14 Der Schritt in fünf Bildern

Bis hierher stand die Ferse still. In Kapitel 12 bekam sie ihre drei Kräfte und ihr Lager, in Kapitel 13 lernten wir, dem bunten Bild erst nach drei Prüffragen zu trauen. Aber ein Knochen erlebt keinen einzelnen Augenblick. Er erlebt einen Schritt — und über die Woche Zehntausende davon, jede Ferse für sich. Dieses Kapitel macht aus dem einen stillen Lastfall eine Belastungsgeschichte: fünf gewichtete Momentaufnahmen des Schrittes, vom Fersenauftritt bis zum Abstoß. Damit rechnet das Buch zum ersten Mal einen ganzen Schritt statt eines Augenblicks, und Trainingsumfang, Laufstil und Kadenz werden von Erzählungen zu Größen, an denen man drehen kann. Das ist die Grundlage für die ganze Umbaurechnung von Teil VI.

Einen dieser Momente hat Kapitel 11 schon gegen die anderen gestellt: Am Handnetz saß die höchste Spannungsspitze nicht beim gefürchteten Fersenauftritt, sondern bei der Fersenablösung. Das war die Frage nach dem härtesten Augenblick. Dieses Kapitel stellt die andere Frage — welcher Moment über den ganzen Schritt am meisten zählt.

Lernziele

Nach diesem Kapitel kannst du

den Schritt in seine fünf Momente zerlegen und für jeden benennen, welche der drei Kräfte gerade dominiert — und das aus den Tabellenzahlen ablesen statt es zu raten,
erklären, warum fünf gewichtete Standbilder mehr über die Belastung sagen als ein einziger Spitzenlastfall,
Lastfallgewichte als „wie oft und wie lange kommt dieser Moment vor” deuten, sie auf Summe eins normieren und über die Lastfälle mitteln,
benennen, was Laufstil und Kadenz an den Gewichten verschieben — und dass das Modell die Kräfte-Maxima aus dem Zahlenanhang nimmt, den Verlauf dazwischen aber annimmt.

Die fünf Momente dieses Kapitels sind die fünf Zeilen des Kräftefahrplans aus Kapitel 2 (Tabelle 2.2) — dieselben drei Kräfte, dieselben Zeitanteile, nur jetzt als Rechengrößen. Für Teil V stehen sie zusammen mit Kontur und Orientierung im Modul programme/kap14/momente.py; das Buch prüft bei jedem Bau, dass die Zahlen dort Zeile für Zeile die des Fahrplans sind. Das Rechenwerk ist eingeklappt — wer wissen will, woher ein Name oder eine Zahl stammt, klappt es auf.

Das Rechenwerk dieses Kapitels — zum Nachlesen aufklappen

# --- Nur Zeichenhilfen (numpy/matplotlib) und die EINE Datenquelle momente.py.
# Diese Zelle rechnet keine Lehr-Mathematik; sie stellt Kontur, Orientierung und
# die Zahlen des Kräftefahrplans bereit. Der sichtbare Lehrcode weiter unten
# rechnet das gewichtete Mittel mit ausgeschriebener Schleife.
import math
import sys
import pathlib

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import FancyArrow

sys.path.insert(0, str(pathlib.Path("programme/kap14").resolve()))
import momente as M

import json
_kontur = json.loads(
    pathlib.Path("../geometrie/kalkaneus_kontur.json").read_text())
KONTUR = np.array(_kontur["punkte"]) * 1000.0        # m -> mm

def komma(x, stellen=2):
    """Deutsche Kommadarstellung mit Endnullen-Trimmung; Minuszeichen −."""
    s = f"{x:.{stellen}f}"
    if "." in s:
        s = s.rstrip("0").rstrip(".")
    return s.replace("-", "−").replace(".", ",")

def kg2(x):
    """Zwei feste Nachkommastellen — für Zahlen, die im Fließtext nebeneinander
    stehen und dort gleich lang aussehen sollen."""
    return f"{x:.2f}".replace(".", ",")

# Zweistufige Anker-Konvention (ANLEITUNG): Beschriftungs-/Pfeilanker NAHE dem
# Rand; die Basispunkte liegen AUF der Kontur (projizierte Konturpunkte).
ANKER = {
    "Boden":    {"anker": (8.0, 1.0),  "kontur": (8.594, 2.237),  "richtung": M.RICHTUNG_BODEN},
    "Achilles": {"anker": (2.5, 23.0), "kontur": (1.343, 23.278), "richtung": M.RICHTUNG_ACHILLES},
    "Faszie":   {"anker": (24.0, 3.4), "kontur": (24.065, 3.353), "richtung": M.RICHTUNG_FASZIE},
}
FARBE = {"Boden": "#1f6fb4", "Achilles": "#c0392b", "Faszie": "#2a7d2a"}

def orientierung(ax, y_oben=44, mit_massstab=True):
    ax.text(-14, y_oben, "hinten (Ferse)", fontsize=7, color="#666")
    ax.text(44, y_oben, "vorn (Zehen)", fontsize=7, color="#666")
    ax.annotate("oben", xy=(-11, y_oben - 4), xytext=(-11, y_oben - 18),
                fontsize=7, color="#444", ha="center",
                arrowprops=dict(arrowstyle="->", color="#444", lw=1.2))
    if mit_massstab:
        ax.plot([54, 64], [-2.5, -2.5], color="#333", lw=2.2, solid_capstyle="butt")
        ax.text(59, -7, "10 mm", ha="center", fontsize=7, color="#333")

def zeichne_moment(ax, i):
    """Ein Fersenschnitt mit den drei Kraftpfeilen des Moments i; die dominante
    Kraft (berechnet) hervorgehoben, die beiden anderen blasser."""
    ax.fill(KONTUR[:, 0], KONTUR[:, 1], color="#f0e2d0", ec="#8a6a4a", lw=1.2, zorder=0)
    name, f_boden, f_achilles, f_faszie = M.MOMENTE[i]
    werte = {"Boden": f_boden, "Achilles": f_achilles, "Faszie": f_faszie}
    dom_name, _ = M.dominante_kraft(i)
    sk = 6.0                                   # mm je KG (Pfeillängenmaßstab)
    for kraft, betrag in werte.items():
        bx, by = ANKER[kraft]["kontur"]        # Basis AUF der Kontur
        rx, ry = ANKER[kraft]["richtung"]
        stark = (kraft == dom_name)
        ax.add_patch(FancyArrow(
            bx, by, rx * betrag * sk, ry * betrag * sk,
            width=0.7 if stark else 0.35, head_width=2.8 if stark else 1.8,
            length_includes_head=True, color=FARBE[kraft],
            alpha=1.0 if stark else 0.45, zorder=4 if stark else 3))
    ax.set_title(name + " · dominant: " + dom_name, fontsize=12,
                 weight="bold", pad=4)
    orientierung(ax, y_oben=42)
    ax.set_xlim(-16, 72); ax.set_ylim(-10, 45)
    ax.set_aspect("equal"); ax.axis("off")

14.1 Der Aufhänger: zieht die Sehne beim Aufsetzen oder beim Abstoß?

Halte eine Zeitlupe des Schrittes an fünf Stellen an. Beim Fersenauftritt schlägt die Ferse auf. Beim Abstoß drückt der Vorfuß ab, und die Ferse hebt sich fast lastfrei aus dem Boden. Dazwischen liegen Belastungsaufbau, mittlere Standphase und Fersenablösung. Die naheliegende Frage: In welchem der fünf Momente zieht die Achillessehne am stärksten? Und die schwierigere: Welcher Moment belastet die Ferse über die Woche am meisten — der mit der größten Einzelkraft oder der mit dem größten Phasenanteil? Das ist die Wiederkehr von Steigung gegen Fläche aus Kapitel 7, jetzt als Spitze gegen Gewicht.

Ein Standbild ist kein Schritt

Eine verbreitete Vermutung lautet: „Man rechnet die größte Kraft, das ist der schlimmste Fall, fertig.” Das führt aus zwei Gründen in die Irre. Erstens ist der Moment, den man am meisten fürchtet — der Fersenauftritt, im Fahrplan mit 1,45 · KG vertreten — gar nicht der mit der größten Bodenreaktion; die mittlere Standphase trägt mit 2,5 · KG deutlich mehr. Die kurze, harte Spitze des Aufpralls selbst löst dieses Modell gar nicht auf: Die 1,45 · KG sind der Stützwert einer geglätteten Kurve für die frühe Phase, kein aufgelöster Spitzenwert. Zweitens zählt für eine faire Bilanz über den ganzen Schritt nicht ein einzelner Augenblick, sondern das gewichtete Mittel der Kräfte — jede Kraft gewichtet mit dem Phasenanteil, den ihr Moment im Schritt einnimmt. Rechnet man den Beitrag jedes Moments als Kraft mal Gewicht, trägt der gefürchtete Aufprall nur 1,45 · 0,15 = 0,22 bei, die mittlere Standphase mit ihrem größeren Phasenanteil dagegen 2,5 · 0,30 = 0,75 — mehr als das Dreifache. Ein kurzer, harter Moment kann so weniger zum gewichteten Kraftmittel beitragen als ein längerer mittlerer. Deshalb fünf gewichtete Momente statt eines Maximums — und deshalb wird „Belastungsspitzen minimieren” erst mit diesem Modell eine Rechengröße statt einer Behauptung. (Ob und wie daraus Umbau wird, ist Sache von Teil VI; hier zählen und mitteln wir nur Kräfte.)

14.2 Die fünf Momente: wer dominiert wann

Jeder der fünf Momente ist ein eigener Lastfall: die drei Kräfte behalten ihre feste Richtung, doch jede tritt mit eigener Größe auf. Abbildung 14.1 zeigt sie am Fersenschnitt, untereinander, jeweils mit den drei Kraftpfeilen aus dem Kräftefahrplan; die dominante Kraft — die betragsgrößte der drei, aus den Tabellenzahlen berechnet — ist kräftig gezeichnet, die beiden anderen blass.

Die drei Richtungen bleiben dabei in allen fünf Momenten dieselben; nur die Mischung der Beträge wechselt. Es sind dieselben Richtungen, mit denen Kapitel 11 und Kapitel 12 am Netz rechnen: die Bodenreaktion senkrecht nach oben, der Faszienzug rund 10° unter der Waagerechten nach vorn, der Achillessehnenzug nach hinten oben, rund 107° gegen die Vorwärtsrichtung. Für die Achillessehne ist das eine Annahme von Teil IV und V und keine belegte Zahl — der Zahlenanhang nennt für sie keine Richtung, und Kapitel 2 zeichnet sie schematisch etwas steiler (118°). An den Beträgen des Fahrplans ändert das nichts, am Lastwinkel am Ende dieses Kapitels schon.

Code

# Fünf gestapelte Panels: Breite 7,4 Zoll wie die Netzreihe in Kapitel 18, die Höhe
# so gewählt, dass das Datenfenster (88 x 55 mm) jedes Panel ausfüllt — sonst steht
# zwischen den Bildern leerer Rand. Kürzer wird die Reihe nur, wenn die Knochen
# schmaler werden: Die Anzeigebreite setzt seit dem CSS-Beschluss die Textspalte.
fig, achsen = plt.subplots(5, 1, figsize=(7.4, 24.6))
for i, ax in enumerate(achsen):
    zeichne_moment(ax, i)
plt.tight_layout()
plt.show()

for i, (name, fb, fa, ff) in enumerate(M.MOMENTE):
    dom_name, dom_wert = M.dominante_kraft(i)
    print("%-20s Boden %s · Achilles %s · Faszie %s  · KG  -> dominant: %s"
          % (name, komma(fb), komma(fa), komma(ff), dom_name))

Abbildung 14.1: Die fünf Momente des Schrittes am Kalkaneus-Sagittalschnitt, untereinander (Schemazeichnung auf der echten Kontur). Je Bild die drei Kräfte als Pfeile an ihren realen Einleitungsorten — Bodenreaktion (blau) von unten, Achillessehnenzug (rot) hinten oben, Faszienzug (grün) vorn unten; die Basispunkte liegen auf der Kontur (projizierte Konturpunkte der Anker-Konvention). Die Pfeillänge ist proportional zur Kraft (6 mm je KG); die dominante Kraft je Moment (berechnet als die betragsgrößte der drei) ist kräftig, die anderen blass. Sagittalschnitt, x nach vorn, y nach oben; Maßstab 10 mm.

Fersenauftritt       Boden 1,45 · Achilles 0,3 · Faszie 0,1  · KG  -> dominant: Boden
Belastungsaufbau     Boden 2 · Achilles 1,5 · Faszie 0,3  · KG  -> dominant: Boden
mittlere Standphase  Boden 2,5 · Achilles 2 · Faszie 0,6  · KG  -> dominant: Boden
Fersenablösung       Boden 1,2 · Achilles 3,5 · Faszie 1,2  · KG  -> dominant: Achilles
Abstoß               Boden 0,3 · Achilles 2,8 · Faszie 2  · KG  -> dominant: Achilles

Deutung. Die Rechnung ordnet die Dominanz eindeutig zu: In den ersten drei Momenten — Fersenauftritt, Belastungsaufbau, mittlere Standphase — ist die Bodenreaktion die größte Kraft; in den letzten beiden — Fersenablösung und Abstoß — der Achillessehnenzug. Dabei lohnt eine feine Unterscheidung. Dominant heißt „gerade am größten”. Davon zu trennen ist, wann eine Kraft ihr eigenes Maximum erreicht: Die Bodenreaktion gipfelt in der mittleren Standphase (2,5 · KG), die Achillessehne bei der Fersenablösung (3,5 · KG), die Plantarfaszie beim Abstoß (2,0 · KG). Beim Abstoß erreicht die Faszie also ihr Maximum — und ist dennoch nicht dominant, weil der Achillessehnenzug mit 2,8 · KG dort noch größer ist. Wer nur „welche Kraft ist am größten” fragt, verpasst, dass jede der drei ihren eigenen Auftritt hat.

14.3 Jedes Standbild ein Lastfall: der Kräftefahrplan

Legt man die drei Kräfte über die Standphase auf, entsteht ein Fahrplan (Abbildung 14.2). Wichtig ist, was er nicht ist: keine gemessene Zeitkurve. Aus dem Zahlenanhang stammen allein die Maxima — Boden aktiv 2,5 · KG, Achilles 3,5 · KG, Faszie 2,0 · KG. Die fünf Stützwerte je Kraft sind die Modellannahme des Kräftefahrplans (Tabelle 2.2), und die Linien dazwischen sind bloße Interpolation, kein Messwert. Auch der erste Stützwert ist keine aufgelöste Aufprallspitze: Die harte, sehr kurze Transiente des Fersenauftritts löst dieses Fünf-Bilder-Modell bewusst nicht auf (die Lehre aus Kapitel 7).

Code

phasen = np.linspace(0.0, 1.0, 5)
boden = [m[1] for m in M.MOMENTE]
achilles = [m[2] for m in M.MOMENTE]
faszie = [m[3] for m in M.MOMENTE]
fig, ax = plt.subplots(figsize=(7.2, 4.4))
for reihe, farbe, name in ((boden, FARBE["Boden"], "Boden"),
                           (achilles, FARBE["Achilles"], "Achilles"),
                           (faszie, FARBE["Faszie"], "Faszie")):
    ax.plot(phasen, reihe, "--", color=farbe, lw=1.3, alpha=0.7)
    ax.plot(phasen, reihe, "o", color=farbe, ms=7, label=name)
for x in phasen:
    ax.axvline(x, color="#ccc", lw=0.8, zorder=0)
namen = [m[0] for m in M.MOMENTE]
ax.set_xticks(phasen)
ax.set_xticklabels(namen, rotation=20, ha="right", fontsize=8)
for k, nm, col in ((0, "Boden", FARBE["Boden"]), (1, "Achilles", FARBE["Achilles"]),
                   (2, "Faszie", FARBE["Faszie"])):
    gi = M.gipfelmoment(k)
    ax.annotate("Max " + nm, (phasen[gi], M.MOMENTE[gi][k + 1]),
                textcoords="offset points", xytext=(0, 8), fontsize=8, color=col,
                ha="center")
ax.set_ylabel("Kraft (Vielfache von KG)")
ax.set_ylim(0, 4.0)
ax.legend(loc="upper left", fontsize=8)
ax.grid(alpha=0.2)
plt.tight_layout()
plt.show()

Abbildung 14.2: Kräftefahrplan: die drei Kräfte über die fünf Momente der Standphase, in Vielfachen des Körpergewichts (Kräftefahrplan, Tabelle 2.2). Punkte sind die fünf Stützwerte, die Linien dazwischen sind Interpolation (Modellannahme, gestrichelt) — KEINE gemessene Zeitkurve; nur die Maxima stammen aus dem Zahlenanhang. Senkrechte Marken an den fünf Momenten; die drei eigenen Maxima (Boden mittlere Standphase, Achilles Fersenablösung, Faszie Abstoß) sind beschriftet. Der Fersenauftritt links ist keine aufgelöste Aufprallspitze.

Deutung. Der Fahrplan macht die zeitliche Trennung sichtbar, die schon im Zahlenanhang steht: Das Boden-Maximum liegt früh bis mittig, die Sehnen- und Faszienmaxima liegen spät. Weil die drei Kräfte nicht gleichzeitig ihr Maximum erreichen, ist ein einzelner Spitzenlastfall unmöglich — man müsste drei verschiedene Augenblicke in einen pressen. Genau deshalb fünf getrennte Momentaufnahmen.

14.4 Die Gewichte: der Phasenanteil jedes Moments

Jeder Lastfall trägt ein Gewicht — die Annahme, wie viel Verweildauer dieser Moment im Schritt hat, also seinen Phasenanteil. Es sind die Zeitanteile des Kräftefahrplans: 0,15 / 0,20 / 0,30 / 0,20 / 0,15. Ihre Summe ist bereits eins, doch das Modell verlässt sich nicht darauf: Es führt eine Normierung durch — jedes Gewicht durch die Summe geteilt —, sodass die Gewichte Anteile werden und das gewichtete Mittel vom Gesamtmaßstab unabhängig ist. Abbildung 14.3 zeigt die fünf Anteile und daneben, wie Fersen- gegen Vorfußlauf sie verschiebt.

Code

namen = [m[0] for m in M.MOMENTE]
kurz = ["Fersen-\nauftritt", "Belastungs-\naufbau", "mittlere\nStandphase",
        "Fersen-\nablösung", "Abstoß"]
w_neu = M.normiere(M.GEWICHTE)
w_ferse = M.laufstil_gewichte(0.0)
w_vorfuss = M.laufstil_gewichte(1.0)
fig, (a1, a2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(7.2, 6.6))
x = np.arange(5)
a1.bar(x, w_neu, color="#7a6a9a")
for i, w in enumerate(w_neu):
    a1.text(i, w + 0.008, komma(w, 2), ha="center", fontsize=9)
a1.set_xticks(x); a1.set_xticklabels(kurz, fontsize=8)
a1.set_ylabel("Gewicht (Anteil)")
a1.set_title("neutraler Kräftefahrplan — Summe " + komma(sum(w_neu), 0), fontsize=9)
a1.set_ylim(0, 0.4)
a2.bar(x - 0.2, w_ferse, width=0.4, color="#1f6fb4", label="reiner Fersenlauf")
a2.bar(x + 0.2, w_vorfuss, width=0.4, color="#c0392b", label="reiner Vorfußlauf")
a2.set_xticks(x); a2.set_xticklabels(kurz, fontsize=8)
a2.set_ylabel("Gewicht (Anteil)")
a2.set_title("Laufstil verschiebt die Gewichte (jede Reihe Summe "
             + komma(sum(w_ferse), 0) + ")", fontsize=9)
a2.legend(fontsize=8)
plt.tight_layout()
plt.show()

print("Normierung: Rohsumme", komma(sum(M.GEWICHTE), 2),
      "-> normierte Summe", komma(sum(w_neu), 2))
print("Fersenlauf-Summe", komma(sum(w_ferse), 6),
      "· Vorfußlauf-Summe", komma(sum(w_vorfuss), 6))

Abbildung 14.3: Oben die fünf Lastfallgewichte des neutralen Kräftefahrplans (Verweildauer-Annahme, Summe eins); die Zahl über jedem Balken ist der normierte Anteil. Unten dieselben fünf Momente unter reinem Fersenlauf und reinem Vorfußlauf: Fersenlauf verlagert Gewicht auf die frühen Momente, Vorfußlauf auf die späten (Fersenablösung, Abstoß). In allen drei Fällen bleibt die Summe genau eins — der Laufstil verschiebt Gewicht, er erzeugt oder vernichtet keines.

Normierung: Rohsumme 1 -> normierte Summe 1
Fersenlauf-Summe 1 · Vorfußlauf-Summe 1

Deutung. Die Normierung ist mehr als Kosmetik: Sie macht das Gewicht zu einem Anteil und trennt die Frage „wie ist die Belastung verteilt” (Laufstil, Form der Balken) sauber von der Frage „wie viel Belastung insgesamt” (Trainingsumfang, weiter unten). Der Laufstil formt die Balken um, ohne ihre Summe anzutasten — jede der drei Reihen summiert sich exakt zu eins.

14.5 Mitteln über die Lastfälle

Jetzt der Kern des Kapitels, und er ist reine Arithmetik — kein Netz, kein Löser. Wir bilden über die fünf Lastfälle das gewichtete Kraftmittel jeder Kraft: jede Kraft mit ihrem Gewicht multipliziert, alles addiert, durch die Gewichtssumme geteilt. Das ist Buchhaltung über Kräfte — noch keine biologische Wirkung und keine Umbau-Aussage; dazu bräuchte es die Formänderungsenergie und die Totzone aus Teil VI. Hier zählen und mitteln wir nur Kräfte. Der folgende Lehrcode liest den Kräftefahrplan und rechnet dieses Mittel mit einer ausgeschriebenen Schleife — so, wie man es von Hand täte. Abbildung 14.4 stellt jedes der drei gewichteten Mittel neben das jeweilige Maximum über den Schritt; so wird sichtbar, wie sich der Abstand zwischen Spitzenwert und Mittel je Kraft verschiebt.

Der Lehrcode dieses Abschnitts — das gewichtete Mittel Schritt für Schritt, zum Aufklappen

# Die fünf Zeilen des Kräftefahrplans kommen aus momente.py; hier wird für
# jede Kraft das gewichtete Mittel Schritt für Schritt gerechnet und neben ihr
# Maximum über den Schritt gestellt.
from momente import MOMENTE, GEWICHTE, KG
from rangbild import zeichne_rangvergleich

def gewichtetes_mittel(werte, gewichte):
    summe_gewicht = 0.0
    for g in gewichte:
        summe_gewicht = summe_gewicht + g
    summe = 0.0
    for i in range(len(werte)):
        summe = summe + gewichte[i] * werte[i]
    return summe / summe_gewicht

kraefte = ["Boden", "Achilles", "Faszie"]
mittel, maxima = [], []
for k in range(3):
    spalte = []
    for eintrag in MOMENTE:
        spalte.append(eintrag[k + 1])
    mittel.append(gewichtetes_mittel(spalte, GEWICHTE))
    maxima.append(max(spalte))
    print("%-9s Maximum %s · KG   gewichtetes Mittel %s · KG = %s N"
          % (kraefte[k], komma(maxima[k], 2), komma(mittel[k], 4),
             komma(mittel[k] * KG, 1)))

zeichne_rangvergleich(kraefte, mittel, maxima, komma)

Boden     Maximum 2,5 · KG   gewichtetes Mittel 1,6525 · KG = 1216,2 N
Achilles  Maximum 3,5 · KG   gewichtetes Mittel 2,065 · KG = 1519,8 N
Faszie    Maximum 2 · KG   gewichtetes Mittel 0,795 · KG = 585,1 N

Abbildung 14.4: Je Kraft (Bodenreaktion, Achillessehnenzug, Faszienzug) das Maximum über den Schritt (rot) neben dem gewichteten Mittel über die fünf Lastfälle (violett), beide in Vielfachen des Körpergewichts KG, Werte an den Balken. Im Maximum führt die Achillessehne klar (3,5 gegen 2,5 · KG der Bodenreaktion); im gewichteten Mittel rückt die Bodenreaktion deutlich näher heran (1,65 gegen 2,07 · KG), weil sie ihr hohes Niveau über Belastungsaufbau und mittlere Standphase hält, während die hohen Sehnenkräfte auf die letzten beiden Momente fallen. Die Rangfolge bleibt dieselbe (Achilles > Boden > Faszie); von den dreien behält der Faszienzug im Mittel den kleinsten Anteil seines Maximums. Alle Zahlen aus dem Kräftefahrplan.

Deutung. Über den ganzen Schritt gemittelt trägt der Achillessehnenzug mit 2,07 · KG (rund 1520 N) das größte gewichtete Mittel, gefolgt von der Bodenreaktionskraft mit 1,65 · KG (rund 1216 N) und dem Faszienzug mit 0,80 · KG (rund 585 N). Die Rangfolge ist dieselbe wie bei den Maxima (dort führt der Achillessehnenzug mit 3,5 · KG noch klarer), doch im Mittel rücken Bodenreaktionskraft und Achillessehnenzug enger zusammen: Das gewichtete Mittel der Bodenreaktionskraft wird von ihrem hohen Niveau in Belastungsaufbau und mittlerer Standphase getragen, während die hohen Sehnenkräfte erst in den letzten beiden Momenten auftreten. Abbildung 14.5 macht denselben Punkt an einem einzelnen Beitrag sichtbar.

Code

def beitrag(i, k):
    return M.MOMENTE[i][k + 1] * M.GEWICHTE[i]

fig, (a1, a2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(8.6, 4.0))
# Boden: Fersenauftritt (0) vs mittlere Standphase (2)
a1.bar(["Fersenauftritt\n(Spitze, kurzer Anteil)", "mittlere Standphase\n(mittel, längerer Anteil)"],
       [beitrag(0, 0), beitrag(2, 0)], color=["#8bb5d8", "#1f6fb4"])
a1.set_title("Bodenreaktionskraft: Beitrag Kraft·Gewicht", fontsize=9)
a1.set_ylabel("Beitrag (KG)")
a1.tick_params(axis="x", labelsize=8)
for i, v in enumerate([beitrag(0, 0), beitrag(2, 0)]):
    a1.text(i, v + 0.01, komma(v, 2), ha="center", fontsize=9)
# Achilles: Fersenablösung (3) vs mittlere Standphase (2)
a2.bar(["Fersenablösung\n(Spitze, kurzer Anteil)", "mittlere Standphase\n(mittel, längerer Anteil)"],
       [beitrag(3, 1), beitrag(2, 1)], color=["#e29a92", "#c0392b"])
a2.set_title("Achillessehnenzug: Beitrag Kraft·Gewicht", fontsize=9)
a2.set_ylabel("Beitrag (KG)")
a2.tick_params(axis="x", labelsize=8)
for i, v in enumerate([beitrag(3, 1), beitrag(2, 1)]):
    a2.text(i, v + 0.01, komma(v, 2), ha="center", fontsize=9)
plt.tight_layout()
plt.show()

Abbildung 14.5: Spitze gegen Gewicht: der Beitrag Kraft·Gewicht einzelner Momente zum gewichteten Kraftmittel. Links die Bodenreaktionskraft — der gefürchtete Aufprall beim Fersenauftritt mit kurzem Phasenanteil (1,45 · KG · 0,15 = 0,22) trägt weniger bei als die mittlere Standphase mit größerem Phasenanteil (2,5 · KG · 0,30 = 0,75). Rechts der Achillessehnenzug — seine Spitze bei der Fersenablösung (3,5 · KG · 0,20 = 0,70) übertrifft die mittlere Standphase (2,0 · KG · 0,30 = 0,60) nur knapp, obwohl die Kraft 75 % größer ist: der kleinere Phasenanteil frisst den Vorsprung fast auf. Alle Zahlen aus dem Kräftefahrplan.

Deutung. Das ist die Auflösung des Aufhängers. Bei der Bodenreaktionskraft trägt der Aufprall mit kurzem Phasenanteil (0,22) weit weniger bei als die mittlere Standphase mit größerem Anteil (0,75). Beim Achillessehnenzug ist es knapper: Seine echte Spitze bei der Fersenablösung (0,70) übertrifft die mittlere Standphase (0,60) nur um ein Sechstel, obwohl die Kraft dort 75 % größer ist — der kleinere Phasenanteil zehrt den Vorsprung fast auf. Verschiebt man das Gewicht (nächster Abschnitt), kann der längere mittlere Anteil die kürzere Spitze überholen.

Warum man überhaupt mischen darf. Fünf Momente heißen fünf Lastfälle, und Kapitel 15 wird jeden einzeln durch das Netz schicken und die fünf Antworten anschließend gewichtet zusammenlegen. Das ist das Superpositionsprinzip aus Kapitel 5: Weil das Modell linear ist, ist die Antwort auf zwei Lasten die Summe der beiden Einzelantworten. Deshalb darf man fünfmal rechnen und die Ergebnisse mitteln, statt fünf getrennte Modelle zu bauen. Die Grenze steht dort ebenfalls und gilt weiter: Bei nichtlinearem Material, bei Kontakt oder bei großer Verformung stimmt die Summe nicht mehr.

Und womit man mischt. Ein Vorbehalt gehört dazu, bevor Teil VI kommt: Wie sehr eine Spitze zählt, hängt vom Maß ab, mit dem man mittelt. Hier mitteln wir Kräfte, und da geht jeder Moment mit Gewicht mal Kraft ein — ein Maß, das mit der Last linear wächst. Das Signal, auf das der Knochen in Teil VI antwortet, ist eine Energie je Masse, und Energie wächst mit dem Quadrat der Last. Dann zählt die Fersenablösung beim Achillessehnenzug nicht 3,5 · 0,20 = 0,70, sondern 3,5² · 0,20 = 2,45, und die mittlere Standphase nicht 2,0 · 0,30 = 0,60, sondern 2,0² · 0,30 = 1,20 — aus einem Vorsprung von einem Sechstel wird gut das Doppelte. Die Rangfolge der Momente hängt also daran, was man zählt. (Diese vier Zahlen sind ein Fingerzeig, kein gerechnetes Ergebnis: Sie behandeln jeden Moment für sich, wo Teil VI ganze Felder mittelt.) Das ist kein Widerspruch, sondern genau der Wechsel des Maßes, den Kapitel 7 angekündigt hat: Kapitel 15 und Kapitel 16 wechseln auf die Formänderungsenergiedichte je Knochenmasse, statt das Kraftmittel dieses Kapitels zu übernehmen.

14.6 Der Laufstil-Regler: Gewicht verschieben

Der erste Regler nimmt genau diese Umverteilung in die Hand. Fersenlauf betont die frühen Momente, Vorfußlauf die späten — die Kräfte des Kräftefahrplans bleiben unangetastet, nur die Gewichte wandern, und ihre Summe bleibt eins.

Wie genau der Regler umverteilt, ist offengelegt und frei gewählt: Ein Profil \((-1; -0{,}5; 0; +0{,}5; +1)\) über die fünf Momente sagt, welcher Moment beim Übergang zum Vorfußlauf Gewicht abgibt (Fersenauftritt am meisten) und welcher es aufnimmt (Abstoß am meisten); eine Stärke von 1,4 legt fest, wie weit die Extreme gehen. Beides sind didaktische Reglerparameter (frei gesetzte Modellannahme, kein Messbefund). Die neutrale Mittelstellung ist exakt der Kräftefahrplan; die Endstellungen sind Illustration, keine gemessene Laufstilwirkung — die Zahlen zeigen, was die Umverteilungsregel ergibt, nicht was eine bestimmte Läuferin erzeugt.

Vorhersage-Punkt

Bevor du den Regler bewegst: Du verschiebst auf Vorfußlauf. Welche der drei gewichteten Kraftmittel werden schwerer — und steigt oder sinkt die mittlere Fersenbelastung von unten (das Boden-Mittel)? Lege dich fest, dann schiebe.

Deutung. Das ist die Antwort auf die Vorhersagefrage. Zum Vorfußlauf hin steigt das gewichtete Mittel des Achillessehnenzugs von 2,07 auf 2,43 · KG und das des Faszienzugs von 0,80 auf 1,07 · KG, während das der Bodenreaktionskraft von 1,65 auf 1,43 · KG sinkt. Vorfußlauf tauscht also im Mittel Bodenreaktion gegen mehr Sehnen- und Faszienzug ein. Diese Beträge sind die Folge der frei gewählten Umverteilungsregel, nicht eine gemessene Wirkung eines echten Laufstils; das Vorzeichen der Verschiebung (mehr Zug, weniger Bodenreaktion) folgt aber schon daraus, dass Vorfußlauf Gewicht auf die späten, sehnenlastigen Momente legt. Welche Belastung „besser” ist, hängt davon ab, wo das Gewebe das Wachstum braucht — die Frage von Teil VI.

14.7 Was die Kadenz ändert — und was nicht

Der Laufstil verschiebt Gewicht. Bleiben zwei Größen, die im Gespräch über Laufverletzungen ständig fallen: die Schrittfrequenz — die Kadenz, die Zahl der Schritte je Minute — und der Trainingsumfang, die Kilometer je Woche. Was macht das Modell aus ihnen?

Es braucht dafür zwei Größen mehr. Das gewichtete Kraftmittel je Schritt ist das oben gebildete Mittel der drei Kraftbeträge, skaliert mit dem Modellgesetz Kraft je Schritt ∝ 1/Kadenz (mehr Schritte bei gleicher Geschwindigkeit heißt kürzere, leichtere Schritte). Der kumulative Kraftindex der Woche ist dieses Kraftmittel mal der Zahl der Lastzyklen, die auf eine Ferse treffen: Lastzyklen je Kalkaneus \(= \tfrac{1}{2} \cdot \text{Kadenz} \cdot \text{Laufzeit}\) — der Faktor ½, weil die Kadenz die Schritte beider Füße zählt und jeder zweite dieselbe Ferse trifft. Beides sind Buchhaltungsgrößen über Kräfte, kein biologisches Umbaumaß.

Setzt man beide zusammen, passiert etwas, das man nicht ausprobieren muss — man sieht es der Zeile an:

\[ \text{Index} = \underbrace{\tfrac{1}{2} \cdot \text{Kadenz} \cdot T}_{\text{Lastzyklen}} \cdot \underbrace{\bar{F} \cdot \frac{160}{\text{Kadenz}}}_{\text{Kraft je Schritt}} = \tfrac{1}{2} \cdot T \cdot \bar{F} \cdot 160 . \]

Die Zahl 160 darin ist die Bezugskadenz des Modellgesetzes — die Kadenz, bei der der Kraftfaktor genau eins ist; jede andere Kadenz misst sich an ihr. Und dann passiert das Entscheidende: Die Kadenz kürzt sich heraus. Bei fester Geschwindigkeit steht die Laufzeit \(T\) für eine gegebene Strecke ohnehin fest, und damit hängt der Index nur noch an der Strecke — nicht daran, in wie viele Schritte man sie zerlegt. Das gilt hier nicht näherungsweise, sondern exakt, und es gilt für jede Kadenz.

Das ist der Grund, warum dieses Kapitel für die Kadenz keinen Regler hat. Ein Regler soll eine Frage beantworten, deren Antwort man nicht schon kennt; hier steht sie in der Formel. Wer trotzdem Zahlen sehen will, findet sie in der Tabelle — und sieht, wie die linke Spalte fällt, die mittlere steigt und die rechte steht.

Drei Kadenzen bei fester Wochenstrecke (40 km) und fester Modellgeschwindigkeit. Die Kraft je Schritt sinkt, die Zahl der Lastzyklen steigt im selben Verhältnis — der Index bleibt auf die angezeigte Genauigkeit unverändert.
Kadenz	Kraftmittel je Schritt	Lastzyklen je Kalkaneus	kumulativer Kraftindex
140/min	2961 N	16800	49,7·10⁶ N
160/min	2591 N	19200	49,7·10⁶ N
200/min	2073 N	24000	49,7·10⁶ N

Beim Trainingsumfang ist es umgekehrt einfach: Er lässt Kräfte und Gewichte in Ruhe und skaliert allein die Laufzeit, also die Zahl der Lastzyklen. Der Index wächst deshalb streng linear mit der Strecke — doppelte Kilometer, doppelter Index, ohne jede Sättigung. Auch das ist keine Entdeckung, sondern eine bewusste Grenze: Das Modell kennt weder Ermüdung noch Anpassung. Ein echter Knochen hat beides — eine Totzone und eine Sättigung —, und beides kommt in Teil VI.

Zwei Invarianzen, die nichts über Knochen sagen

Beide Ergebnisse dieses Abschnitts sind algebraische Folgen der gewählten Modellgesetze, keine physiologischen Befunde. Dass der Index kadenzunabhängig ist, folgt daraus, dass die Kraft je Schritt exakt mit \(1/\text{Kadenz}\) angesetzt wurde; wäre sie schwächer angesetzt, stiege der Index mit der Kadenz. Dass er linear mit der Strecke wächst, folgt daraus, dass nichts im Modell sättigt.

Reale Gewebe- und Schadensmaße können sich mit der Kadenz sehr wohl ändern. Wer aus diesen zwei Zeilen eine Trainingsempfehlung ableiten wollte, würde eine Eigenschaft der Formel für eine Eigenschaft des Körpers halten — genau der Fehler, vor dem Kapitel 13 warnt.

14.8 Der Schritt und seine Kräfte

Zum Abschluss ein Blick auf die Richtung, in die die drei Kräfte zusammen ziehen. Die Animation „Der Schritt und seine Kräfte“ zeigt zwei Ebenen. Oben läuft eine frei gesetzte, schematische Phasenillustration — derselbe Fuß wie in Kapitel 1, starr gekippt um den Punkt, an dem er gerade aufliegt. Dieser Punkt wandert, und darin steckt der ganze Ablauf: Beim Fersenauftritt liegt er unter der Ferse und die Zehen sind noch in der Luft, in der mittleren Standphase liegt die Sohle flach, und ab der Fersenablösung liegt er unter dem Ballen, während sich die Ferse abhebt. Sie ist keine gemessene Kinematik und nicht mit der unteren Ebene gekoppelt. Unten steht der Kalkaneus-Ausschnitt mit den drei aufgebrachten Kräften an ihren Ankern. Der Lastwinkel ist die Richtung der Resultierenden dieser drei Kräfte gegen die Senkrechte (die Gegenrichtung trägt die resultierende Lagerkraft). Die drei Kraftrichtungen sind im Modell konstant — was sich von Moment zu Moment ändert, ist allein ihre Mischung und damit die Richtung ihrer Summe.

Vorhersage-Punkt

Bevor du die Animation startest: Der Lastwinkel ist die Neigung der resultierenden Kraft gegen die Senkrechte. In welchem der fünf Momente ist er am größten — und kippt die Resultierende nach vorn oder nach hinten? Lege dich fest, dann spiele ab.

Deutung. Das ist die Antwort auf die Vorhersagefrage. Durch die frühe und mittlere Standphase steht die Resultierende nahezu senkrecht (höchstens 2,6° gegen die Senkrechte): Der Achillessehnenzug zieht nach hinten, der Faszienzug nach vorn, und ihre Horizontalanteile heben sich näherungsweise auf, sodass fast nur die senkrechte Bodenreaktion übrig bleibt. Beim Abstoß überwiegt der Faszienzug nach vorn, und die Resultierende kippt mit 23,3° zu den Zehen. Der Lastwinkel ist also allein die Richtung der drei aufgebrachten Kräfte zusammen — keine gemessene Fußstellung, sondern das, was die konstanten Kraftrichtungen in ihrer wechselnden Mischung ergeben. Für eine echte Welt-zu-Knochen-Übersetzung bräuchte das Modell eine phasenweise Kinematik, die es bewusst nicht hat.

Übungen

Ü 14.1 (Verstehen). Ordne jedem der fünf Momente seine dominante Kraft zu und begründe die Zuordnung. Sage außerdem, in welchem Moment die Plantarfaszie ihr eigenes Maximum erreicht — und warum sie dort trotzdem nicht dominiert.

Musterlösung zu Ü 14.1

Dominant (die betragsgrößte der drei Kräfte) ist die Bodenreaktion in den ersten drei Momenten (Fersenauftritt 1,45 · KG, Belastungsaufbau 2,0 · KG, mittlere Standphase 2,5 · KG) und der Achillessehnenzug in den letzten beiden (Fersenablösung 3,5 · KG, Abstoß 2,8 · KG). Die Plantarfaszie erreicht ihr eigenes Maximum beim Abstoß (2,0 · KG), dominiert dort aber nicht, weil der Achillessehnenzug mit 2,8 · KG größer ist. „Dominant” (jetzt am größten) und „im eigenen Maximum” (wann diese Kraft am größten ist) sind zwei verschiedene Fragen.

Ü 14.2 (Verändern). Öffne den Laufstil-Regler und stelle reinen Vorfußlauf ein. Protokolliere die drei gewichteten Kraftmittel und vergleiche sie mit der neutralen Stellung. Sage vorher, welches Mittel steigt und welches sinkt.

Musterlösung zu Ü 14.2

Neutral: Boden 1,65 · KG, Achilles 2,07 · KG, Faszie 0,80 · KG. Reiner Vorfußlauf: Boden 1,43 · KG (gesunken), Achilles 2,43 · KG (gestiegen), Faszie 1,07 · KG (gestiegen). Der Vorfußlauf verlagert Gewicht auf die späten Momente (Fersenablösung, Abstoß), in denen Sehnen- und Faszienzug groß sind; deshalb steigen die gewichteten Mittel von Achillessehnen- und Faszienzug, während das der Bodenreaktionskraft sinkt. Die Gewichtssumme bleibt in jeder Stellung genau eins. Die Beträge folgen dem frei gewählten Umverteilungsprofil, sind also Modellillustration, keine gemessene Laufstilwirkung.

Ü 14.3 (Übertragen). Schlage einen sechsten Moment vor — etwa die Landung nach einem Sprung — und begründe, welche Kraft ihn prägt und ob das Fünf-Momente-Modell ihn bräuchte.

Musterlösung zu Ü 14.3

Eine Landung nach einem Sprung wäre von einer sehr hohen, sehr kurzen Bodenreaktion geprägt (eine Aufprallspitze, deutlich über 2,5 · KG). Ob das Modell ihn bräuchte, hängt von der Belastungsgeschichte ab: Für eine Läuferin, die kaum springt, hätte dieser Moment ein winziges Gewicht und trüge zum gewichteten Mittel fast nichts bei — dann bräuchte man ihn nicht. Für eine Turnerin oder Volleyballerin dagegen bekäme er ein großes Gewicht und würde das Mittel prägen. Das ist gerade der Sinn der gewichteten Momente: Ein Lastfall zählt nicht allein, weil er hart ist, sondern weil er hart und von langem Phasenanteil ist. Zu beachten bleibt, dass eine sehr kurze Aufprallspitze im Fünf-Standbild-Modell ohnehin nur als ein Mittelwert erscheint, nicht als aufgelöste Transiente.

Roter Faden

Wo kam das schon vor, wo kommt es wieder? Zurück: Die fünf Momente sind der Kräftefahrplan aus Kapitel 2, die Vektorsumme zur Resultierenden stammt aus demselben Kapitel; dass man fünf Antworten überhaupt mischen darf, ist das Superpositionsprinzip aus Kapitel 5; die Mittelbildung als Fläche unter einer Kurve ist die Lehre aus Kapitel 7, hier als Spitze gegen Gewicht; welcher Moment die höchste Spitze trägt, hat Kapitel 11 am Handnetz gezeigt; die verteilten Randlasten und das Talus-Lager kommen aus Kapitel 12, die belastbare Auswertegröße aus Kapitel 13. Vor: Kapitel 15 liest die Spannungsfelder dieser fünf Lastfälle und schreibt am Teilende die Studiums-Tabelle fort; dort und in Kapitel 16 wechselt auch das Maß — vom Kraftmittel dieses Kapitels, das linear mit der Last wächst, auf die Formänderungsenergiedichte, die mit ihrem Quadrat wächst. In Teil VI wird daraus das Umbausignal und der Motor des Umbaus (Kapitel 16 bis Kapitel 18), und die Totzone und Sättigung, die diesem Kapitel noch fehlen, kommen dort dazu. Laufstil und Trainingsumfang kehren aus der Blackbox (Kapitel 1) wieder und laufen bis Kapitel 18 durch; die Kadenz kommt hier neu hinzu.

Was dieses Kapitel NICHT tut

Es rechnet keinen zeitaufgelösten dynamischen Verlauf — fünf Standbilder vertreten den Schritt, keine Zeitachse; was zwischen den Momenten geschieht, sieht das Modell nicht. Es kennt keine Trägheits- oder Dämpfungskräfte (nur die statischen Kräfte des Kräftefahrplans) und keine belegte Zeitkurve der Einzelkräfte: Aus dem Zahlenanhang stammen allein die Maxima, der Verlauf über die fünf Momente und die Kurven des Fahrplans sind Modellannahme. Es bildet keine Ermüdung ab — der kumulative Kraftindex wächst linear mit der Strecke, weil das Modell weder anhäufenden Schaden noch Anpassung kennt; die Totzone und die Sättigung eines echten Knochens kommen erst in Teil VI. Es behauptet keine biologische Kadenzwirkung: Dass der kumulative Kraftindex bei fester Strecke von der Kadenz unabhängig ist, folgt allein aus den zwei gewählten Modellgesetzen (Kraft ∝ 1/Kadenz, Lastzyklen = ½·Kadenz·Laufzeit); reale Gewebe- und Schadensmaße können sich mit der Kadenz sehr wohl ändern. Es nennt seine Ergebnisse durchgehend gewichtetes Kraftmittel und kumulativer Kraftindex — Buchhaltung über Kräfte, nicht die biologische Wirkung, die der Knochen als Umbausignal registriert (die bleibt Teil VI vorbehalten). Die fünf Krafttripel und Lastfallgewichte sind Modellannahmen des Kräftefahrplans (mit den Maxima aus dem Zahlenanhang), die Reglerkonstanten sind frei gesetzte Reglerparameter — keine gemessenen Werte und keine klinische Aussage. Nur die fünf gewichteten Momente und was Laufstil, Kadenz und Umfang an ihnen verschieben — mehr will dieses Kapitel nicht.