = −0,12   (Abbau)
a = −0,08  →  g(a) = 0   (Totzone)
a = 0  →  g(a) = 0   (Totzone)
a = 0,08  →  g(a) = 0   (Totzone)
a = 0,2  →  g(a) = 0,12   (Aufbau)

Deutung. Der flache Boden in der Mitte ist die Totzone: Innerhalb \(|a| \le 0{,}08\) ist die Antwort exakt null — die drei Stützstellen \(a = -0{,}08\), \(0\) und \(+0{,}08\) liegen darin, eine Reizabweichung von bis zu acht Prozent lässt die Stelle kalt. Erst jenseits des Knicks bei \(a = \pm\delta\) setzt der Umbau ein, und zwar mit Steigung eins: Bei \(a = -0{,}20\) (Reiz 20 % zu klein) ist die Antwort \(-0{,}12\) (Abbau), bei \(a = +0{,}20\) spiegelbildlich \(+0{,}12\) (Aufbau). Der Betrag ist stets die Abweichung minus die halbe Totzonenbreite; die Totzone schneidet auf jeder Seite ein Stück der Länge \(\delta\) heraus. Die Kurve ist die ganze Regel des Mechanostaten.

Diese flache Mitte ist dir schon einmal begegnet. Am allerersten Regler des Buches (Kapitel 1) gab es eine Schwelle bei rund 18 Kilometern pro Woche: darunter rührte sich nichts, darüber wuchs die Verdichtung zusehends. Du solltest sie dir merken. Das war diese Totzone — der Bereich, in dem der Reiz zwar da ist, aber die Antwort null bleibt. Was dort als Eigenheit einer Blackbox aussah, ist hier eine Zeile in einer Fallunterscheidung.

Mehr Last, mehr Knochen — aber nicht immer

Verbreitete Vermutung: „Jede zusätzliche Belastung baut Knochen auf, jede Entlastung baut ihn ab.“

Warum sie naheliegt: Astronaut verliert Masse, Gewichtheber legt zu — die Richtung stimmt ja, mehr Last, mehr Knochen.

Was stattdessen gilt: In einem breiten mittleren Bereich — der Totzone — passiert gar nichts; erst oberhalb einer Schwelle wird gebaut, erst unterhalb abgebaut. Ohne diesen toten Bereich kann eine Stelle bei jeder Reizänderung auf- und wieder abbauen und ins Schwingen geraten — der nächste Abschnitt zeigt am echten Rechengesetz, unter welcher Bedingung das geschieht (bei hinreichend großem Iterationsschritt) und wie die Totzone es zähmt. Die Totzone ist der Grund, warum der Knochen stabil bleibt — und, wie sich zeigen wird, der Grund, warum der Endzustand ein wenig davon abhängt, wo man startet.

16.4 Die Totzone auf null stellen — und zusehen, wie es schwingt

Was diese Vorstufe rechnet — und was noch nicht

Die Regler und Animationen dieses Kapitels rechnen eine einzelne Stelle unter fester Spannungsamplitude. Sie enthalten eine lokale Rückkopplung \(\rho \to E \to S \to \rho\), aber keine Lastumlagerung zwischen Elementen. Im vollen Feldmodell hängt die Spannung jedes Elements von der gesamten Dichteverteilung ab: Wird eine Stelle steifer, zieht sie Last an sich und entlastet die Nachbarn. Diese räumlich gekoppelte FEM-Rückkopplung — mit einer erneuten globalen Gleichgewichtsrechnung in jeder Iteration — ist Kapitel 17, nicht dieses Kapitel.

Warum braucht das Modell die Totzone überhaupt? Die Antwort ist nicht nur biologisch, sondern numerisch, und man kann sie sehen. Die folgende Animation lässt eine einzelne Stelle einen wandernden Reiz erleben: Das Reizangebot steigt und fällt, und je nachdem, wo es gerade steht, baut die Stelle auf, ab oder ruht. Der δ-Regler an der Animation verbreitert und verschmälert die tote Mitte.

Vorhersage-Punkt

Bevor du die Animation startest: Wenn das Reizangebot langsam durch den Sollwert wandert — an welcher Stelle des Auf und Ab tut sich nichts, und was ändert sich, wenn du die Totzone breiter machst? Lege dich fest, dann spiele ab.

Totzonenbreite δ:

Deutung. Das ist die Antwort auf die Vorhersagefrage: Solange das Reizangebot im grauen Band um den Sollwert bleibt, tut sich nichts — die Antwort ist null. Erst oberhalb baut die Stelle auf (grün), erst unterhalb ab (rot). Machst du die Totzone breiter, wird das reaktionsfreie Mittelstück breiter, und die Stelle reagiert erst auf größere Ausschläge. Was aber passiert, wenn man die Totzone ganz abschaltet? Der nächste Regler lässt es am echten Rechengesetz laufen.

Vorhersage-Punkt

Bevor du den Regler bewegst: Stellst du δ auf null — kommt das Modell schneller zur Ruhe, oder fängt es an zu schwingen? Lege dich fest, dann schiebe.

Deutung. Das ist die Antwort — und sie ist gerechnet, nicht illustriert: dasselbe lokale Aktualisierungsgesetz wie im Regler (und je Element im Feld), nur mit einer größeren Schrittweite, damit der Effekt sichtbar wird. Ohne Totzone (\(\delta = 0\)) kommt die Stelle nie zur Ruhe. Sie springt mit Periode 2 zwischen zwei Werten (Amplitude 0,020 g/cm³). Der Mechanismus ist ein Überschießen der diskreten Iteration: Ein zu großer Schritt trägt die Dichte über den Sollwert hinaus, im nächsten Schritt liegt der Reiz auf der anderen Seite, und die Stelle kehrt um — Aufbau, Überschuss, Abbau, Unterschuss, wieder Aufbau. Mit Totzone (\(\delta = 0{,}08\)) landet der Überschuss im toten Band, die Antwort wird null, und die Stelle bleibt stehen. Genau darum ist die Totzone beides zugleich: biologisch beobachtet — und numerisch die Stabilisierung, ohne die das diskrete Modell schwingt.

Zwei Schwellen der Schrittweite (Modellgrenze)

Das Überschießen tritt nicht bei jeder Schrittweite auf, und es gibt zwei Schwellen, die man nicht verwechseln darf. Linearisiert man die Iteration am Fixpunkt, so ist ihre Verstärkung

\[ F'(\rho^\ast) = 1 - \eta\,\frac{k+1}{\rho^\ast}, \]

mit dem Morgan-Exponenten \(k = 1{,}49\) und der Schrittweite \(\eta\) (Einheit g/cm³, denn \(\Delta\rho = \eta\,g(a)\)). Daraus folgen:

\(\eta\,(k+1)/\rho^\ast > 1\) (\(F' < 0\)): Die Annäherung wird alternierend — ein gedämpftes Überschießen, dessen Amplitude von Schritt zu Schritt schrumpft. Die Stelle kommt zur Ruhe, aber im Zickzack.
\(\eta\,(k+1)/\rho^\ast > 2\) (\(F' < -1\)): Verlust der Stabilität — das Überschießen wächst nicht mehr ab, es bleibt ein dauerhaftes Periode-2-Schwingen.

Für \(\rho^\ast = 0{,}50\) heißt das: \(\eta = 0{,}08\) (Gewinn 0,40) läuft monoton ein; \(\eta = 0{,}40\) (Gewinn 1,99) überschießt gedämpft; \(\eta = 0{,}50\) (Gewinn 2,49) schwingt dauerhaft. Deshalb ist die Schrittweite der Schwingungs-Demonstration (\(\eta = 0{,}50\)) ein bewusst gewählter didaktischer Reglerparameter: Sie liegt jenseits der Stabilitätsgrenze und macht das bleibende Schwingen sichtbar. Abbildung 16.4 zeigt alle drei Regime. Im Feldmodell (Kapitel 17) arbeitet man mit dem kleinen \(\eta\) und einem Ortsfilter; dort überlebt der Mechanismus nur als schwaches Periode-2-Flackern am Totzonenrand.

Code

fig, achsen = plt.subplots(3, 1, figsize=(6.8, 6.6), sharex=True, sharey=True)
farben = {0.08: "#1f6fb4", 0.40: "#e08a1e", 0.50: "#c0392b"}
namen = {0.08: "monoton", 0.40: "gedämpft überschießend", 0.50: "bleibend schwingend"}
for ax, eta in zip(achsen, (0.08, 0.40, 0.50)):
    sp = MS.iteriere(0.52, MS.S0_BASIS, SIGMA0, eta, 0.0, schritte=90)["spur"]
    fak = MS.stabilitaets_faktor(eta, MS.RHO_STERN_DEMO)
    ax.axhline(MS.RHO_STERN_DEMO, color="#bbb", ls="--", lw=0.8)
    ax.plot(sp, color=farben[eta], lw=1.2)
    # Einhüllende der Umkehrpunkte: bei Periode 2 sind das genau die punktweisen
    # Maxima bzw. Minima zweier Nachbarschritte. Sie trennt „schrumpft" von
    # „bleibt" — in der überlagerten Fassung war das nicht ablesbar.
    paare = list(zip(sp[:-1], sp[1:]))
    ax.plot([max(p) for p in paare], color=farben[eta], lw=0.8, ls=":")
    ax.plot([min(p) for p in paare], color=farben[eta], lw=0.8, ls=":")
    ax.set_ylabel("Dichte ρ (g/cm³)", fontsize=8)
    ax.set_title("η = %s (Gewinn %s) — %s"
                 % (fest(eta, 2), fest(fak, 2), namen[eta]), fontsize=9)
    ax.grid(alpha=0.2)
    de_achse(ax)
achsen[0].set_ylim(0.46, 0.54)
achsen[0].text(2, 0.528, "Achsenausschnitt, Null nicht gezeigt", fontsize=7, color="#a33")
achsen[-1].set_xlabel("Iteration (kein Tag)")
plt.tight_layout(); plt.show()

print("Regime bei ρ* = 0,50, δ = 0 (Start 0,52):")
for eta in (0.08, 0.40, 0.50):
    r = MS.iteriere(0.52, MS.S0_BASIS, SIGMA0, eta, 0.0, schritte=200)
    fak = MS.stabilitaets_faktor(eta, MS.RHO_STERN_DEMO)
    art = ("monoton" if fak < 1 else ("gedämpft überschießend" if fak < 2
                                      else "bleibend schwingend"))
    print("  η = %s  Gewinn %s  →  %s (Endamplitude %s g/cm³)"
          % (komma(eta, 2), komma(fak, 3), art, komma(r["amplitude"], 4)))

Abbildung 16.4: Die drei Schrittweiten-Regime einer Einzelstelle ohne Totzone (δ = 0), aus einer kleinen Auslenkung um den Fixpunkt ρ* = 0,50 (Start 0,52) — untereinander, damit sich die Regime nicht verdecken. Oben η = 0,08 (Gewinn 0,40): monotone Annäherung. Mitte η = 0,40 (Gewinn 1,99): gedämpftes alternierendes Überschießen — die gestrichelte Einhüllende der Umkehrpunkte läuft sichtbar zusammen. Unten η = 0,50 (Gewinn 2,49): bleibendes Periode-2-Schwingen, die Einhüllende bleibt parallel. Die Grenze zwischen gedämpft und bleibend liegt bei Gewinn η·(k+1)/ρ* = 2. Alle drei Achsenausschnitte gleich, Null nicht gezeigt.

Regime bei ρ* = 0,50, δ = 0 (Start 0,52):
  η = 0,08  Gewinn 0,398  →  monoton (Endamplitude 0 g/cm³)
  η = 0,4  Gewinn 1,992  →  gedämpft überschießend (Endamplitude 0,0038 g/cm³)
  η = 0,5  Gewinn 2,49  →  bleibend schwingend (Endamplitude 0,02 g/cm³)

16.5 Der Sollwert: wohin die Dichte läuft

Die Totzone bestimmt, ob es ruhig wird; der Sollwert bestimmt, bei welcher Dichte. Weil ein steiferer Knochen bei gleicher Spannungsamplitude weniger Energie speichert, fällt der Reiz \(S\), wenn die Dichte steigt (der E-Modul folgt dem Morgan-Gesetz aus Kapitel 6). Das ist die stabilisierende Rückkopplung: Baut die Stelle Masse auf, sinkt ihr eigener Reiz, bis er in die Totzone um den Sollwert fällt. Verschiebt man den Sollwert, verschiebt sich der Punkt, an dem das geschieht. Damit hoher und niedriger Sollwert sich unterscheiden lassen, startet die Stelle jetzt genau im Fixpunkt (\(\rho = 0{,}50\), dort ist \(S = S_0\)-Basis): So kann sie je nach Sollwert nach oben oder nach unten laufen.

Vorhersage-Punkt

Bevor du den Regler bewegst: Ein höherer Sollwert — läuft diese eine Stelle in mehr Dichte, in weniger Dichte, oder bleibt sie stehen? Lege dich fest, dann schiebe.

Deutung. Die Antwort auf die Vorhersagefrage: Es hängt vom Sollwert ab, und die Richtung ist eindeutig. Bei einem niedrigen Sollwert ist die Stelle mit wenig Reiz zufrieden, also braucht sie mehr Dichte — sie baut auf (bis 0,64 g/cm³ am unteren Reglerende). Bei einem hohen Sollwert genügt ihr schon ein großer Reiz, sie kommt mit weniger Dichte aus — sie baut ab (bis 0,39 g/cm³ am oberen Ende). Am Basiswert bleibt sie beim Start. Die Gleichgewichtsdichte fällt monoton mit dem Sollwert; das gilt hier für die eine gerechnete Stelle (im Feld hinge die Antwort zusätzlich von der Nachbarschaft ab). Der Sollwert ist die Stellschraube, die entscheidet, wie viel Knochen „genug“ ist.

Dieser Ruhepunkt hat einen Namen, und er ist mehr als Mathematik. Ein Fixpunkt der Iteration ist der Zustand, in dem der Knochen zu seiner Belastung passt: Der Reiz sitzt auf dem Sollwert, die Antwort ist null, und solange sich an der Last nichts ändert, ändert sich auch an der Dichte nichts. Die Biologie nennt das die Homöostase — das eingependelte Gleichgewicht eines lebenden Gewebes. Was Wolff „Anpassung“ nannte, ist in diesem Modell genau das: nicht ein Ziel, das der Knochen ansteuert, sondern der Zustand, in dem die Regel nichts mehr zu tun findet.

Zwei Grenzen setzt das Modell dieser Anpassung von außen: Unter 0,2 g/cm³ und über 1,0 g/cm³ geht die Dichte nicht, egal wie groß der Reizüberschuss wird. Das ist die Sättigung, die Kapitel 14 für diesen Teil angekündigt hat, und es ist dieselbe Grenze, gegen die in Kapitel 1 die Verdichtung am Gewichtsregler lief: Ab einem gewissen Punkt bringt mehr Reiz nichts mehr. Ein Knochen kann nicht beliebig dicht werden — und im Umbaufeld von Kapitel 17 stoßen einzelne Stellen wirklich an diese Grenzen.

16.6 Der Preis der Totzone: ein Band statt eines Punktes

Die Totzone hat einen Preis, und er ist selbst Lehrstoff. Weil jede Dichte, deren Reiz in der Totzone liegt, die Antwort null erzeugt, ist nicht ein einzelner Wert ein Fixpunkt, sondern ein ganzes Band. Wo die Stelle stehen bleibt, hängt davon ab, von wo sie kommt: Von unten läuft sie bis zur unteren Bandkante, von oben bis zur oberen. Der Endzustand erinnert sich schwach an den Start.

Das Band lässt sich für diese stressgesteuerte Einzelstelle direkt hinschreiben. Bei fester Spannungsamplitude ist \(S(\rho) = \sigma_0^2 / (2\,E(\rho)\,1000\,\rho)\) mit \(E(\rho) = 6{,}85\cdot 10^9\,\rho^{1{,}49}\), also

\[ S(\rho) \propto \rho^{-(k+1)}, \qquad k = 1{,}49, \]

streng fallend. Ein Fixpunkt ist jede Dichte, deren Reiz im Sollwert-Band \(S_0(1-\delta) \le S(\rho) \le S_0(1+\delta)\) liegt. Löst man die Ränder auf, ergeben sich die beiden Bandkanten in geschlossener Form:

\[ \rho_- = \rho^\ast (1+\delta)^{-1/(k+1)}, \qquad \rho_+ = \rho^\ast (1-\delta)^{-1/(k+1)}, \]

mit \(\rho^\ast = 0{,}50\) (wo \(S(\rho^\ast) = S_0\)). Ausgerechnet ergibt das 0,485 bis 0,517 g/cm³, eine relative Bandbreite von 6,4 %. Das ganze Band ist eine Eigenschaft dieser einen Stelle unter fester Spannungsamplitude — im gekoppelten Feld wird daraus eine Streuung des Endzustands, die der Regler unten zeigt.

Vorhersage-Punkt

Bevor du den Regler bewegst: Zwei verschiedene Startdichten — landen sie im selben Endzustand, oder erinnert sich das Ergebnis an den Start (Totzonen-Band)? Lege dich fest, dann schiebe.

Deutung. Die Antwort: sie landen nicht im selben Punkt. Der von unten kommende Lauf bleibt an der unteren Bandkante stehen, der von oben kommende an der oberen — die beiden Endwerte stehen am Regler, und sie liegen genau an den zwei eben ausgerechneten Kanten. Das ist kein Fehler, sondern eine Eigenschaft des Modells mit Totzone: In der toten Mitte ist die Antwort null, also ist jede Dichte dort ein Fixpunkt, und der Endzustand trägt eine schwache Erinnerung an den Start.

Wie viel diese Erinnerung im vollen Feld ausmacht, hat die numerisch geprüfte Vergleichsrechnung (Tabelle 13.3) gemessen: Lässt man denselben Umbau von verschiedenen Startdichten aus laufen, unterscheiden sich die Endzustände um 4,22 % über das ganze Dichtefeld. Das Buch nennt Ergebnisse, die sich um weniger als fünf Prozent unterscheiden, dasselbe Ergebnis — knapper, als einem lieb sein kann. Für die Leserin heißt das: Eine Umbaurechnung mit Totzone liefert keinen einzigen richtigen Endzustand, sondern eine schmale Schar davon, und wer eine Zahl daraus zitiert, muss diese Schar mitzitieren. Am Sehnenansatz, den Kapitel 12 als eigene Zone eingeführt hat, ist die Erinnerung viel schwächer: dort liegt die mittlere Dichte über dieselben Läufe nur 0,46 % auseinander. Das ist eine Aussage über die mittlere Dichte einer festgelegten Region, nicht über den genauen Ort des Sporns; die Ortsstabilität und die Verknöcherung bis zur Sättigung sind Fragen von Kapitel 18.

Eine Iteration ist keine Zeit (Modellgrenze)

Die Verläufe dieses Kapitels tragen „Iteration“ auf der Achse, nicht „Tag“. Das Modell sagt wo neuer Knochen entsteht, nicht wann. Eine Iteration ist ein Rechenschritt der Fixpunktiteration, keine biologische Zeitspanne; die Schrittweite \(\eta\) steuert nur das Tempo der Rechnung, nicht die Geschwindigkeit des Knochens. Es gibt in diesem Kapitel keine Zellen (Osteoblasten, Osteoklasten), keinen Stoffwechsel, keine Durchblutung — nur die Antwortregel. Die lokale Rückkopplung \(\rho \to E \to S \to \rho\) ist hier geschlossen; offen bleibt die räumliche Kopplung: Die Stellen sind noch nicht über die Lastumlagerung verbunden, und es gibt keine erneute globale Gleichgewichtsrechnung, in der eine steifer gewordene Stelle Last an sich zieht und die Nachbarn entlastet. Dieses gekoppelte Feld ist Kapitel 17.

Übungen

Ü 16.1 (Verstehen). Drei Stellen haben die Reizabweichungen \(a = -0{,}15\), \(a = +0{,}05\) und \(a = +0{,}12\) (Totzonenbreite \(\delta = 0{,}08\)). Entscheide für jede: Aufbau, Totzone oder Abbau? Begründe das Vorzeichen von \(a\) jeweils über das Verhältnis \(S/S_0\).

Musterlösung zu Ü 16.1

\(a = S/S_0 - 1\), also ist \(a\) negativ, wenn der Reiz unter dem Sollwert liegt (\(S < S_0\)), und positiv, wenn er darüber liegt. Stelle 1 (\(a = -0{,}15\)): \(|a| = 0{,}15 > 0{,}08\) und \(a < 0\) — der Reiz ist 15 % zu klein, also Abbau (Antwort \(g = -0{,}15 + 0{,}08 = -0{,}07\)). Stelle 2 (\(a = +0{,}05\)): \(|a| = 0{,}05 \le 0{,}08\) — im toten Bereich, Totzone, Antwort null, obwohl der Reiz 5 % über dem Sollwert liegt. Stelle 3 (\(a = +0{,}12\)): \(|a| = 0{,}12 > 0{,}08\) und \(a > 0\) — der Reiz ist 12 % zu groß, also Aufbau (Antwort \(g = 0{,}12 - 0{,}08 = +0{,}04\)). Die Totzone schluckt die 5 % von Stelle 2 vollständig, lässt aber die 12 % von Stelle 3 (bis auf \(\delta\)) durch.

Ü 16.2 (Verändern). Öffne den Totzonen-Regler und stelle δ auf null. Sage vorher, ob und wie der Dichteverlauf schwingt; lies dann die Amplitude ab. Stelle δ zurück auf 0,08 und beschreibe den Unterschied.

Musterlösung zu Ü 16.2

Bei \(\delta = 0\) schwingt der Verlauf: Er kommt nicht zur Ruhe, sondern springt mit Periode 2 zwischen zwei Werten um den Fixpunkt 0,50 g/cm³; die Amplitude steht im Antworttext des Reglers und liegt bei einigen Hundertsteln g/cm³. Der Grund ist das Überschießen der diskreten Iteration: Der Schritt trägt die Dichte über den Sollwert hinaus, der Reiz kippt auf die andere Seite, die Stelle kehrt um. Bei \(\delta = 0{,}08\) läuft der Verlauf ein und bleibt bei ρ = 0,50 g/cm³ stehen — sobald die Reizabweichung in den toten Bereich fällt, ist die Antwort null und der Überschuss wird geschluckt. Wichtig: Das Schwingen ist an die didaktisch große Schrittweite \(\eta = 0{,}50\) dieser Demonstration gebunden; mit dem kleinen \(\eta = 0{,}08\) des Feldmodells liefe die Stelle auch ohne Totzone monoton ein.

Ü 16.3 (Übertragen). Öffne den Startdichte-Regler und vergleiche zwei Läufe mit sehr verschiedenen Startdichten. Schätze die Streuung des Endzustands und erkläre, warum sie in der Breite der Totzone sitzt und nicht an der Enthese.

Musterlösung zu Ü 16.3

Die beiden Läufe landen an verschiedenen Stellen desselben Bandes — der eine an der unteren Kante, der andere an der oberen; die beiden Endwerte und ihr Abstand stehen am Regler, und der Abstand ist gerade die Bandbreite von rund sechs Prozent um den Fixpunkt. Die Streuung sitzt in der Totzonenbreite, weil genau dort die Antwort null ist: Jede Dichte im Band \(S(\rho) \in [S_0(1-\delta),\, S_0(1+\delta)]\) ist ein Fixpunkt, und welchen die Stelle erreicht, hängt von der Anlaufrichtung ab. Im vollen Feld reagiert die mittlere Dichte am Sehnenansatz deutlich schwächer auf die Startdichte als das Gesamtfeld — dort treibt die konzentrierte Last den Reiz weit über die Totzone hinaus, sodass der tote Bereich weniger ins Gewicht fällt. Im diffusen Inneren, wo der Reiz nahe am Sollwert liegt, trägt das Band dagegen die volle Erinnerung an den Start. (Das ist eine Aussage über mittlere Dichten, nicht über den genauen Sporn-Ort — den prüft Kapitel 18.)

Roter Faden

Wo kam das schon vor, wo kommt es wieder? Zurück: Die Formänderungsenergie hinter der Von-Mises-Spannung und das gewichtete Mittel der lastfallweisen Energiedichte stammen aus Kapitel 15; die dichteabhängige Steifigkeit (Morgan-Gesetz) aus Kapitel 6; das gewichtete Mittel über die fünf Momente aus Kapitel 14; der kumulative Kraftindex, von dem der Reiz scharf zu trennen ist, ebenfalls aus Kapitel 14. Die Schwelle am ersten Regler des Buches (Kapitel 1) bekommt hier ihren Namen: Sie war die Totzone. Die Enthese als eigene Zone stammt aus Kapitel 12, der Überblick über die Rechnungen des Buches aus Kapitel 13. Vor: Kapitel 17 schließt aus der Antwortregel die volle Rückkopplungsschleife (Dichte → E-Modul → Rechnung → Reiz → Dichte) und behebt die Schachbrettinstabilität mit dem nichtlokalen Filter; das Totzonen-Band kehrt als Modellgrenze in Kapitel 18 wieder.

Was dieses Kapitel NICHT tut

Es schließt noch keine räumliche Rückkopplung — die lokale Schleife \(\rho \to E \to S \to \rho\) jeder Einzelstelle ist geschlossen, aber die Stellen sind noch nicht über die Lastumlagerung gekoppelt (keine erneute globale Gleichgewichtsrechnung); das volle Feld mit Schachbrettinstabilität und Filter ist Kapitel 17. Es kennt keine Zellen (Osteoblasten, Osteoklasten), keinen Hormon- oder Stoffwechselvorgang, keine Durchblutung — nur die Antwortregel des Mechanostaten. Es hat keine biologische Zeitachse: Eine Iteration ist kein Tag, die Schrittweite steuert nur das Rechentempo. Die Zahlen — Totzonenbreite, Sollwert, die beiden Streuungen — sind Modellwerte aus der numerisch geprüften Vergleichsrechnung dieses Buches (Tabelle 13.3), keine Messung an dieser Ferse und keine Aussage über einen wirklichen Fuß; Frost und Huiskes liefern den Rahmen und den Rechenweg, nicht diese Zahlen. Und die große Schrittweite der Schwingungs-Demonstration (\(\eta = 0{,}50\)) ist ein bewusst gesetzter Reglerparameter, der das Überschießen sichtbar macht — nicht die Schrittweite des Feldmodells.