Mit Wellenfunktionen rechnen

Vom Dichtebild zur Gleichung

Die Bilder aus Kapitel 4 wurden aus normierten analytischen Wasserstofffunktionen berechnet. Dieser Exkurs erklärt die Gleichung und die Rechenschritte. Im Modell halten wir den Protonenkern fest und vernachlässigen relativistische Korrekturen.

Welche Frage beantwortet die Gleichung?

Die zeitabhängige Schrödingergleichung sagt: Wenn der Zustand und die Wechselwirkungen bekannt sind, wie entwickelt sich der Zustand mit der Zeit? Ihre übliche Schreibweise lautet:

iℏ ∂Ψ/∂t = ĤΨ

Du musst diese Gleichung nicht lösen können. Lies sie zunächst so: Die zeitliche Veränderung des Zustands hängt von der Energie-Rechenvorschrift des Systems ab.

Die Phase kannst du dir mathematisch als Winkel eines Zeigers vorstellen. Zwei Amplituden können sich je nach relativer Phase verstärken oder aufheben. Dieses Zusammenwirken heißt Interferenz. Das Zeigerbild erklärt die Rechnung; es behauptet nicht, im Atom sitze ein kleiner rotierender Zeiger.

Warum verwenden wir für Orbitale eine kürzere Gleichung?

Für die gezeigten Orbitale suchen wir besondere Zustände mit einer bestimmten Energie. Wenn die Wechselwirkungen nicht ausdrücklich von der Zeit abhängen, führt das zur stationären Schrödingergleichung:

Ĥψ = Eψ

Hier steht das kleine ψ für den räumlichen Anteil der Wellenfunktion. E ist ein möglicher Energiewert. Die Aussage lautet: Wendet man die Energie-Rechenvorschrift auf dieses räumliche Muster an, erhält man dasselbe Muster, multipliziert mit E. Solche Muster heißen Eigenfunktionen, die zugehörigen Energien Eigenwerte.

Eine passende Lösung muss außerdem die Bedingungen für einen zulässigen Zustand erfüllen. Insbesondere müssen wir sie so skalieren können, dass die gesamte Ortswahrscheinlichkeit eins ergibt. Diese Skalierung heißt Normierung. Bei den gebundenen Wasserstoffzuständen führen Gleichung und Zulässigkeitsbedingungen zu bestimmten erlaubten Energien. Das Elektron kann nicht in jedem beliebigen stationären Muster an den Kern gebunden sein.

Zur zeitabhängigen und stationären Form: OpenStax, University Physics Volume 3, Abschnitt 7.3.

Was steckt bei Wasserstoff in Ĥ?

Ĥ = −ℏ²/(2mₑ) ∇² − e²/(4πε₀r)

Das sieht zunächst fremd aus. Es besteht aber aus zwei Beiträgen:

• −ℏ²/(2mₑ) ∇²: der Operator für die kinetische Energie. mₑ ist die Elektronenmasse. Das Zeichen ∇² bezeichnet die Summe der zweiten räumlichen Ableitungen in drei Richtungen; anschaulich prüft es die räumliche Krümmung der Funktion. Es ist keine Aussage über eine bestimmte klassische Umlaufbahn.
• −e²/(4πε₀r): die elektrische potentielle Energie im Feld des Protons. r ist der Abstand zum Kern, e der Betrag der Elementarladung und ε₀ die elektrische Feldkonstante. Das Minuszeichen gehört zur Anziehung zwischen entgegengesetzten Ladungen. Der Energienullpunkt liegt bei unendlich großem Abstand und verschwindender kinetischer Energie.

Ein gebundener Zustand hat in dieser Konvention negative Energie. Das bedeutet nicht „negative Materie“, sondern: Um das Elektron vollständig zu lösen, muss Energie zugeführt werden.

Ist das eine stehende Materiewelle?

Für die gezeigten stationären Wasserstoffzustände ist das eine hilfreiche Vorstellung. Ein Muster mit festen Knoten erinnert an eine stehende Welle auf einer Saite. Ein Knoten ist ein Ort oder eine Fläche, an dem beziehungsweise auf der die Wellenfunktion null ist. Die Analogie liefert aber keinen Nachweis, dass dort ein klassisches Medium schwingt.

Mathematisch lautet die zeitliche Entwicklung eines solchen Energiezustands:

Ψ(r,t) = ψ(r) exp(−iEt/ℏ)

exp bezeichnet die Exponentialfunktion. Der Faktor rechts verändert nur die gemeinsame Phase. Deshalb bleibt |Ψ|² zeitlich gleich: Stationär heißt hier konstante Ortswahrscheinlichkeitsdichte, nicht „das Elektron sitzt still“. Aus Überlagerungen verschiedener Energiezustände können dagegen zeitabhängige Dichtemuster entstehen.

Nicht jede Lösung der Schrödingergleichung ist eine stehende Welle. Es gibt auch Wellenpakete und laufende Wellen. Unsere Orbitale sind eine besondere Klasse von Lösungen.

Welche Funktionen erzeugen unsere Bilder?

Wir rechnen mit Längen in Einheiten des Bohrschen Radius a₀ ≈ 52,9 pm. Ein Pikometer (pm) ist ein Billionstel Meter. x, y und z sind die drei Raumkoordinaten; r = √(x²+y²+z²) ist der Abstand vom Ursprung, wo der Kern liegt. Für diese dimensionslosen Koordinaten verwenden wir:

• 1s: ψ = exp(−r) / √π
• 2s: ψ = (2−r) exp(−r/2) / (4√(2π))
• 2pz: ψ = z exp(−r/2) / (4√(2π))

Schon ohne Differentialrechnung kannst du zwei Eigenschaften ablesen: Bei 2s wird der Faktor 2−r an r = 2 null. Bei 2pz wird die Funktion in der Ebene z = 0 null. Daraus entstehen der Knotenring beziehungsweise die Knotenlinie in unseren Schnitten.

Für dimensionale Wellenfunktionen kommt der Faktor a₀⁻³ᐟ² hinzu. Die Normierung bezieht sich auf den gesamten dreidimensionalen Raum, nicht nur auf den gezeichneten Schnitt. Endliche Kernmasse, relativistische Effekte und weitere kleine Korrekturen sind hier nicht enthalten.

Was du behalten sollst: Die Gleichung liefert erlaubte Zustände und ihre Entwicklung. Die Born-Regel verbindet diese mit Messwahrscheinlichkeiten. Die Frage, was der Zustand letztlich physikalisch ist, geht darüber hinaus. Du darfst die Vorhersagen verstehen und nutzen, ohne eine bestimmte Interpretation als bewiesene Wahrheit zu übernehmen.

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