Zwölf Kapitel lang haben wir eine einzige Frage an den Träger gestellt: Wie warm ist er, wo? Wir haben das Temperaturfeld erobert — stationär (Kapitel 6), mit der schwachen Form gelöst (Kapitel 7), über die Zeit verfolgt (Kapitel 9) und schließlich geprüft (Kapitel 12). Aber ganz am Anfang, in Kapitel 1, hat die Blackbox noch etwas anderes gezeigt: Der heiße Träger wurde nicht nur bunt — er wurde länger. Dieses Versprechen lösen wir jetzt ein.
Warum ruhen die schweren Enden großer Brücken auf Rollen, und warum lagen in alten Bahngleisen alle paar Meter Stoßlücken? Weil Metall, das man erwärmt, sich ausdehnen will — und weil es, wenn man es nicht lässt, mit ungeheurer Kraft zurückdrückt. Unser Stahlträger, um 100 Grad erwärmt, möchte \(1{,}2\ \mathrm{mm}\) pro Meter länger werden. Lässt man ihn gewähren, passiert nichts Dramatisches: Er wird eben ein bisschen länger. Steckt er aber mit beiden Enden fest in den Wänden, kann er nicht länger werden — und drückt dann mit rund zweieinhalb Meganewton gegen seine Auflager, der Gewichtskraft von etwa 257 Tonnen. Genau das ist ein gefürchteter Vorgang im Brandfall: Ein sich ausdehnender Stahlträger kann die Wände, in denen er steckt, nach außen drücken. In diesem Kapitel rechnest du beide Fälle aus, und du wirst sehen: Es ist wieder die Federkette aus Kapitel 3, nur dass die Feder diesmal ein Stück Stahl ist.
Abbildung 13.1: Zwei Wege, mit der Wärmedehnung umzugehen. Links das Rollenlager einer Brücke: Ein Ende darf sich frei verschieben, der Träger wird bei Hitze länger — und bleibt spannungsfrei. Rechts der beidseitig eingespannte Träger: Er kann nicht länger werden, also staut sich die verhinderte Dehnung als gewaltige Druckspannung im Inneren. Genau diese beiden Fälle — frei und fest — sind die Grenzfälle des ganzen Kapitels.
Was man hier sieht: dieselbe Erwärmung, zwei Lagerungen, zwei völlig verschiedene Ergebnisse. Links darf sich der Träger ausdehnen und trägt danach keine Spannung; rechts ist ihm die Dehnung verwehrt, und genau diese verhinderte Dehnung wird zur Druckspannung. Der ganze Rest des Kapitels baut die Werkzeuge, um beide Zahlen — die Verlängerung links, die Spannung rechts — selbst auszurechnen.
Lernziele
Nach diesem Kapitel kannst du …
… Dehnung\(\varepsilon\) (Längenänderung geteilt durch Länge, dimensionslos) und Spannung\(\sigma\) (Kraft geteilt durch Fläche, in N/mm²) definieren und über das Hookesche Gesetz \(\sigma = E\,\varepsilon\) verknüpfen — die Feder aus Kapitel 3, jetzt pro Material statt pro Bauteil,
… die Wärmedehnung\(\alpha\,\Delta T\) berechnen (Stahl, 100 K → 1,2 mm pro Meter) und von der elastischen Dehnung unterscheiden,
… die Kernformel\(\sigma = E\,(\varepsilon - \alpha\,\Delta T)\) in Worten erklären: Spannung entsteht nur aus dem verhinderten Teil der Dehnung,
… die beiden Grenzfälle rechnen — frei gelagert (Dehnung ja, Spannung null) und beidseitig eingespannt (Dehnung null, \(\sigma = -E\,\alpha\,\Delta T\), beim um 100 K erwärmten Stahlträger satte \(-252\ \mathrm{N/mm^2}\) Druck),
… das FEM-Stab-System aufstellen: dieselbe Matrix wie die Federkette, aber mit \(k = E\,A/h\) und einer neuen rechten Seite aus thermischen Kräften — und die Verformung eines gekoppelten 5-Knoten-Trägers ausrechnen und deuten.
WarnungNaheliegende Vermutung
Vermutung:„Wo Wärme ist, ist Spannung. Ein heißer Träger steht unter Spannung — je heißer, desto mehr.”
Warum sie naheliegt: Wärme und Kraft fühlen sich verwandt an. Ein heißer Topf, ein berstendes Glas unter kochendem Wasser, verzogene Bratbleche — überall scheint Hitze unmittelbar Spannung zu erzeugen. Und die Aufhänger-Zahl (257 Tonnen!) bestärkt den Eindruck.
Was stattdessen stimmt: Ein frei gelagerter, gleichmäßig erwärmter Träger dehnt sich völlig spannungsfrei aus. Er wird länger, und dabei entsteht nirgends eine Kraft. Spannung baut sich erst auf, wenn die Dehnung verhindert wird — durch ein festes Auflager oder dadurch, dass verschieden heiße Teile aneinanderhängen und sich gegenseitig festhalten. Der Merksatz, den dieses Kapitel an vielen Stellen verankert, lautet:
Spannung = E × verhinderte Dehnung.
Nicht die Wärme macht die Spannung, sondern der Widerstand gegen die Ausdehnung. Das berstende Glas zerspringt, weil seine heiße Innenseite sich ausdehnen will und die kalte Außenseite sie festhält — verhinderte Dehnung, nicht Hitze an sich.
13.1 Schritt 1 — Dehnung: Verformung ohne Einheit
Fangen wir beim Einfachsten an: beim Ziehen an einem Stab. Hängt man an einen Draht ein Gewicht, wird er ein Stückchen länger. Aber „ein Stückchen” ist keine brauchbare Angabe — ein Millimeter Verlängerung bedeutet bei einem Fingerhut-kurzen Draht etwas ganz anderes als bei einem Kilometer Stahlseil. Was zählt, ist die Verlängerung im Verhältnis zur Länge. Genau das ist die Dehnung:
Weil oben und unten dieselbe Einheit steht (Meter durch Meter), ist die Dehnung eine reine Zahl ohne Einheit. Ein Beispiel mit unserem Träger: Ziehen wir den 1 Meter langen Stahlträger um \(0{,}5\ \mathrm{mm}\) länger, so ist
Weil die Zahlen so klein sind, schreibt man sie in der Praxis oft in Mikrostrain (\(10^{-6}\)): \(500\ \mu\varepsilon\). Ob als Bruch, als Prozent oder in Mikrostrain — es ist dieselbe dimensionslose Zahl. Merke sie dir als „so viel Weglänge pro Länge”: Dehnung ist keine Strecke, sondern ein Streckungsfaktor.
Abbildung 13.2: Dehnung ist Längenänderung geteilt durch Länge. Oben der Träger in Ruhe (Länge L = 1 m), unten um ΔL = 0,5 mm gezogen (stark überhöht dargestellt). Die Dehnung ε = ΔL/L = 0,0005 ist eine reine Zahl — dieselbe Zahl gälte für einen 2 m langen Träger, der um 1 mm gezogen wird. Sie misst die Streckung, nicht die Strecke.
Was man hier sieht: oben der ruhende Träger, unten der gezogene. Die grüne Marke \(\Delta L\) ist stark überhöht — in Wahrheit wären \(0{,}5\ \mathrm{mm}\) auf dieser Skala unsichtbar. Die Dehnung fasst beide Zustände in einer einzigen Zahl zusammen. Und das Schöne: Dieselbe Dehnung entsteht auf zwei ganz verschiedene Arten — durch Ziehen (wie hier) oder durch Erwärmen (gleich in Schritt 4). Die Dehnung unterscheidet nicht, woher sie kommt; das wird der Schlüssel zur Kernformel.
13.2 Schritt 2 — Spannung: Kraft, auf die Fläche verteilt
Die Kraft, mit der man zieht, sagt für sich genommen wenig über die Belastung des Materials. Zwei Newton an einem Haardraht zerreißen ihn; zwei Newton an einem Schiffstau spürt man kaum. Was das Material wirklich belastet, ist die Kraft pro Querschnittsfläche — die Spannung:
Die Einheit ist Kraft durch Fläche, also Newton pro Quadratmeter — das Pascal (Pa). Weil ein Pascal winzig ist (ein Blatt Papier drückt mit einigen Pascal auf den Tisch), rechnet die Mechanik in Newton pro Quadratmillimeter: \(1\ \mathrm{N/mm^2} = 10^6\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{MPa}\). Unser Träger hat den Querschnitt \(A = 0{,}1\ \mathrm{m} \times 0{,}1\ \mathrm{m} = 0{,}01\ \mathrm{m^2}
= 10\,000\ \mathrm{mm^2}\). Um in ihm die Spannung \(252\ \mathrm{N/mm^2}\) zu erzeugen, braucht es demnach
\[
F \;=\; \sigma \cdot A \;=\; 252\ \tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm^2}}
\cdot 10\,000\ \mathrm{mm^2} \;=\; 2\,520\,000\ \mathrm{N}
\;=\; 2{,}52\ \mathrm{MN} .
\]
Das ist die 257-Tonnen-Kraft aus dem Aufhänger. Sie steht schon fest, bevor wir überhaupt zur FEM kommen — sie folgt allein aus Spannung mal Fläche.
WichtigStolperstein: N/mm² und GPa nicht verwechseln
Hier lauert der häufigste Zahlenfehler der Strukturmechanik. Es kursieren zwei Einheiten, die sich um den Faktor tausend unterscheiden:
Spannungen notiert man in \(\mathrm{N/mm^2}\) (= MPa). Typische Werte: einige zehn bis einige hundert \(\mathrm{N/mm^2}\).
Steifigkeiten (der E-Modul, gleich in Schritt 3) notiert man in Gigapascal (GPa). \(1\ \mathrm{GPa} = 1000\ \mathrm{N/mm^2}\).
Baustahl hat den E-Modul \(E = 210\ \mathrm{GPa} = 210\,000\ \mathrm{N/mm^2}\). Verwechselt man die beiden, rechnet man um den Faktor 1000 daneben — aus \(252\ \mathrm{N/mm^2}\) würden \(0{,}252\ \mathrm{GPa}\), und wer das mit einer Spannung in \(\mathrm{N/mm^2}\) vergleicht, zieht falsche Schlüsse. Faustregel: E-Moduln in GPa, Spannungen in N/mm², und \(1\ \mathrm{GPa} = 1000\
\mathrm{N/mm^2}\).
13.3 Schritt 3 — Hooke als Material-Feder: dieselbe Formelgestalt
Dehnung und Spannung hängen zusammen, und zwar auf die einfachste denkbare Weise: proportional. Doppelte Dehnung, doppelte Spannung. Diese Proportionalität ist das Hookesche Gesetz — dieselbe Idee wie die Feder aus Kapitel 3 (\(F = k\,x\)), nur eine Ebene tiefer, im Material selbst:
\[
\sigma \;=\; E \cdot \varepsilon .
\]
Die Proportionalitätszahl \(E\) heißt Elastizitätsmodul oder kurz E-Modul. Sie ist die „Steifigkeit des Materials”: Wie viel Spannung braucht es für eine bestimmte Dehnung? Ein großes \(E\) bedeutet ein steifes Material (Stahl, \(210\ \mathrm{GPa}\)), ein kleineres ein nachgiebigeres (Aluminium, \(70\ \mathrm{GPa}\)). Anders als die Federhärte \(k\) aus Kapitel 3, die vom ganzen Bauteil abhing, ist \(E\) eine reine Materialeigenschaft — derselbe Baustahl hat immer \(210\ \mathrm{GPa}\), ob als Träger oder als Draht.
HinweisNamensschild: Thomas Young
Im Englischen heißt der E-Modul Young’s modulus, nach dem britischen Universalgelehrten Thomas Young (1773–1829) — Arzt, Physiker und einer der Entzifferer der ägyptischen Hieroglyphen. Young fasste um 1807 die Steifigkeit eines Materials als eigene Kennzahl, unabhängig von der Bauteilform. Die deutsche Bezeichnung „Elastizitätsmodul” betont dieselbe Sache: das Maß (modulus) für die Elastizität eines Stoffes.
Jetzt bauen wir aus dem Materialgesetz wieder eine Feder für ein Trägerstück — und hier passiert etwas, das dir bekannt vorkommen wird. Ein Stück Träger der Länge \(h\) mit Querschnitt \(A\): Zieht man seine Enden um \(u_2 - u_1\) auseinander, ist die Dehnung \(\varepsilon = (u_2 - u_1)/h\), die Spannung \(\sigma = E\,\varepsilon\), und die Kraft \(F = \sigma\,A = E\,A\,
(u_2-u_1)/h\). Das ist wieder \(F = k\,(u_2 - u_1)\) — mit der Steifigkeit
Diese Zahl ist gewaltig. \(8{,}4 \cdot 10^{9}\ \mathrm{N/m}\) heißt: Um das Trägerstück um einen tausendstel Millimeter (ein Mikrometer) zu stauchen, braucht es \(8{,}4 \cdot 10^{9} \cdot 10^{-6} = 8400\ \mathrm{N} = 8{,}4\
\mathrm{kN}\) — das Gewicht eines Kleinwagens, für einen Mikrometer. Stahl ist eine extrem steife Feder.
Und nun halte inne und vergleiche \(k = E\,A/h\) mit der Wärme-Feder aus Kapitel 7: dort war \(k = \lambda\,A/h\). Es ist wörtlich dieselbe Formelgestalt — Materialzahl mal Fläche durch Länge. In Kapitel 7 war es ein Gänsehaut-Moment, dass Wärmeleitung eine Feder ist; hier schließt sich der Kreis. Die Mechanik ist die ursprüngliche Feder, und die Wärme hat nur ihre Gestalt geliehen. Das ist kein Zufall, sondern eine tiefe Verwandtschaft, die wir jetzt zur wichtigsten Grafik des Kapitels machen.
Code
import matplotlib.pyplot as pltzeilen = [ ("gesuchte Größe (pro Knoten)", "Temperatur T", "Verschiebung u"), ("ihr Gefälle / Anstieg", "Temperaturgefälle dT/dx", "Dehnung ε = du/dx"), ("innere „Fluss\"-Größe", "Wärmestrom(dichte) q", "Spannung σ"), ("Materialgesetz", "q = −λ · dT/dx (Fourier)", "σ = E · ε (Hooke)"), ("Materialzahl", "Wärmeleitfähigkeit λ = 50", "E-Modul E = 210 GPa"), ("Element-Steifigkeit", "k = λ·A / h", "k = E·A / h"), ("Quelle / Last (rechte Seite)", "Wärmequelle im Element", "thermische Kraft E·A·α·ΔT"), ("fester Wert am Rand", "vorgegebene Temperatur", "festes Auflager (u vorgegeben)"), ("vorgegebener Fluss am Rand", "aufgeprägter Wärmestrom", "aufgeprägte Kraft"),]fig, ax = plt.subplots(figsize=(10.5, 6.0))n =len(zeilen)ax.add_patch(plt.Rectangle((0.34, 0.0), 0.33, n +1, facecolor="#fde8d0", edgecolor="none"))ax.add_patch(plt.Rectangle((0.67, 0.0), 0.33, n +1, facecolor="#dfe8f0", edgecolor="none"))ax.text(0.505, n +0.45, "WÄRME (Kap. 6–9)", ha="center", fontsize=12, color="tab:red", weight="bold")ax.text(0.835, n +0.45, "MECHANIK (Kap. 13)", ha="center", fontsize=12, color="tab:blue", weight="bold")for i, (rolle, waerme, mechanik) inenumerate(zeilen): y = n - i -0.5 ax.text(0.32, y, rolle, ha="right", va="center", fontsize=10) ax.text(0.505, y, waerme, ha="center", va="center", fontsize=10) ax.text(0.835, y, mechanik, ha="center", va="center", fontsize=10) ax.axhline(y -0.5, xmin=0.0, xmax=1.0, color="0.85", lw=0.7)ax.set_xlim(0.0, 1.0)ax.set_ylim(0.0, n +0.9)ax.axis("off")plt.tight_layout()plt.show()
Abbildung 13.3: Die Analogie-Tafel Wärme ↔︎ Mechanik. Zeile für Zeile dieselbe Maschine mit ausgetauschten Namen: Die gesuchte Größe ist einmal die Temperatur, einmal die Verschiebung; ihr Gefälle ist einmal das Temperaturgefälle, einmal die Dehnung; die Materialzahl ist λ = 50 W/(m·K) bzw. E = 210 GPa; die Element-Steifigkeit ist in beiden Fällen (Materialzahl)·A/h. Diese Tafel kehrt in Kapitel 14 und 15 wieder — sie ist der Grund, warum wir die ganze FEM-Maschinerie nur einmal bauen mussten.
Was man hier sieht: die beiden Physiken des Buches, Zeile für Zeile nebeneinander. Lies eine beliebige Zeile von links nach rechts — es ist stets dieselbe Rolle, einmal für die Wärme, einmal für die Mechanik besetzt. Die gesuchte Größe (Temperatur ↔︎ Verschiebung), ihr Gefälle (Temperaturgefälle ↔︎ Dehnung), die innere Flussgröße (Wärmestrom ↔︎ Spannung), die Materialzahl (\(\lambda = 50\ \mathrm{W/(m\,K)} \leftrightarrow E = 210\ \mathrm{GPa}\)) und ganz zentral die Element-Steifigkeit (\(\lambda A/h \leftrightarrow E A/h\)). Weil die rechte Spalte dieselbe Maschine ist wie die linke, können wir die gesamte FEM-Maschinerie aus Kapitel 3 und Kapitel 7 wiederverwenden. Nur zwei Zeilen sind wirklich neu und brauchen noch Arbeit: die thermische Kraft auf der rechten Seite (Schritt 6) und der Weg von der Wärme in die Mechanik (Schritt 4).
13.4 Schritt 4 — Wärmedehnung: der Träger will länger werden
Bis hier kam die Dehnung vom Ziehen. Aber es gibt einen zweiten Weg, einen Träger zu dehnen, ganz ohne Kraft: erwärmen. Die Atome eines erwärmten Metalls schwingen heftiger und beanspruchen im Mittel mehr Platz — das Material wird in alle Richtungen größer. Wie viel, sagt der Wärmeausdehnungs- koeffizient\(\alpha\): Pro Grad Temperaturerhöhung dehnt sich das Material um \(\alpha\) (wieder eine Dehnung pro Kelvin). Die freie Wärmedehnung ist
\[
\varepsilon_{\text{therm}} \;=\; \alpha \cdot \Delta T .
\]
Für unseren Baustahl ist \(\alpha = 12 \cdot 10^{-6}\ \tfrac{1}{\mathrm{K}}\). Erwärmt man den Träger um \(\Delta T = 100\ \mathrm{K}\), will er sich um
dehnen — auf einem Meter Länge also \(\Delta L = \varepsilon_{\text{therm}}
\cdot L = 1{,}2 \cdot 10^{-3} \cdot 1\ \mathrm{m} = 1{,}2\ \mathrm{mm}\). Das ist die Zahl aus dem Aufhänger. Zum Vergleich verschiedene Materialien, jeweils für \(100\ \mathrm{K}\) auf einem Meter:
Code
def waermedehnung_mm_pro_meter(alpha_pro_kelvin, delta_t_kelvin):"""Freie Waermedehnung in mm pro Meter Traegerlaenge. alpha_pro_kelvin: Waermeausdehnungskoeffizient (1/K). delta_t_kelvin: Temperaturerhoehung (K). Rueckgabe: Laengenaenderung in mm je Meter Ausgangslaenge. """ dehnung = alpha_pro_kelvin * delta_t_kelvinreturn dehnung *1000.0MATERIALIEN = [ ("Stahl", 12e-6), ("Aluminium", 23e-6), ("Fensterglas", 9e-6),]DELTA_T =100.0print("Material | alpha (1/K) | Dehnung pro 100 K | mm pro Meter")print("------------+-------------+-------------------+-------------")for name, alpha in MATERIALIEN: dehnung = alpha * DELTA_Tprint("%-11s | %10.1e | %14.4f%% | %8.2f mm"% ( name, alpha, dehnung *100.0, waermedehnung_mm_pro_meter(alpha, DELTA_T)))
Material | alpha (1/K) | Dehnung pro 100 K | mm pro Meter
------------+-------------+-------------------+-------------
Stahl | 1.2e-05 | 0.1200 % | 1.20 mm
Aluminium | 2.3e-05 | 0.2300 % | 2.30 mm
Fensterglas | 9.0e-06 | 0.0900 % | 0.90 mm
Interpretation der Ausgabe: Unser Stahl dehnt sich pro 100 K um gut einen Millimeter je Meter — deutlich weniger als Aluminium (fast doppelt so viel) und etwas mehr als Glas. Zwei Dinge zum Merken: Die Wärmedehnung ist dieselbe Art Zahl wie die Zug-Dehnung aus Schritt 1 (dimensionslos), und sie entsteht ohne jede Kraft — ein frei liegender Träger dehnt sich einfach, spannungsfrei.
TippWarum Stahlbeton funktioniert
Beton und Stahl haben fast denselben Wärmeausdehnungskoeffizienten (Beton etwa \(10 \cdot 10^{-6}\), Baustahl \(12 \cdot 10^{-6}\ \tfrac{1}{\mathrm{K}}\)). Deshalb dehnen sich Bewehrungsstahl und umgebender Beton bei Temperatur- schwankungen fast gleich stark — sie halten sich nicht gegenseitig fest, und es entsteht kaum thermische Spannung an ihrer Grenzfläche. Wären die Werte weit auseinander, würde jeder heiße Sommertag den Verbund lockern. Stahlbeton ist ein Glücksfall der Materialwahl — und ein Vorgeschmack auf die Nahtstellen-Spannung, die uns in Übung 13.3 beschäftigt.
13.5 Schritt 5 — Die Kernformel: Spannung aus verhinderter Dehnung
Jetzt kommen die beiden Dehnungsarten zusammen, und daraus wird die wichtigste Formel des ganzen Teils V. Die Überlegung geht in zwei Schritten — man kann sie sich als kleine Geschichte erzählen:
Erst frei dehnen lassen. Wir erwärmen den Träger um \(\Delta T\) und lassen ihn zunächst völlig ungehindert. Er dehnt sich um \(\alpha\,\Delta T\) — ganz ohne Kraft, ohne Spannung.
Dann auf Sollmaß zurückzwingen. Jetzt schauen wir, wie lang der Träger tatsächlich sein darf. Diese wirkliche, von außen erlaubte Dehnung nennen wir \(\varepsilon\) (die Gesamtdehnung). Ist sie kleiner als die freie Wärmedehnung, müssen wir den Träger um die Differenz \(\varepsilon - \alpha\,\Delta T\)zurückstauchen — und dieses Zurückzwingen kostet Kraft, erzeugt also Spannung.
Nur der zweite Teil zählt für die Spannung. Die Spannung folgt Hooke, aber nicht aus der ganzen Dehnung, sondern aus dem verhinderten Teil:
\[
\boxed{\;\sigma \;=\; E \,\bigl(\varepsilon - \alpha\,\Delta T\bigr)\;}
\]
In Worten — der Merksatz von oben, jetzt als Formel: Spannung ist E mal verhinderte Dehnung. Von der ganzen Dehnung \(\varepsilon\) wird die freie Wärmedehnung \(\alpha\,\Delta T\) abgezogen; was übrig bleibt, ist der Teil, den das Material gegen seinen Willen mitmachen musste, und nur der spannt es.
Abbildung 13.4: Die Kernformel als Bildgeschichte in drei Akten. (1) Ausgang: der kalte Träger auf Sollmaß. (2) Frei dehnen lassen: erwärmt will er sich um α·ΔT verlängern — spannungsfrei. (3) Auf Sollmaß zurückzwingen: erlaubt das Auflager keine Verlängerung (ε = 0), muss der Träger um die volle Wärmedehnung zurückgestaucht werden — diese verhinderte Dehnung wird zur Druckspannung σ = −E·α·ΔT. Nur der zurückgezwungene Teil spannt.
Was man hier sieht: die Formel als Ablauf. Akt 2 ist spannungsfrei — freie Dehnung kostet nichts. Erst Akt 3, das Zurückzwingen auf das erlaubte Maß, erzeugt die Kraft. Jetzt lesen wir die beiden Grenzfälle direkt aus der Formel ab; sie sind die Eckpfeiler des Kapitels.
Grenzfall A — frei gelagert (Spannung null). Der Träger darf sich ausdehnen, so viel er will. Dann ist die erlaubte Gesamtdehnung genau die freie Wärmedehnung, \(\varepsilon = \alpha\,\Delta T\), und die Klammer wird null:
Der Träger wird um \(\Delta L = \alpha\,\Delta T \cdot L = 1{,}2\ \mathrm{mm}\) länger und trägt keine Spannung. Genau das ist die Vermutung des Kapitels, widerlegt: Wärme allein macht keine Spannung.
Grenzfall B — beidseitig eingespannt (Dehnung null). Jetzt halten zwei feste Auflager den Träger auf seiner kalten Länge fest. Er darf sich nicht dehnen, also ist die Gesamtdehnung \(\varepsilon = 0\), und die volle Wärmedehnung ist verhindert:
Das Minuszeichen bedeutet Druck (der Träger drückt nach außen gegen die Auflager). Und hier kommt die Pointe dieses Kapitels: \(-252\ \mathrm{N/mm^2}\) liegt über der Streckgrenze von S235 (\(235\ \mathrm{N/mm^2}\)) — der Spannung, ab der Baustahl sich bleibend verformt statt elastisch zurückzufedern. Der beidseitig eingespannte, um 100 K erwärmte Träger überschreitet diese Grenze also bereits: Er fließt, noch bevor der Brand richtig in Fahrt kommt. Was das für unsere lineare Rechnung bedeutet — und warum echte Brandbemessung deshalb ganz anders vorgeht — klären wir ehrlich im Kleingedruckten am Kapitelende.
13.6 Schritt 6 — FEM-Übersetzung: die thermische Kraft
Wir haben alles, um die FEM aufzustellen. Die linke Seite ist geschenkt: Aus der Analogie-Tafel wissen wir, dass die Elementmatrix eines Stab-Elements dieselbe ist wie die der Federkette, nur mit \(k = E\,A/h\):
Bleibt die rechte Seite — und die ist der einzige wirklich neue Baustein des Kapitels. Wie kommt die Wärmedehnung ins Gleichungssystem? Über die Geschichte aus Schritt 5: Ein erwärmtes Element will sich um \(\alpha\,\Delta T\) dehnen. Halten wir es (gedanklich) zunächst auf Länge, entsteht darin die Druckspannung \(\sigma = -E\,\alpha\,\Delta T\), und diese Spannung drückt mit der Kraft \(F = \sigma\,A = -E\,A\,\alpha\,\Delta T\) auf die Enden. Um das Element wirklich frei zu lassen, müssen wir diese Haltekraft wieder wegnehmen — wir bringen also am Element ein Kraftpaar auf, das seine Enden auseinander drückt:
\[
\mathbf{f}_{\text{Element}} \;=\; E\,A\,\alpha\,\Delta T
\begin{pmatrix} -1 \\ +1 \end{pmatrix}
\qquad\text{(links nach außen, rechts nach außen).}
\]
Das ist die thermische Kraft. \(\Delta T\) ist dabei die mittlere Übertemperatur des Elements gegenüber der spannungsfreien Referenz. Rechnen wir sie für ein Element von Hand aus — nehmen wir das erste Element des linearen Profils \(20 \to 300\ °\mathrm{C}\) aus Kapitel 7. Seine beiden Knoten liegen bei \(20\ °\mathrm{C}\) und \(90\ °\mathrm{C}\), im Mittel also \(55\ °\mathrm{C}\), das sind \(\Delta T = 35\ \mathrm{K}\) über der Referenz \(20\ °\mathrm{C}\):
Dieses Kraftpaar (\(-882\ \mathrm{kN}\) am linken, \(+882\ \mathrm{kN}\) am rechten Knoten) trägt das Element in die rechte Seite ein. Bei mehreren Elementen assembliert man diese Kräfte genau wie in Kapitel 3 die Federkräfte: An einem inneren Knoten stoßen zwei Elemente zusammen, ihre thermischen Kräfte zeigen gegeneinander, und nur ihre Differenz bleibt stehen. Wo alle Elemente gleich warm sind, hebt sich im Inneren alles auf — nur an den freien Enden bleibt etwas übrig. Genau deshalb ist der gleichmäßig erwärmte freie Träger spannungsfrei.
HinweisFreiheitsgrad — jetzt fällig
In Kapitel 3 haben wir das Wort noch vertagt; hier wird es gebraucht. Ein Freiheitsgrad ist eine einzelne unbekannte Zahl, die das Gleichungssystem bestimmen muss — eine „Stellschraube” der Lösung. Beim 1D-Träger hat jeder Knoten einen Freiheitsgrad: seine Verschiebung \(u\) in Längsrichtung (bei der Wärme war es die Temperatur). Fünf Knoten, fünf Freiheitsgrade, ein \(5\times 5\)-System. Der Begriff wird ab Kapitel 14 wichtig, denn dort bekommt jeder Knoten in der Fläche zwei Freiheitsgrade — eine Verschiebung nach rechts und eine nach oben —, und die Systeme wachsen entsprechend.
Die vier FEM-Bausteine dieses Kapitels — Matrix bauen, thermische Kräfte, lösen mit Lagerung, Spannungen zurückrechnen — stecken im gemeinsamen Modul programme/gemeinsam/stab.py, das die Kapitel 14 und 15 erweitern werden. Hier ist das Herzstück, die Übersetzung der Element-Übertemperaturen in Knotenkräfte, als reines Python:
Code
def thermische_kraefte(e_modul, flaeche, ausdehnung, delta_t_elemente):"""Uebersetzt die Element-Uebertemperaturen in Knotenkraefte. e_modul: Elastizitaetsmodul E (Pascal). flaeche: Querschnittsflaeche A (Quadratmeter). ausdehnung: Waermeausdehnungskoeffizient alpha (1/Kelvin). delta_t_elemente: Uebertemperatur je Element (Kelvin), gegenueber der spannungsfreien Referenz. Ein Wert pro Element. Rueckgabe: Liste der Knotenkraefte (Newton) -- die rechte Seite. Jedes erwaermte Element drueckt seine beiden Knoten mit E*A*alpha*dT auseinander: den linken nach links (minus), den rechten nach rechts (plus). """ knotenzahl =len(delta_t_elemente) +1 kraefte = []for knoten inrange(knotenzahl): kraefte.append(0.0)for element inrange(len(delta_t_elemente)): kraft = e_modul * flaeche * ausdehnung * delta_t_elemente[element] kraefte[element] = kraefte[element] - kraft kraefte[element +1] = kraefte[element +1] + kraftreturn kraefte# Ein Element von Hand nachrechnen: erstes Element des linearen Profils.E_MODUL =210e9FLAECHE =0.01AUSDEHNUNG =12e-6kraefte = thermische_kraefte(E_MODUL, FLAECHE, AUSDEHNUNG, [35.0])print("thermisches Kraftpaar bei dT = 35 K:")print(" linker Knoten :", kraefte[0] /1000.0, "kN")print(" rechter Knoten:", kraefte[1] /1000.0, "kN")
Interpretation der Ausgabe: Genau die \(\pm 882\ \mathrm{kN}\) von Hand. Der linke Knoten wird nach links gedrückt, der rechte nach rechts — das Element stemmt sich auseinander. Diese Funktion ist die einzige Zeile Physik, die die Mechanik über die Wärme hinaus braucht; alles andere ist die alte Federketten- Maschinerie.
13.7 Schritt 7 — Der gekoppelte Träger: das Temperaturfeld als Last
Jetzt fügen wir alles zusammen und rechnen den gekoppelten Fall: Das Temperaturfeld aus Kapitel 7 und Kapitel 9 wird zur Last für die Mechanik. Das ist die Einweg-Kopplung, die erste echte Multiphysik des Buches. Sie läuft als Fließband in eine Richtung:
Code
import matplotlib.pyplot as pltkaesten = ["Temperatur-\nfeld T(x)", "Element-\nΔT", "thermische\nKräfte F","lösen\nK u = F", "u → ε, σ"]fig, ax = plt.subplots(figsize=(11.0, 2.2))x =0.0for i, text inenumerate(kaesten): farbe ="#fde8d0"if i ==0else ("#dfe8f0"if i <4else"#d9f0d3") ax.add_patch(plt.Rectangle((x, 0.0), 1.6, 1.0, facecolor=farbe, edgecolor="black", lw=1.2)) ax.text(x +0.8, 0.5, text, ha="center", va="center", fontsize=10)if i <len(kaesten) -1: ax.annotate("", xy=(x +2.0, 0.5), xytext=(x +1.6, 0.5), arrowprops=dict(arrowstyle="-|>", color="black", lw=1.8)) x = x +2.0ax.set_xlim(-0.1, x)ax.set_ylim(-0.2, 1.2)ax.axis("off")plt.tight_layout()plt.show()
Abbildung 13.5: Die Einweg-Kopplung als Fließband. Das Temperaturfeld (aus Kapitel 7/9) wird elementweise gemittelt, daraus werden die thermischen Kräfte, die ins Stab-Gleichungssystem gehen; dessen Lösung sind die Verschiebungen, aus denen man Dehnung und Spannung zurückrechnet. Der Pfeil zeigt nur nach rechts: Die Temperatur treibt die Verformung, aber die Verformung wirkt nicht auf die Temperatur zurück (siehe „Einbahnstraße”).
Was man hier sieht: die Rechenkette von links nach rechts. Wir starten mit dem bekannten Temperaturprofil, mitteln es je Element zur Übertemperatur, machen daraus die thermischen Kräfte, lösen das Stab-System und rechnen aus den Verschiebungen Dehnung und Spannung zurück. Nehmen wir das lineare Profil \(20 \to 300\ °\mathrm{C}\) mit den fünf Knotenwerten \(20, 90, 160, 230,
300\ °\mathrm{C}\). Die vier Element-Mittel, jeweils minus \(20\ °\mathrm{C}\) Referenz, sind
Damit rechnen wir zwei Lagerungen durch — links fest / rechts frei und beidseitig fest — und lesen aus den Verschiebungen die Spannung ab. Der folgende Lauf benutzt die Bausteine aus stab.py:
Interpretation der Ausgabe — hier steckt der Aha-Moment. Zwei Dinge fallen auf:
Frei gelagert ist die Spannung überall null, obwohl der Träger höchst ungleichmäßig erwärmt ist (von 20 auf 300 °C)! Die Verschiebung wächst kumulativ an — jedes Element legt seine eigene Wärmedehnung obendrauf, bis das freie Ende bei \(1{,}68\ \mathrm{mm}\) steht. Aber weil sich jedes Element frei dehnen darf, ist nirgends Dehnung verhindert — also nirgends Spannung. Das ist die überraschende Lehre: Auch eine ungleichmäßige Erwärmung erzeugt in einem frei gelagerten 1D-Träger keine Spannung. (In 2D wird das anders — dort können sich verschieden heiße Fasern gegenseitig festhalten; das ist der Stoff von Kapitel 14.)
Beidseitig fest ist die Spannung überall gleich, nämlich \(-352{,}8\ \mathrm{N/mm^2}\) — und zwar konstant über den ganzen Träger, obwohl das linke Element nur um 35 K, das rechte um 245 K erwärmt ist. Das ist verblüffend, aber zwingend: In einem Stab ohne Längslasten dazwischen muss die Längskraft überall gleich sein (was am linken Ende hineingeht, muss am rechten wieder heraus — dieselbe „rein = raus”-Bilanz wie bei der Wärme in Kapitel 6). Konstante Kraft bei konstantem Querschnitt heißt konstante Spannung. Der Zahlenwert ist \(\sigma = -E\,\alpha\,\Delta T_{\text{mittel}}\) mit dem Träger-Mittel \(\Delta T_{\text{mittel}} = (35+105+175+245)/4 =
140\ \mathrm{K}\), also \(-210\,000 \cdot 12\cdot 10^{-6} \cdot 140 =
-352{,}8\ \mathrm{N/mm^2}\). (Auch dieser Wert liegt weit über der Streckgrenze — die Rechnung ist eine obere Abschätzung, siehe Kleingedrucktes.)
Sehen wir uns das im Zusammenhang an: drei Felder übereinander — Temperatur, Verschiebung, Spannung.
Abbildung 13.6: Zum ersten Mal drei Felder im Zusammenhang. Oben das Temperaturprofil (die Last, für beide Fälle gleich). Mitte die Verschiebung: frei (grün) wächst sie kumulativ bis 1,68 mm; fest (blau) bleibt sie an beiden Enden null, im Inneren weicht der Träger leicht aus (bis −0,42 mm). Unten die Spannung: frei überall null (grün, auf der Nulllinie), fest überall konstant −352,8 N/mm² (blau). Dieselbe Erwärmung, zwei Lagerungen, gegensätzliche Antworten — das ist die ganze Botschaft des Kapitels.
Was man hier sieht: die Kopplung auf einen Blick. Das obere Feld (Temperatur) ist die Eingabe, identisch für beide Fälle. Das mittlere Feld zeigt, wie verschieden die beiden Lagerungen antworten: Der freie Träger (grün) wächst kumulativ, der feste (blau) kann nirgends wachsen und weicht stattdessen im Inneren leicht aus. Das untere Feld ist die Pointe: Die Spannung des freien Trägers liegt platt auf der Null, die des festen liegt platt auf \(-352{,}8\) — beide konstant, aber aus entgegengesetzten Gründen.
13.8 Schritt 8 — Der Nulltest, gebaut
In Kapitel 12 haben wir einen Nulltest für die Thermomechanikentworfen (Übung 12.3): Ein frei gelagerter, gleichmäßig erwärmter Träger muss Spannung exakt null liefern, auf jedem Netz, weil seine wahre Lösung im Ansatzraum liegt und keinen Diskretisierungsfehler zulässt. Jetzt, mit der fertigen Mechanik, bauen wir ihn — der erste Anwendungsfall unserer Prüfkultur auf die neue Physik. Das Protokoll ist genau das aus Übung 12.3: frei lagern, gleichmäßig \(\Delta T\) aufbringen, Spannung an allen Elementen ablesen, Erwartung null.
NULLTEST -- frei gelagert, gleichmaessig +100 K
-----------------------------------------------
freies Ende u: 1.2000 mm
erwartete Dehnung: 1.2000 mm (alpha*dT*L)
groesste |sigma|: 9.107e-14 N/mm2
Ergebnis: BESTANDEN -- Spannung null auf Maschinengenauigkeit.
Interpretation der Ausgabe: Das freie Ende steht bei \(1{,}2\ \mathrm{mm}\) (genau \(\alpha\,\Delta T\,L\)), und die größte Spannung im ganzen Träger ist null — auf Maschinengenauigkeit. Was stehen bleibt, ist ein winziger Rechenrest von der Größe \(10^{-13}\ \mathrm{N/mm^2}\), milliardenfach kleiner als jede echte Spannung; er liegt weit unter der Bestehensschwelle und zählt als sauberes Null. Damit ist die Mechanik verifiziert: Baute man versehentlich eine zu starre Lagerung ein, ein falsches Vorzeichen in der Kopplung oder ein falsches \(\alpha\), würde hier garantiert eine Spannung ungleich null auftauchen. Der Nulltest ist der erste Griff, mit dem man ein neues Thermomechanik-Programm prüft — bevor man ihm irgendeine bunte Verformung glaubt.
13.9 Zwei Filme: Aufheizen und der Grenzfall-Umschalter
Der stationäre Fall ist gerechnet — jetzt lassen wir ihn laufen. Der erste Film nimmt die wandernde Wärmefront aus Kapitel 9 und heftet ihr die Verformung an: Während die Wärme vom Brandherd rechts ins Metall kriecht, wächst das freie Ende live mit.
Code
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom matplotlib.animation import FuncAnimationfrom IPython.display import HTMLL, ALPHA =1.0, 12e-6leit, dichte, kap =50.0, 7850.0, 460.0a = leit / (dichte * kap)xs = np.linspace(0, L, 41)def profil(t): stat =20.0+280.0* xs / L reihe = np.zeros_like(xs)for n inrange(1, 40): koeff =560.0* ((-1.0) ** n) / (n * np.pi) reihe += koeff * np.sin(n * np.pi * xs / L) * np.exp(-((n * np.pi / L) **2) * a * t)return stat + reihedef dehnung_ende(t):# kumulierte freie Dehnung ueber den Traeger: Integral alpha*(T-20) dx,# per Trapezregel (np.trapz gibt es in neuen NumPy-Versionen nicht mehr). uebertemp = profil(t) -20.0 flaeche =0.0for i inrange(len(xs) -1): breite = xs[i +1] - xs[i] flaeche +=0.5* (uebertemp[i] + uebertemp[i +1]) * breitereturn ALPHA * flaecheUEBERHOEHUNG =160.0zeiten = np.linspace(0.0, 28800.0, 40)fig, (axo, axu) = plt.subplots(2, 1, figsize=(8.0, 4.8))def zeichne(k): t = zeiten[k] axo.clear(); axu.clear() axo.plot(xs, profil(t), color="tab:orange", lw=2.2) axo.plot([0, 1], [20, 300], "--", color="0.7", lw=1.0) axo.set_ylim(0, 320); axo.set_ylabel("T (°C)") axo.set_title("Wärmefront (Uhr: %4.0f min)"% (t /60.0)) ende = dehnung_ende(t) laenge =1.0+ UEBERHOEHUNG * ende axu.add_patch(plt.Rectangle((0, 0.2), laenge, 0.4, facecolor="#fde8d0", edgecolor="black")) axu.add_patch(plt.Rectangle((-0.05, 0.1), 0.05, 0.6, hatch="///", facecolor="lightsteelblue", edgecolor="black")) axu.plot([1.0, 1.0], [0.15, 0.65], "--", color="0.6", lw=0.8) axu.set_xlim(-0.1, 1.6); axu.set_ylim(0, 0.8) axu.set_yticks([]) axu.set_title("freies Ende wächst mit: %.3f mm (×%d überhöht)"% (ende *1000.0, UEBERHOEHUNG)) axu.set_xlabel("Länge (m)")return []ani = FuncAnimation(fig, zeichne, frames=len(zeiten), interval=140, blit=False)plt.close(fig)HTML(ani.to_jshtml())
Abbildung 13.7: Aufheiz-Film: Die Wärmefront wandert vom Brandherd rechts nach links (obere Kurve, Kapitel 9), und das freie Trägerende wächst mit (unten). Die Verschiebung ist um den eingeblendeten Faktor überhöht gezeichnet — in Wahrheit sind es Bruchteile eines Millimeters. Zeitraffer über mehrere Stunden; die Uhr zählt die echten Minuten.
Was man sieht: Die Front kriecht nach links (Kapitel 9), und das freie Ende wächst genau in dem Maß, wie sich die gesamte aufgenommene Wärme im Träger summiert. Am Anfang ist nur die rechte Spitze warm, das Ende wächst kaum; je weiter die Front vordringt, desto länger wird der Träger, bis der stationäre Zustand erreicht ist. Wichtig: Der Überhöhungsfaktor ist eingeblendet — die echte Dehnung ist Bruchteile eines Millimeters, sonst sähe man nichts.
Der zweite Film stellt die beiden Grenzfälle direkt gegeneinander: dieselbe gleichmäßige Erwärmung, einmal frei, einmal fest. Man sieht, wie die beiden Träger die Rollen tauschen — der eine dehnt sich (und bleibt spannungsfrei), der andere bleibt starr (und lädt sich mit Druckspannung auf).
Abbildung 13.8: Grenzfall-Umschalter: Dieselbe Erwärmung steigt von 0 auf 100 K. Oben der freie Träger — er wird länger (grün), die Spannung bleibt null. Unten der beidseitig feste Träger — er bleibt auf Länge, färbt sich aber mit wachsender Druckspannung rot ein (bis −252 N/mm²). Dehnungsträger und Spannungsträger tauschen die Rollen.
Was man sieht: die beiden Grenzfälle als Bewegung. Oben wächst der freie Träger sichtbar (überhöht), bleibt aber blass — keine Spannung. Unten rührt sich der feste Träger nicht, färbt sich aber mit steigender Temperatur immer tiefer rot: Die verhinderte Dehnung staut sich als Druckspannung, bis bei 100 K die \(-252\ \mathrm{N/mm^2}\) erreicht sind. Dehnungsträger und Spannungsträger — zwei Antworten auf dieselbe Wärme, je nach Lagerung.
13.10 Die interaktive Einheit: die Dehnbank
Jetzt bist du dran. Die Dehnbank rechnet den Träger für jede Kombination aus Lagerung, Temperaturprofil und Material und zeigt den Dreifachplot \(T(x)\), \(u(x)\), \(\sigma(x)\). Bevor du sie laufen lässt, eine Vorhersage:
WichtigVorhersage-Punkt
Bevor du das Programm startest: Der Träger ist beidseitig fest eingespannt und wird gleichmäßig um 100 K erwärmt. Wo ist die Druckspannung am größten — in der Mitte, an den Rändern, oder überall gleich? Leg dich fest, bevor du weiterliest.
Abbildung 13.9: Vorgerenderte Fassung der Dehnbank (beidseitig fest, gleichmäßig +100 K, Stahl): Das Temperaturprofil ist flach bei 120 °C, die Verschiebung ist an beiden Enden null (und dazwischen ebenfalls, weil gleichmäßig warm), die Spannung ist überall konstant −252 N/mm². Im Browser wird dieses Bild durch dein Ergebnis ersetzt.
Auflösung des Vorhersage-Punkts: Die Druckspannung ist überall gleich — konstant \(-252\ \mathrm{N/mm^2}\) über den ganzen Träger, kein Maximum in der Mitte, keine Spitze am Rand. Das ist derselbe Grund wie beim linearen Profil: Die Längskraft muss im Stab überall gleich sein, also auch die Spannung. Viele tippen auf „Mitte” oder „Rand” — die Wärme fühlt sich lokal an. Aber die Spannung verteilt sich völlig gleichmäßig. Probiere jetzt die anderen Regler: Schalte auf "frei" (Spannung fällt auf null), tausche "stahl" gegen "alu" (die Spannung fällt auf \(-161\ \mathrm{N/mm^2}\), obwohl Aluminiums \(\alpha\) größer ist — warum, klärt Übung 13.2) oder wähle das "momentaufnahme"-Profil, die transiente Fühler-Kurve nach 30 Minuten.
13.11 Das Kapitel-Programm
Das vollständige, eigenständige Programm zu diesem Kapitel ist programme/kap13/kap13_dehnbank.py. Es bündelt die Bausteine aus programme/gemeinsam/stab.py (Matrix, thermische Kräfte, Lösen mit Lagerung, Spannungen zurückrechnen), rechnet den gekoppelten 5-Knoten-Fall in beiden Lagerungen, führt das Nulltest-Protokoll aus und speichert den Dreifachplot. Die interaktive Dehnbank oben ist seine im Browser lauffähige Kurzfassung.
TippMerkkasten
Dehnung\(\varepsilon = \Delta L/L\) ist dimensionslos; Spannung\(\sigma = F/A\) misst man in N/mm² (= MPa), den E-Modul in GPa (\(1\ \mathrm{GPa} = 1000\ \mathrm{N/mm^2}\)).
Hooke:\(\sigma = E\,\varepsilon\) — die Feder aus Kapitel 3, pro Material. Die Stab-Steifigkeit \(k = E\,A/h\) hat dieselbe Formelgestalt wie die Wärme-Feder \(\lambda\,A/h\) (Kapitel 7).
Kernformel:\(\sigma = E\,(\varepsilon - \alpha\,\Delta T)\) — Spannung entsteht nur aus der verhinderten Dehnung, nicht aus der Wärme an sich.
Grenzfälle: frei → \(\sigma = 0\) (der Träger dehnt sich, auch ungleichmäßig erwärmt); beidseitig fest → \(\sigma = -E\,\alpha\,\Delta T_{\text{mittel}}\), konstant über den ganzen Träger.
FEM: dieselbe Matrix wie die Federkette, neue rechte Seite aus thermischen Kräften \(\pm E\,A\,\alpha\,\Delta T\). Der Nulltest (frei + gleichmäßig warm → \(\sigma = 0\)) prüft das Programm.
Roter Faden
Wo kam das schon vor, wo kommt es wieder? — Zurück: Die Federkette (Kapitel 3) ist endlich wirklich Mechanik geworden; ihre Steifigkeit \(k\) ist jetzt \(E\,A/h\). Die Elementrechnung von Kapitel 7 lieferte dieselbe Matrixgestalt für die Wärme; die Analogie-Tafel führt beide zusammen. Das Temperaturfeld aus Kapitel 7 und Kapitel 9 wird hier zur Last. Der Nulltest aus Kapitel 12 (dort in Übung 12.3 entworfen) ist jetzt gebaut und bestanden. — Nach vorn:Kapitel 14 hebt alles in die Fläche — dort verbiegt sich der Träger endlich (die zweite Dimension macht aus dem Längenunterschied eine Krümmung, siehe Übung 13.3), und die Analogie-Tafel wächst um die Querkontraktion. Kapitel 15 baut daraus das interaktive Finale.
Übungen
Ü 13.1 (Verstehen). Eine Bahnschiene aus Stahl (\(E = 210\ \mathrm{GPa}\), \(\alpha = 12\cdot 10^{-6}\ \tfrac{1}{\mathrm{K}}\)) wird im Sommer um \(\Delta T = 40\ \mathrm{K}\) wärmer als bei der Verlegung. Sie ist lückenlos verschweißt und kann sich nicht ausdehnen. Welche Spannung entsteht? Ist es Zug oder Druck? Rechne ohne Computer.
HinweisMusterlösung zu Ü 13.1
Beidseitig gehindert, also der Grenzfall B: \(\varepsilon = 0\) und
Rund \(-101\ \mathrm{N/mm^2}\)Druck (Minuszeichen). Zum Vergleich: Die Streckgrenze von Schienenstahl liegt bei einigen hundert \(\mathrm{N/mm^2}\), die Schiene fließt bei diesen 40 K also nicht — aber ein schlanker Druckstab kann ausknicken, und genau das ist die Gefahr: die Gleisverwerfung, bei der sich das erhitzte Gleis seitlich ausbeult. Deshalb verschweißt man Schienen bei einer festgelegten Neutraltemperatur (bei europäischen Bahnen meist etwa 20–27 °C) und hält sie mit einem massiven Schotterbett und schweren Schwellen fest, damit die Druckkräfte nicht zum seitlichen Ausweichen führen (VDI / ingenieur.de 2023). Frühere Stoßlücken waren die einfachere Antwort: Man ließ die Schiene sich frei dehnen — Grenzfall A, Spannung null, dafür das rhythmische „Tackern” der Räder über die Lücken.
Ü 13.2 (Verändern). Ersetze in der Dehnbank Stahl durch Aluminium (MATERIAL = "alu"), bei gleichmäßiger Erwärmung um 100 K. Was ändert sich am freien Ende (Verschiebung), was an der Spannung des beidseitig festen Trägers? Aluminium hat ein größeres\(\alpha\), aber ein kleineres\(E\) als Stahl — wer gewinnt bei der Einspann-Spannung? Lösungsskript: loesungen/kap13_ue2.py.
HinweisMusterlösung zu Ü 13.2
\(E\) und \(\alpha\) wirken gegeneinander. Freies Ende: Aluminium dehnt sich um \(\Delta L = \alpha\,\Delta T\,L = 23\cdot 10^{-6}\cdot 100\cdot 1 = 2{,}3\
\mathrm{mm}\) — fast doppelt so viel wie Stahl (\(1{,}2\ \mathrm{mm}\)), weil \(\alpha\) größer ist. Beidseitig fest aber steht Aluminium unter niedrigerer Druckspannung:
gegen \(-252\ \mathrm{N/mm^2}\) bei Stahl. Der Grund: Für die Einspann-Spannung zählt das Produkt\(E\,\alpha\), nicht \(\alpha\) allein. Stahl: \(210\,000 \cdot 12\cdot 10^{-6} = 2{,}52\ \mathrm{N/mm^2}\) pro Kelvin; Alu: \(70\,000 \cdot 23\cdot 10^{-6} = 1{,}61\). Stahls dreifache Steifigkeit überkompensiert seine geringere Ausdehnung — er dehnt sich weniger, drückt bei Behinderung aber stärker. Aluminium ist mit \(-161\ \mathrm{N/mm^2}\) übrigens milder dran: Es liegt am unteren Rand der Streckgrenzen gängiger Konstruktionslegierungen (grob \(160\) bis \(240\ \mathrm{N/mm^2}\)) (Aluminium-Werkstoffdaten 2024), während der Stahl seine Streckgrenze schon klar überschritten hat.
Ü 13.3 (Übertragen). Ein Bimetall-Vorbote: Verschweiße zwei gleich lange Elemente hintereinander zu einem Stab — das linke aus Aluminium, das rechte aus Stahl — und erwärme beide gleichmäßig um 100 K, links fest, rechts frei. Baue Matrix und thermische Kräfte mit elementweisem Material (jedes Element sein eigenes \(E\) und \(\alpha\)). Entsteht an der Naht zwischen Alu und Stahl eine Spannung? Lösungsskript: loesungen/kap13_ue3.py.
HinweisMusterlösung zu Ü 13.3
In dieser Reihenschaltung: nein, die Spannung ist in beiden Stücken null. Weil das rechte Ende frei ist, kann sich jedes Element ungehindert dehnen — das Alu-Stück weiter (\(\varepsilon = 2300\ \mu\varepsilon\)), das Stahl-Stück weniger (\(1200\ \mu\varepsilon\)) —, ohne dass eines das andere festhält. Die Verschiebungen unterscheiden sich (der Naht-Knoten in der Mitte wandert um \(1{,}15\ \mathrm{mm}\), das freie Ende um \(1{,}75\ \mathrm{mm}\)), die Spannungen aber sind null. Der berühmte Bimetall-Effekt — der Streifen krümmt sich — entsteht erst, wenn die beiden Materialien nebeneinander liegen: Dann zwingt der Längenunterschied den Verbund zur Biegung, und das erzeugt Spannung. Das braucht die zweite Dimension und ist der Cliffhanger auf Kapitel 14.
Das Kleingedruckte
Zwei ehrliche Einschränkungen begleiten dieses Kapitel.
Einbahnstraße. Wir haben nur eine Richtung der Kopplung gerechnet: Die Temperatur erzeugt eine Verformung, aber die Verformung wirkt nicht auf die Temperatur zurück (die minimale Erwärmung durch das Stauchen selbst, die sogenannte thermoelastische Dämpfung, lassen wir weg). Das ist die bewusste Vereinfachung der Einweg-Kopplung aus der Buchstrategie: erst das Wärmeproblem lösen, dann sein Ergebnis als feste Last in die Mechanik reichen. Für unseren Träger ist der Rückkanal winzig und die Vereinfachung sauber; echte gekoppelte Probleme (die vollen thermo-hydro-mechanischen Prozesse) müssen beide Richtungen zugleich iterieren.
TippEhrlich gerechnet: unser eingespannter Träger fließt schon
Unser ganzes Modell ist linear elastisch: Spannung und Dehnung bleiben proportional, und lässt die Last nach, federt der Träger exakt zurück. Das gilt nur bis zur Streckgrenze — bei Baustahl S235 sind das \(235\ \mathrm{N/mm^2}\). Unsere \(-252\ \mathrm{N/mm^2}\) beim beidseitig eingespannten, um 100 K erwärmten Träger liegen bereits darüber: Der Stahl beginnt zu fließen, verformt sich also bleibend, und \(\sigma = E\,\varepsilon\) stimmt nicht mehr. Ab da ist unsere Zahl eine obere Abschätzung — in Wirklichkeit begrenzt das Fließen die Spannung ungefähr auf die Streckgrenze und verteilt die überzählige Last um.
Im Brandfall wird es noch ernster, aber nicht dramatischer, sondern gerade darum so sorgfältig geregelt: Stahl verliert bei Hitze an Festigkeit. Schon bei etwa 600 °C ist die Streckgrenze auf rund die Hälfte gefallen (dieselbe Kurve, die in Kapitel 1 die Brandschutzbeplankung begründet) — die Grenze, die wir eben überschritten haben, sinkt beim Aufheizen also selbst weiter ab. Genau deshalb rechnet die Heißbemessung von Tragwerken nicht linear elastisch, sondern mit temperaturabhängigen Festigkeiten: Der Eurocode 3, Teil 1-2 (EN 1993-1-2) (CEN (Europäisches Komitee für Normung) 2005) legt fest, wie stark die Streckgrenze bei jeder Temperatur abzumindern ist, und daraus folgen die Feuerwiderstandsklassen R30/R60/R90. Was jenseits der Streckgrenze passiert — Plastizität — ist eine eigene, nichtlineare Welt, die dieses Buch nicht mehr betritt. Wir bleiben im elastischen Bereich und merken uns ehrlich: Für den eingespannten Träger im Brand liefert unsere lineare Rechnung die Warnung, nicht die letzte Zahl.
Und schließlich, wie stets in Teil V: Der 1D-Stab kann nur länger oder kürzer werden — keine Biegung, keine Querkontraktion, keine seitliche Ausbeulung. Genau eine neue Größe nach der anderen. Die Fläche, in der sich der Träger endlich verbiegt, beginnt im nächsten Kapitel.
Aluminium-Werkstoffdaten. 2024. Streckgrenze von Aluminium und Aluminiumlegierungen. Werkstoffkennwerte; reines Aluminium einige zehn N/mm², gaengige Konstruktionslegierungen (z. B. EN AW-6061 T6) rund 240–275 N/mm², hochfeste Luftfahrtlegierungen bis über 500 N/mm².
CEN (Europäisches Komitee für Normung). 2005. Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten – Teil 1-2: Allgemeine Regeln – Tragwerksbemessung für den Brandfall. EN 1993-1-2. CEN.
