Orbitale als räumliche Zustände
Dichtebilder lesen und zwischen Orbital, Knoten und radialer Wahrscheinlichkeit unterscheiden.
Vorwissen: Aus Kapitel 2: Orbital, Besetzung und Grundzustand. Kapitel 3 ist hilfreicher Hintergrund, aber keine Voraussetzung.
Druckfassung: Lösungen und Erklärungen dieser Seite sind geöffnet.
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Was stellt die Dichte dar?
Ein Orbitalkästchen zählt einen möglichen Zustand. Jetzt betrachten wir seine räumliche Bedeutung: Wo kann das Elektron bei einer Ortsmessung gefunden werden? Ein Orbital beschreibt dafür eine Wellenfunktion, keine Bahn.
ψ („Psi“) bezeichnet die Wellenfunktion. Nach der Born-Regel liefert |ψ|² die Ortswahrscheinlichkeitsdichte. Das ist die im Lehrbuch verwendete Verbindung zur Messstatistik, keine abschließende Festlegung dessen, was die Wellenfunktion physikalisch ist. Für ein kleines Volumen gilt näherungsweise: Wahrscheinlichkeit = Dichte × Volumen. Eine dunkle Stelle ist deshalb keine klassische Position oder Bahn. In stationären Zuständen bleibt diese Dichte zeitlich gleich. Die Bedeutung von Phase und zeitlicher Entwicklung vertieft der Exkurs zur Schrödingergleichung.
Manche Lehrbilder färben zwei Orbitallappen unterschiedlich, um das Vorzeichen der reellen Wellenfunktion zu zeigen. Das bedeutet nicht positive und negative elektrische Ladung. Unsere Bilder färben ausschließlich die nichtnegative Dichte.
Grundzustand heißt niedrigster Energiezustand. Ein angeregter Zustand hat eine höhere Energie. Für Wasserstoff ist 1s der Grundzustand; 2s und 2p sind zwei mögliche angeregte Zustände.
Berechnete Wasserstofforbitale statt Kreisbahnen
Wasserstoff ist besonders übersichtlich: Sein neutrales Atom besitzt genau ein Elektron. Für das nichtrelativistische Modell eines Elektrons im Coulombfeld eines festgehaltenen Protons lässt sich die stationäre Schrödingergleichung analytisch lösen. Die folgenden Bilder werten diese Lösungen tatsächlich aus.
Die Bilder sind mathematisch berechnete Orbitale dieses klar benannten Modells. Es sind keine Fotos und keine vollständige Beschreibung sämtlicher relativistischer und quantenelektrodynamischer Effekte.
Was du in den drei Bildern erkennen kannst
- 1s: kugelsymmetrische Dichte, im Schnitt rund. Sie ist am Kern am größten und fällt nach außen ab.
- 2s: ebenfalls kugelsymmetrisch, aber mit einer kugelförmigen Knotenfläche bei r = 2a₀. Im Schnitt erscheint sie als gestrichelter Kreis. Dort ist die Wellenfunktion null; innen und außen kann das Elektron nachgewiesen werden.
- 2pz: zwei Bereiche entlang der z-Achse und eine Knotenebene z = 0 zwischen ihnen. Beide Bereiche gehören zu demselben Orbital, nicht zu zwei Elektronen.
Drei Alternativen, nicht drei gleichzeitig besetzte Zustände: Im Wasserstoff-Grundzustand sitzt das eine Elektron in 1s. 2s und 2p sind mögliche angeregte Zustände. Im hier verwendeten Coulombmodell besitzen 2s und 2p dieselbe Energie.
Räumliche Ausdehnung ist eine Verteilung
Die Dichtebilder vergleichen gleich große kleine Volumina. Jetzt fragen wir nach dem Abstand zum Kern und summieren über alle Raumrichtungen. Wir verwenden dieselben Wasserstoffzustände wie oben.
Warum hat 1s jetzt sein Maximum bei a₀ und nicht am Kern? Im Dichtebild vergleichen wir gleich große kleine Volumina. Hier summieren wir über eine ganze dünne Kugelschicht. Deren Volumen wächst mit 4πr². Für s-Orbitale gilt P(r) = 4πr²|ψ(r)|². Direkt bei r = 0 verschwindet dieser Volumenfaktor.
2s besitzt innen und außen Wahrscheinlichkeit. „Zweite Schale“ heißt deshalb nicht „das Elektron bleibt immer außerhalb der ersten“. Diese räumliche Durchdringung hilft, unterschiedliche Abschirmung bei s- und p-Zuständen zu verstehen.
Nicht mit Natrium verwechseln: Die Kurven wurden für Wasserstoff berechnet. In Na, Mg und K beeinflussen Elektronen einander. Dort sind einzelne Orbitale eine nützliche Näherungsbeschreibung; die vollständige Wellenfunktion beschreibt das gemeinsame Mehrelektronensystem. Wasserstoffradien und Energien lassen sich daher nicht unverändert auf diese Atome übertragen.
Die Bilder selbst erklären
Sind die beiden 2p-Lappen zwei Elektronen? — Lösung aufklappen
Nein. Ein einzelnes Elektron im 2pz-Zustand hat eine räumliche Verteilung mit zwei Bereichen. Die Knotenebene trennt diese Bereiche der Wellenfunktion, nicht zwei Teilchen.
Was bedeutet der Ring im 2s-Bild? — Lösung aufklappen
Er ist der Schnitt durch eine kugelförmige Knotenfläche. Bei r = 2a₀ ist die Dichte dieses Zustands null. Er ist keine Bahn und keine materielle Wand.
Widersprechen sich das 1s-Dichtemaximum am Kern und das radiale Maximum bei a₀? — Lösung aufklappen
Nein. |ψ|² beschreibt die Wahrscheinlichkeit pro kleinem Volumen. P(r) zählt zusätzlich, wie viel Volumen in einer dünnen Kugelschicht liegt. Beide Aussagen stammen aus derselben Wellenfunktion.
Vom Zustand zum Übergang
Ein Dichtebild beschreibt einen Zustand, keine Flugbahn. Mehrere gezeichnete Orbitale sind mögliche Alternativen, keine zusätzlichen Elektronen. In Kapitel 5 untersuchen wir, wann Licht einen Zustandswechsel ermöglichen kann.
Wie liefert die Schrödingergleichung diese Funktionen?
Was sagen die Rechnung und eine Messung über Wirklichkeit aus?
Quelle der Wasserstoffberechnung
OpenStax, University Physics Volume 3, 8.1: The Hydrogen Atom, Tabelle 8.1. Analytische Funktionen unabhängig ausgewertet. Berechnungsskript · Normierungs- und Knotenprüfung. .