Setz dich hin, lass einen Fuß locker hängen und fasse den Strang, der hinten oberhalb der Ferse unter der Haut liegt, zwischen zwei Finger: Er gibt nach, weich und beweglich. Steh nun auf und heb die Ferse vom Boden. Dieselbe Stelle wird hart, ihre Ränder treten scharf hervor. Der Strang ist deine Achillessehne — sie ist immer da; verändert hat sich der Zug, mit dem die Wade an ihr zieht. Dieser Zug endet an deinem Fersenbein, und du hast ihn gerade selbst geregelt. Dein Körper ist zum Labor geworden.
Wie kräftig, steht im Zahlenanhang am Ende des Buches: die Liste, in der jede Zahl dieses Buches mit Einheit und Herkunft verzeichnet ist (Anhang A) und aus der jedes Kapitel seine Werte holt. Beim Laufen zieht die Achillessehne mit etwa 3,5 Körpergewichten, der Boden drückt mit etwa 2,5 Körpergewichten zurück (belegt sind 2,0 bis 2,9). Für die 75-kg-Läuferin aus Kapitel 1 sind das rund 2600 und 1800 Newton an einem einzigen kleinen Knochen — ein Newton ist ungefähr die Kraft, mit der ein Apfel auf die Handfläche drückt. Aber eine Kraft ist mehr als so eine Zahl. Sie hat auch eine Richtung, und sie greift an einer bestimmten Stelle an — ohne beides lässt sich nicht sagen, was sie mit dem Knochen macht. Dieses Kapitel gibt der Kraft ihre drei Eigenschaften: einen Betrag, eine Richtung und einen Angriffspunkt. Die Komponenten-Rechnung, mit der man solche Kräfte zerlegt und addiert, kommt erst in Kapitel 3 — hier wird getastet, gezeigt und höchstens multipliziert.
Lernziele
Nach diesem Kapitel kannst du
eine Kraft als Größe mit Richtung, Betrag und Angriffspunkt beschreiben und von einer bloßen Zahl unterscheiden,
die drei Kräfte an der Ferse benennen, ihre Richtung zeigen und am eigenen Fuß ertasten (Boden, Achillessehne, Plantarfaszie),
zwei Kräfte grafisch zu einer zusammensetzen (Kräfteparallelogramm) und erklären, warum die Nettokraft im Lauf eines Schrittes wandert,
die Größenordnungen der drei Kräfte in Vielfachen des Körpergewichts einordnen, wie sie im Zahlenanhang stehen.
2.1 Der Körper als Labor: drei Kräfte zum Ertasten
In Kapitel 1 hast du die drei Kräfte schon einmal gespürt — dort ging es darum, dass es sie gibt. Jetzt geht es um etwas anderes: um die Richtung, in die jede von ihnen zieht oder drückt. Mach die Versuche deshalb noch einmal, und achte diesmal bei jedem darauf, wohin es zieht. Zeig die Richtung mit dem Finger nach, bevor du weiterliest.
Boden. Stell dich hin und verlagere das Gewicht auf eine Ferse. Der Druck, den du unter dem Fersenpolster spürst, ist die Antwort des Bodens — die Bodenreaktionskraft. Sie zeigt von unten nach oben, senkrecht in den Knochen hinein.
Achillessehne. Taste den Strang hinten oberhalb der Ferse zweimal: mit hängendem Fuß und mit angehobener Ferse. Straff wird er nur im zweiten Fall — das ist der Zug. Er hebt das Fersenbein nicht einfach nach oben, sondern zieht schräg nach hinten oben, Richtung Wade; fahre die Sehne mit dem Finger nach, und du hast die Richtung.
Plantarfaszie. Zieh im Sitzen die Großzehe nach oben und taste mit der anderen Hand die Fußsohle. Das Band, das sich vom Fersenbein nach vorn spannt, ist die Plantarfaszie. Ihr Zug wirkt entlang der Sohle nach vorn, leicht abwärts, Richtung Zehenballen.
Drei Kräfte, drei Richtungen — und jede zieht an einer anderen Stelle des Knochens. Genau das ist es, was eine Zahl allein nicht festhalten kann.
2.2 Der Kraftpfeil: Richtung und Betrag
Die Physik hält alles zugleich fest — Richtung, Betrag und Angriffspunkt — mit einem denkbar einfachen Bild: dem Pfeil. Die Pfeilrichtung ist die Richtung der Kraft, die Pfeillänge ihr Betrag, und der Fußpunkt des Pfeils der Angriffspunkt: die Stelle, an der die Kraft am Knochen zieht oder drückt. Ein doppelt so langer Pfeil ist eine doppelt so starke Kraft. Diesen Kraftpfeil zeichnen wir erst, dann benennen wir ihn — im Studium wird er später zum Vektor (siehe die Studiums-Tabelle im Vorwort).
Bevor die erste Grafik entsteht, ein Wort zu dem Code, der gleich zu sehen ist. Er ist von der Sorte, die Kapitel 1 unter „Wie dieses Buch rechnet“ angekündigt hat: mitlesbar, in deutschen Namen, ohne Zauberei. Er legt die drei Kräfte mit ihren Angriffspunkten fest, dazu einen Maßstab, der Newton in Pfeillänge übersetzt, und die Zeichenwerkzeuge für alle Bilder dieses Kapitels. Die Zelle ist eingeklappt — wer wissen will, woher ein Name kommt, klappt sie auf. Ihre Zahlen holt sie aus dem Zahlenanhang (Anhang A), sie erfindet keine.
Das Rechenwerk dieses Kapitels — zum Nachlesen aufklappen
# --- Gemeinsame Bausteine aller Kräfte-Grafiken dieses Kapitels ---------import jsonimport pathlibimport sysimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom matplotlib.patches import FancyArrowsys.path.insert(0, "programme/gemeinsam")import kanonKG_N = kanon.wert_von("KOERPERGEWICHT") # Körpergewicht in Newton (Zahlenkanon)MM_PRO_KG =6.0# Pfeillänge: mm je Vielfachem des KG (wie im Canvas)FARBE = {"boden": "#1f77b4", "achilles": "#d62728","faszie": "#2ca02c", "res": "#7a2b8a"}# Angriffspunkte (mm): die auf die echte 48-Punkt-Kontur projizierten Punkte# der Randgruppen der Referenzrechnung — Boden unter dem Tuber,# Achillessehne an der hinteren Tuberwand, Plantarfaszie am vorderen unteren# Abhang der Tuberositas (dem realen Sporn-Ort). Sie liegen damit AUF der# Kontur (Konvention Felddarstellungen). Richtungen in Grad# (0 = vorn/rechts, 90 = oben); Standardbeträge in · KG.# Die Faszienrichtung ist der Kanonwert RICHTUNG_FASZIE (0,985 / -0,174),# das sind -10 Grad; Boden 90 Grad ebenfalls kanonisch. Der Achilleswinkel# ist eine schematische Annahme dieses Kapitels (kein Kanonwert).ANS = {"boden": (8.594, 2.237), "achilles": (1.343, 23.278),"faszie": (24.065, 3.353)}RICHT = {"boden": 90.0, "achilles": 118.0, "faszie": -10.0}BETRAG = {"boden": 2.5, "achilles": 3.5, "faszie": 2.0}RES_URSPRUNG = (26.0, 18.0)NAME = {"boden": "Bodenreaktion", "achilles": "Achillessehne","faszie": "Plantarfaszie"}def kg(x):"""Betrag in deutscher Kommadarstellung, z. B. 3,50."""returnf"{x:.2f}".replace(".", ",")# Der Kräftefahrplan: die fünf Momente der Standphase mit den drei Kräften# (Vielfache des Körpergewichts) und dem Zeitanteil jedes Moments. Diese# Tabelle ist die eine Quelle des Buches für den Schritt; Kapitel 7, 11 und# 14 rechnen mit denselben Zahlen (Maxima aus dem Kanon, Verlauf und# Zeitanteile sind Modellannahme).M_BODEN = [1.45, 2.00, 2.50, 1.20, 0.30]M_ACHILLES = [0.30, 1.50, 2.00, 3.50, 2.80]M_FASZIE = [0.10, 0.30, 0.60, 1.20, 2.00]GEWICHTE = [0.15, 0.20, 0.30, 0.20, 0.15]PHASEN = ["Fersenauftritt", "Belastungsaufbau", "mittlere Standphase","Fersenablösung", "Abstoß"]_kontur = json.loads( pathlib.Path("../geometrie/kalkaneus_kontur.json").read_text())KONTUR = np.array(_kontur["punkte"]) *1000.0# m -> mmdef pfeil(ax, ursprung, grad, betrag, farbe):"""Einen Kraftpfeil zeichnen: Länge = Betrag (· KG) · MM_PRO_KG. Der Pfeilkopf wächst mit dem Betrag (mit Untergrenze), damit kleine Kräfte nicht durch einen festen großen Kopf überbetont werden. Die Beschriftung übernimmt die feste Farb-Legende, nicht die Pfeilspitze. """ rad = np.deg2rad(grad) dx = betrag * MM_PRO_KG * np.cos(rad) dy = betrag * MM_PRO_KG * np.sin(rad) kopf =max(2.0, 1.2+0.7* betrag) ax.add_patch(FancyArrow(ursprung[0], ursprung[1], dx, dy, width=max(0.4, 0.22* betrag), head_width=kopf, length_includes_head=True, color=farbe, zorder=5))def resultierende(betraege, grade):"""Vektorsumme der Pfeile; gibt (Betrag, Spitze in mm) zurück.""" vx =sum(b * np.cos(np.deg2rad(g)) for b, g inzip(betraege, grade)) vy =sum(b * np.sin(np.deg2rad(g)) for b, g inzip(betraege, grade)) spitze = (RES_URSPRUNG[0] + vx * MM_PRO_KG, RES_URSPRUNG[1] + vy * MM_PRO_KG)returnfloat(np.hypot(vx, vy)), spitzedef massstab(ax, x0, y0):"""Newton-Maßstabsbalken: ein Körpergewicht als Referenzlänge.""" ax.plot([x0, x0 + MM_PRO_KG], [y0, y0], color="#333", lw=2)for xx in (x0, x0 + MM_PRO_KG): ax.plot([xx, xx], [y0 -1.2, y0 +1.2], color="#333", lw=2) ax.text(x0, y0 +2.5, "1 · KG ≈ 736 N", fontsize=8, color="#333")def orientierung(ax): ax.text(-2, 46, "hinten (Ferse)", fontsize=9, color="#666") ax.text(50, 34, "vorn (Zehen)", fontsize=9, color="#666") ax.add_patch(FancyArrow(-24, 18, 0, 12, width=0.15, head_width=2.2, color="#666")) ax.text(-23, 31, "oben", fontsize=9, color="#666")def kraftszene(ax, achilles_grad=None, achilles_betrag=None, betraege=None, grade=None, mit_resultierende=True, mit_bahn=False):"""Kontur + drei Kraftpfeile + optionale Resultierende (eine Grafik).""" b =dict(BETRAG) if betraege isNoneelsedict(betraege) g =dict(RICHT) if grade isNoneelsedict(grade)if achilles_grad isnotNone: g["achilles"] = achilles_gradif achilles_betrag isnotNone: b["achilles"] = achilles_betrag ax.fill(KONTUR[:, 0], KONTUR[:, 1], color="#f0e2d0", ec="#a9825f", lw=1.6, zorder=2) ax.text(46, 9, "Fersenbein", fontsize=8, color="#8a6a4a", ha="center", zorder=3)from matplotlib.lines import Line2D handles = []for teil in ("boden", "achilles", "faszie"): pfeil(ax, ANS[teil], g[teil], b[teil], FARBE[teil]) handles.append(Line2D([0], [0], color=FARBE[teil], lw=3, label=f"{NAME[teil]}{kg(b[teil])} · KG")) res_b =Noneif mit_resultierende: reihen = ("boden", "achilles", "faszie") res_b, spitze = resultierende([b[k] for k in reihen], [g[k] for k in reihen]) ax.annotate("", xy=spitze, xytext=RES_URSPRUNG, arrowprops=dict(arrowstyle="-|>", color=FARBE["res"], lw=2.4, ls="--"), zorder=6) handles.append(Line2D([0], [0], color=FARBE["res"], lw=2.4, ls="--", label=f"Resultierende (Nettokraft) {kg(res_b)} · KG"))# Legende oben links im freien Bildbereich (oberhalb der Kontur) —# sie darf weder die plantare Kontur noch den Faszienpfeil verdecken. ax.legend(handles=handles, loc="upper left", fontsize=7.5, framealpha=0.92, handlelength=1.6, borderpad=0.5) massstab(ax, -32, -22) orientierung(ax) ax.set_xlim(-34, 84) ax.set_ylim(-26, 76) ax.set_aspect("equal") ax.axis("off")return res_b
Code
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom matplotlib.patches import FancyArrow, FancyArrowPatch, Arcfig, ax = plt.subplots(figsize=(7.6, 4.4))# Der Kraftpfeil (Zug der Achillessehne, 3,5 · KG), gross und farbig.x0, y0 =0.0, 0.0grad, betrag =118.0, 3.5rad = np.deg2rad(grad)dx = betrag * MM_PRO_KG * np.cos(rad)dy = betrag * MM_PRO_KG * np.sin(rad)ax.add_patch(FancyArrow(x0, y0, dx, dy, width=0.7, head_width=3.8, length_includes_head=True, color=FARBE["achilles"], zorder=4))# Richtung: waagerechte Bezugslinie + Winkelbogen, Beschriftung frei ueber# der Pfeilspitze (kein Text hinter dem Pfeil).ax.plot([0, 16], [0, 0], ls=":", color="#999", lw=1.2, zorder=2)ax.add_patch(Arc((0, 0), 20, 20, theta1=0.0, theta2=grad, color="#888", lw=1.3, zorder=3))ax.annotate("Richtung\n(wohin der Pfeil zeigt)", xy=(dx, dy), xytext=(dx -2, dy +7), fontsize=10, color=FARBE["achilles"], fontweight="bold", ha="center", va="bottom", arrowprops=dict(arrowstyle="->", color=FARBE["achilles"]))# Betrag: Massklammer parallel zum Schaft, nach rechts versetzt; Text rechts# im freien Raum.d = np.array([np.cos(rad), np.sin(rad)])perp = np.array([np.sin(rad), -np.cos(rad)]) # zeigt nach +x (rechts)a = np.array([x0, y0]) + perp *4.0b = np.array([dx, dy]) + perp *4.0ax.add_patch(FancyArrowPatch(tuple(a), tuple(b), arrowstyle="<|-|>", mutation_scale=10, color="#555", lw=1.3, zorder=3))mid = (a + b) /2+ perp *1.5ax.annotate("Betrag = Pfeillänge\n3,5 · KG ≈ 2576 N", xy=tuple(mid), xytext=(20, 12), fontsize=10, color=FARBE["achilles"], fontweight="bold", ha="left", va="center", arrowprops=dict(arrowstyle="->", color="#555"))# Angriffspunkt am Pfeilanfang.ax.plot(x0, y0, "o", color="#333", ms=9, zorder=5)ax.annotate("Angriffspunkt\n(hier greift die Kraft an)", xy=(0, 0), xytext=(6, -8), fontsize=10, color="#333", ha="left", va="top", arrowprops=dict(arrowstyle="->", color="#333"))# Massstabsbalken: 1 · KG als Referenzlaenge, direkt mit dem Pfeil vergleichbar.bx =20.0ax.plot([bx, bx + MM_PRO_KG], [-2, -2], color="#333", lw=2.5)for xx in (bx, bx + MM_PRO_KG): ax.plot([xx, xx], [-3.4, -0.6], color="#333", lw=2.5)ax.text(bx, -6, "1 · KG ≈ 736 N\n(der Pfeil ist 3,5-mal so lang)", fontsize=8.5, color="#333", va="top")ax.set_xlim(-24, 44)ax.set_ylim(-12, 38)ax.set_aspect("equal")ax.axis("off")plt.tight_layout()plt.show()
Abbildung 2.1: Ein Kraftpfeil hält beides fest: die Richtung (wohin der Pfeil zeigt) und den Betrag (wie lang er ist). Hier der Zug der Achillessehne mit 3,5 · Körpergewicht. Der Maßstabsbalken übersetzt Länge in Newton: ein Körpergewicht (KG ≈ 736 N) ist die Referenzlänge, der Pfeil ist dreieinhalbmal so lang. Der Punkt ist der Angriffspunkt — dort greift die Kraft an.
Deutung. Zwei Pfeile mit gleicher Länge, aber verschiedener Richtung sind zwei verschiedene Kräfte — auch wenn ihr Betrag in Newton derselbe ist. Das ist der ganze Unterschied zwischen einer Kraft und einer Zahl.
Der Betrag selbst ist eine schlichte Multiplikation: ein Vielfaches mal das Körpergewicht. So wird aus „3,5 · KG“ eine Kraft in Newton. Die folgende Zelle rechnet das für alle drei Kräfte der Ferse aus — jedes Vielfache aus dem Zahlenanhang, mal dem Körpergewicht der Läuferin.
Vom Vielfachen zum Betrag in Newton
def kraft_in_newton(vielfaches_vom_koerpergewicht):"""Betrag einer Kraft aus ihrem Vielfachen des Körpergewichts. vielfaches_vom_koerpergewicht: etwa 2,5 fuer die Bodenreaktion. Rueckgabe: Betrag der Kraft in Newton (KG_N stammt aus dem Kanon). """return vielfaches_vom_koerpergewicht * KG_N
Tabelle 2.1: Die drei Kräfte der Ferse, aus ihren Vielfachen des Körpergewichts (Tabelle A.2).
Kraft
Vielfaches
Betrag (N)
Bodenreaktion
2,50 · KG
1840
Achillessehne
3,50 · KG
2576
Plantarfaszie
2,00 · KG
1472
Deutung unter der Tabelle. Für die 75-kg-Läuferin werden aus den drei Vielfachen 1840 Newton unter der Ferse (Boden), 2576 Newton in der Achillessehne und 1472 Newton im Faszienband — drei Kräfte in derselben Größenordnung, jede ein Mehrfaches des Körpergewichts, alle an einem einzigen kleinen Knochen. Der Betrag allein sagt aber noch nicht, was jede davon am Knochen bewirkt; dazu fehlt die Richtung, die der nächste Abschnitt anträgt.
Zum Selberändern — dieselbe Rechnung im Browser. Verändere das Vielfache in der Liste und führe die Zelle aus: Der Balken wächst mit, und der rote Strich zeigt, wo das Körpergewicht selbst liegt. So sieht man sofort, um welchen Faktor eine Kraft darüber hinausgeht.
2.3 Die drei Kräfte an der Ferse
Jetzt kommen alle drei zusammen, jede mit Richtung und Betrag am Knochen angetragen. Das ist dieselbe Szene wie in Abbildung 1.2, nun mit Beträgen in Vielfachen des Körpergewichts (Zahlenanhang) und einem Maßstab in Newton.
Code
import matplotlib.pyplot as pltfig, ax = plt.subplots(figsize=(7.2, 4.4))kraftszene(ax)plt.tight_layout()plt.show()
Abbildung 2.2: Die drei Kräfte mit ihren Arbeitswerten, maßstabsgetreu am Fersenbein angetragen (Kontur 66 mm lang; rechter Fuß von außen, hinten links, vorn rechts, oben ↑). Bodenreaktion von unten (2,50 · KG, 90°), Achillessehne an der hinteren Tuberwand nach hinten oben (3,50 · KG, ~118°), Plantarfaszie am vorderen unteren Abhang nach vorn-unten (2,00 · KG, −10°). Das ist KEIN realer Schrittmoment: diese Maxima treten nicht gleichzeitig auf (siehe die wandernden Kräfte weiter unten). Der gestrichelte Pfeil ist ihre Resultierende (Nettokraft).
Deutung. Die Bodenreaktion drückt hoch, die Achillessehne zieht nach hinten oben, die Plantarfaszie nach vorn. Ihre Resultierende — der gestrichelte Pfeil — ist die Vektorsumme der drei, ihre Nettokraft. Sie beschreibt nur die Gesamtbilanz der äußeren Kräfte, nicht die örtliche Wirkung an einem ausgedehnten Knochen: Ob unten gedrückt oder vorn gezogen wird, macht am echten Knochen einen Unterschied, den ein einziger Summenpfeil nicht sieht. Wie man diese Summe sauber konstruiert, zeigt gleich das Kräfteparallelogramm. Und die drei Kräfte allein heben sich nicht auf; erst die Gelenkkraft von oben schließt das Gleichgewicht (Kapitel 12).
Wo dieser Schnitt im echten Fuß liegt, zeigt das anatomische Übersichtsbild aus Kapitel 1 (Abbildung 1.1): das Fersenbein unten hinten, darüber das Sprungbein, die Achillessehne an der Rückseite, die Plantarfaszie unter der Sohle nach vorn. Genau an diesen Ansätzen greifen die drei Pfeile an.
WarnungEine Kraft ist keine Zahl
Vermutung:„Auf die Ferse wirken 736 Newton, fertig.“
Warum das naheliegt: Eine Zahl mit Einheit sieht vollständig aus. 736 Newton klingt nach einer klaren, fertigen Angabe.
Was stattdessen gilt: Zwei Kräfte mit demselben Betrag können den Knochen völlig verschieden belasten, wenn sie in verschiedene Richtungen zeigen. Der Bodendruck von unten (2,5 · KG) und der Faszienzug nach vorn (2,0 · KG) haben ähnliche Beträge, aber gegensätzliche Wirkung — der eine staucht den Tuber von unten, der andere zieht am vorderen Ansatz nach vorn. Deshalb gehört die Richtung zur Kraft dazu, und deshalb zeichnen wir den Pfeil, nicht die Zahl.
2.4 Wo die Kraft angreift
Der Pfeil hat noch eine dritte Eigenschaft, die die Zahl nicht hat: seinen Fußpunkt. Und mit ihr steht es eigenartig — die Resultierende bemerkt sie nämlich gar nicht. Das folgende Bildpaar zeigt zweimal dieselben drei Kräfte, mit einem einzigen Unterschied: Der Faszienzug greift einmal an seinem Ansatz an, einmal acht Millimeter weiter hinten an der Sohle. Vergleiche die beiden gestrichelten Pfeile miteinander, bevor du weiterliest.
Abbildung 2.3: Dieselbe Faszienkraft (2,00 · KG, −10°) an zwei Stellen der Fußsohle, Bilder untereinander: oben am vorderen unteren Abhang der Tuberositas, dem Ansatz, mit dem dieses Buch rechnet; unten rund acht Millimeter weiter hinten. Bodenreaktion und Achillessehnenzug sind in beiden Bildern unverändert. Der gestrichelte Pfeil der Resultierenden hat oben wie unten denselben Betrag und dieselbe Richtung. Rechter Fuß von außen; hinten links, vorn rechts, oben ↑.
Deutung. Die beiden gestrichelten Pfeile sind gleich lang und zeigen in dieselbe Richtung: Für die Nettokraft ist es einerlei, wo eine Kraft angreift. Für den Knochen ist es das nicht. Zieht das Band weiter hinten, wird ein anderes Stück Knochen beansprucht — und genau um diese Frage, wo gezogen wird, dreht sich am Ende dieses Buches der Streit um den Fersensporn. Der Angriffspunkt ist also die Eigenschaft, die eine Summenzahl grundsätzlich nicht wiedergeben kann; sichtbar wird sie erst, wenn man das Innere des Knochens rechnet.
Ändert man dagegen die Richtung einer Kraft, wandert die Resultierende sehr wohl. Das lässt sich am besten selbst ausprobieren.
WichtigVorhersage-Punkt
Bevor du schiebst: Der Regler dreht die Zugrichtung der Achillessehne — von steil (fast senkrecht) bis flach (weit nach hinten). Wenn die Sehne steiler zieht: Wird die Resultierende (Nettokraft) der drei Kräfte größer oder kleiner? Lege dich fest.
Deutung. Die drei angetragenen Pfeile sind die äußeren Kräfte; ihre Resultierende (gestrichelt) ist deren Nettokraft. Zieht die Achillessehne steiler, wächst ihr aufwärts gerichteter Anteil, und weil Boden- und Faszienkraft dabei unverändert bleiben, wird die Nettokraft größer — der gestrichelte Pfeil wird länger. Wie sich diese Last im Knochen als Spannung verteilt, rechnet erst die Simulation der späteren Teile; hier zählt die Richtung, nicht das Spannungsfeld.
2.5 Zwei Kräfte zusammensetzen: das Kräfteparallelogramm
Am Regler ist die Nettokraft eben fertig erschienen. Für zwei Kräfte kannst du sie von Hand konstruieren — mit dem Kräfteparallelogramm: Man trägt beide Kräfte vom selben Punkt aus an, ergänzt sie zu einem Parallelogramm und zieht die Diagonale. Diese Diagonale ist die Resultierende.
Abbildung 2.4: Das Kräfteparallelogramm für Bodenreaktion (2,50 · KG, nach oben) und Plantarfaszie (2,00 · KG, nach vorn-unten). Beide vom selben Punkt angetragen, zum Parallelogramm ergänzt (gestrichelt); die Diagonale ist die Resultierende (≈ 2,9 · KG nach vorn oben). Zwei Kräfte werden so grafisch zu einer zusammengesetzt.
Deutung. Aus zwei Pfeilen wird ein dritter. Die Resultierende von Boden und Faszie zeigt nach vorn oben und ist länger als jede der beiden einzeln — aber nicht so lang wie ihre Summe als bloße Zahlen (2,5 + 2,0 = 4,5), weil die Richtungen auseinanderlaufen. Hier wird sie als Bild konstruiert — Parallelogramm und Diagonale, ohne eine einzige Zahl zu addieren. Die Komponenten-Zerlegung, mit der ein Rechner dieselbe Summe innerlich bildet, kommt in Kapitel 3; dann macht der Computer dieses Zusammensetzen für Tausende Kräfte gleichzeitig.
Im Schritt wandert die Belastung von der Landung bis zum Abstoß. Das Buch hält diesen Verlauf in fünf Momentaufnahmen fest — jede mit den drei Kraftbeträgen dieses Augenblicks und mit dem Zeitanteil, den der Augenblick am Bodenkontakt hat. Diese Tabelle heißt in diesem Buch der Kräftefahrplan, und sie ist die einzige Quelle für den Schritt: Kapitel 7 macht aus ihren Stützwerten eine Kurve, Kapitel 11 rechnet einen ihrer Momente am Netz durch, und in Teil V wird jede ihrer fünf Zeilen zu einem eigenen Lastfall.
Tabelle 2.2: Der Kräftefahrplan: die fünf Momente der Standphase. Die drei Kräfte in Vielfachen des Körpergewichts (· KG), der Zeitanteil als Bruchteil des Bodenkontakts (Summe eins).
Moment
Boden
Achillessehne
Plantarfaszie
Zeitanteil
Fersenauftritt
1,45
0,30
0,10
0,15
Belastungsaufbau
2,00
1,50
0,30
0,20
mittlere Standphase
2,50
2,00
0,60
0,30
Fersenablösung
1,20
3,50
1,20
0,20
Abstoß
0,30
2,80
2,00
0,15
Wie der Fahrplan zu lesen ist. Jede Zeile ist ein Standbild, keine Zeitspanne, und die drei Höchstwerte stehen in drei verschiedenen Zeilen: Der Boden drückt in der mittleren Standphase am stärksten, die Sehne zieht bei der Fersenablösung am stärksten, das Faszienband beim Abstoß. Nur diese drei Höchstwerte stammen aus dem Zahlenanhang; der Verlauf dazwischen ist eine Modellannahme und keine gemessene Kurve. Das gilt auch für den ersten Wert der Bodenspalte: Die 1,45 · KG beim Fersenauftritt sind ein Stützwert einer geglätteten Kurve — die kurze, harte Spitze, mit der eine Ferse beim Fersenlauf wirklich aufschlägt, ist darin nicht aufgelöst. Die Zeitanteile schließlich sind eine Annahme darüber, wie lange der Fuß in jedem Moment verweilt; sie entscheiden in Teil V darüber, wie schwer ein Moment am Ende wiegt.
Die folgende Animation schaltet die fünf Zeilen nacheinander durch. Die drei Richtungen bleiben dabei fest — so rechnet das Modell auch in Teil V —, und allein die Mischung der Beträge wechselt: früh überwiegt der Bodendruck, später der Achilleszug, während der Faszienzug zum Abstoß hin anwächst.
Deutung. Kein Moment ist wie der andere. Beim Fersenauftritt dominiert der Boden, beim Abstoß übernehmen Achillessehne und Faszie; die Spitze der Resultierenden springt dabei von Moment zu Moment, und die gepunktete Linie zeichnet ihre Spur nach — nicht etwa eine Bahn im Knochen, nur die Folge der Nettokraft-Spitzen. Die Nettokraft wandert also, obwohl keine der drei Kräfte ihre Richtung ändert; es genügt, dass sich ihre Mischung verschiebt. Dieses Wandern ist der Grund, warum ein Schritt in Teil V nicht durch einen einzigen Lastfall, sondern durch fünf Momentaufnahmen beschrieben wird.
2.6 Warum die Größenordnungen streuen
Eine letzte Eigenschaft der Kräfte muss man kennen, bevor man ihnen Nachkommastellen glaubt: Sie sind nicht scharf bestimmt. Wie groß die Achillessehnenkraft beim Laufen wirklich ist, hängt davon ab, wie man sie gewinnt. Messungen an der Sehne selbst liefern etwa 3,2–3,5 · KG; rechnet man sie stattdessen aus Gelenkmomenten zurück, kommen bis zu etwa 7 · KG heraus (beides im Zahlenanhang). Der Arbeitswert 3,5 · KG ist der messbasierte untere Anker; die 7 · KG sind kein statistischer Ausreißer, sondern zeigen, wie empfindlich das Ergebnis von der Methode abhängt — eine Sensitivität, keine Messstreuung. Das ist keine Schlamperei, sondern Biologie und Messmethode zugleich.
Code
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltnamen = ["Bodenreaktion", "Achillessehne", "Plantarfaszie"]werte = [2.5, 3.5, 2.0]# Nur die belegten Bereiche als Fehlerbalken (Boden, Faszie). Für die# Achillessehne ist 3,5–7 eine Methoden-Sensitivität, kein statistischer# Streubereich — deshalb kein Fehlerbalken, sondern eine gestrichelte Marke.unten = [2.5-2.0, 0.0, 2.0-1.3]oben = [2.9-2.5, 0.0, 2.9-2.0]farben = [FARBE["boden"], FARBE["achilles"], FARBE["faszie"]]fig, ax = plt.subplots(figsize=(7.0, 3.8))y = np.arange(len(namen))[::-1]ax.barh(y, werte, color=farben, height=0.5, zorder=2)ax.errorbar(werte, y, xerr=[unten, oben], fmt="none", ecolor="#333", capsize=5, lw=1.5, zorder=3)# Sensitivitätsmarke der Achillessehne bei ~7 · KG.y_ach = y[1]ax.plot([7.0, 7.0], [y_ach -0.28, y_ach +0.28], color=FARBE["achilles"], lw=2, ls="--", zorder=4)ax.annotate("Sensitivitätsszenario ~7 · KG\n(Momenten-Rückrechnung)", xy=(7.0, y_ach), xytext=(4.4, y_ach +0.6), fontsize=7.5, color=FARBE["achilles"], arrowprops=dict(arrowstyle="->", color=FARBE["achilles"], lw=1))ax.axvline(1.0, color="#888", lw=1.2, ls="--", zorder=1)ax.text(1.1, 1.5, "Körpergewicht (1 · KG)", fontsize=8, color="#666")ax.set_yticks(y)ax.set_yticklabels(namen)ax.set_xlabel("Betrag (Vielfaches des Körpergewichts · KG)")ax.set_xlim(0, 7.8)for yy, w inzip(y, werte): ax.text(w +0.05, yy +0.28, f"{w:.1f} · KG".replace(".", ","), fontsize=9, color="#333")# Zweite Achse: dieselben Vielfachen in Newton.ax2 = ax.twiny()ax2.set_xlim(0, 7.8* KG_N)ax2.set_xlabel("Betrag (Newton)")plt.tight_layout()plt.show()
Abbildung 2.5: Die drei Kräfte in Vielfachen des Körpergewichts (Zahlenanhang). Bodenreaktion 2,5 (belegter Bereich 2,0–2,9) und Plantarfaszie 2,0 (1,3–2,9) tragen Fehlerbalken für ihren belegten Bereich. Die Achillessehne steht mit ihrem messbasierten Arbeitswert 3,5; die gestrichelte Marke bei ~7 ist KEIN Streubereich, sondern das Sensitivitätsszenario der Momenten-Rückrechnung. Die dünne Linie bei 1 · KG ist das Körpergewicht als Bezug; die rechte Achse zeigt denselben Betrag in Newton.
Deutung. Alle drei Kräfte liegen in derselben Größenordnung, grob zwischen zwei und vier Körpergewichten. Nur die Achillessehne kann, je nachdem, wie man sie bestimmt, auf das Doppelte hinauslaufen. Ein Modell, das eine dieser Zahlen auf drei Nachkommastellen ausgibt, tut so, als wüsste es mehr als die Biologie. Genau diese Empfindlichkeit wird deshalb zum Reglerthema.
WichtigVorhersage-Punkt
Bevor du schiebst: Der Regler verdoppelt die Achillessehnenkraft im belegten Sensitivitätsbereich, von 3,5 auf 7 · KG. Ändert sich die Resultierende (Nettokraft) stark — oder hält die Bodenkraft dagegen und die Richtung bleibt fast gleich? Lege dich fest.
Deutung. Die Verdopplung ist deutlich zu sehen: Der rote Pfeil wird doppelt so lang, und die Nettokraft folgt ihm — sie wächst und dreht ein Stück nach hinten oben, dorthin, wo die Sehne zieht. Die Bodenkraft allein hält also nicht dagegen. Wer eine biomechanische Simulation liest, sollte deshalb immer fragen, mit welchem Wert im Sensitivitätsbereich sie gerechnet hat.
Übungen
Ü 2.1 (Verstehen). Zeichne für jede der drei Kräfte (Boden, Achillessehne, Plantarfaszie) einen Pfeil an ein Fersenbein und schreibe in einem Satz dazu, bei welcher Bewegung sie am größten oder am deutlichsten zu tasten ist — Stehen, Zehenspitzenstand oder Abstoß.
Ü 2.2 (Verändern). Öffne den Sensitivitäts-Regler. Schreibe vorher auf, was du erwartest, dann schiebe die Achillessehnenkraft von 3,5 auf 7 · KG. Notiere den Betrag der Resultierenden (Nettokraft) bei beiden Werten und um wie viel er sich ändert.
Ü 2.3 (Übertragen). Die folgende Tafel aus einem Anatomiebuch von 1918 ist eine Fundgrube für alles, was unser Modell weglässt. Suche darin eine weitere Kraft — zusätzlich zur Gelenkkraft des Sprungbeins —, die auf das Fersenbein wirkt, und begründe, warum der ebene Schnitt durch die Ferse sie nicht sehen kann. Was müsste man am Modell ändern, um sie zu berücksichtigen?
Abbildung 2.6: Die Sehnen der Fußinnenseite: die Achillessehne (Tendocalcaneus) mit ihrem Schleimbeutel, davor die Beugesehnen, die unser Modell nicht enthält. Zur Orientierung: Alle Modellbilder dieses Buches zeigen den rechten Fuß von außen, mit der Ferse links. Diese Tafel blickt von der anderen Seite, auf die Fußinnenseite — deshalb liegt hier die Ferse rechts und die Zehen links. Wer die Tafel mit Abbildung 1.1 vergleicht, muss sie im Kopf spiegeln. Quelle: Gray, Anatomy of the Human Body, 20. Aufl. 1918, Tafel 442 (gemeinfrei).
Roter Faden
Wo kam das schon vor, wo kommt es wieder? Aus den drei Pfeilen der Blackbox in Kapitel 1 sind Kräfte mit Richtung und Betrag geworden. In Kapitel 3 bekommt der Kraftpfeil eine Zahlenliste und wird zum Vektor — dann lässt sich die Resultierende nicht nur zeichnen, sondern rechnen. Die drei Kräfte dieses Kapitels sind genau die Randbedingungen, die Kapitel 12 am Netz ansetzt; die vierte, die Gelenkkraft des Sprungbeins, kommt dort nicht als vierter Pfeil hinzu, sondern als Reaktion des Lagers, mit dem das Sprungbein festgehalten wird. Und der Kräftefahrplan (Tabelle 2.2) wird in Teil V zu den fünf Lastfällen des Schrittes.
Was dieses Kapitel NICHT tut
Es rechnet nicht mit Komponenten: keine Zerlegung der Kräfte in x- und y-Zahlen, keine Gleichungen, keine Spannungen im Knochen. Die Resultierende wird hier als Bild konstruiert (Parallelogramm und Diagonale), nicht aus Koordinaten gerechnet — die Komponenten-Zerlegung, die derselben Summe zugrunde liegt, kommt in Kapitel 3. Die interaktiven Regler zeigen die äußeren Kräfte und ihre Nettokraft als Pfeile — sie berechnen kein Spannungsfeld und behaupten nichts über den Ort, an dem der Knochen wächst; das ist Sache der späteren Teile. Auch das Gleichgewicht des Knochens wird hier nicht geschlossen: Die vierte Kraft, die Gelenkkraft von oben, wird nur angekündigt.
