Glossar
Die wichtigsten Begriffe des Buches, knapp erklärt und mit Verweis auf das Kapitel, in dem sie eingeführt werden. Bei Begriffen mit Herkunftsgeschichte (Steifigkeitsmatrix, Element, Assemblierung …) steht zusätzlich, woher der Name stammt — das Glossar wächst mit jedem fertigen Kapitel.
A
Ableitung — die Steigung eines Profils an einer einzelnen Stelle: der Wert, dem die Sekantensteigung \(\Delta T / \Delta x\) zuläuft, wenn man den Abstand \(h\) der beiden Punkte auf null schrumpfen lässt (5 Steigung und Fläche). Geschrieben \(\mathrm{d}T/\mathrm{d}x\) — „\(\Delta\), zu Ende gedacht”, mit demselben kleinen \(\mathrm{d}\) für ein unendlich klein gewordenes \(\Delta\). Beim Träger misst sie das Temperaturgefälle, das den Wärmestrom antreibt (6 Die Wärmeleitungsgleichung). Für Geraden ist sie überall gleich und exakt gleich der gewöhnlichen Steigung — deshalb braucht die FEM dieses Buches keinen Grenzwert-Apparat.
Ansatzfunktion (auch Formfunktion) — legt fest, wie zwischen den Knotenwerten interpoliert wird. In diesem Buch das Hütchen auf der Linie (7 Die schwache Form: von der Gleichung zur Federkette) und später das „Zelt” über Dreiecken (10 In die Fläche: Dreiecke). Der „Ansatz” ist die Grundentscheidung der FEM, die gesuchte Lösung als gewichtete Summe \(T(x) = \sum_j T_j N_j(x)\) anzusetzen — Knotenwerte \(T_j\) mal Ansatzfunktionen \(N_j\). Beim Galerkin-Verfahren (7 Die schwache Form: von der Gleichung zur Federkette) dienen dieselben Funktionen auch als Testfunktionen. Ihre entscheidende Eigenschaft: Am eigenen Knoten hat \(N_j\) den Wert 1, an allen anderen 0, und sie bilden zusammen eine „Zerlegung der Eins” (\(\sum_j N_j = 1\)) — deshalb reproduziert die FEM konstante und lineare Verläufe exakt.
Assemblierung — das Zusammensetzen der großen Systemmatrix aus den kleinen Elementmatrizen: Jeder Element-Baustein wird an die Stelle seiner Knoten in die Systemmatrix addiert. Wo zwei Elemente sich einen Knoten teilen, überlappen ihre Bausteine auf dessen Diagonalfeld, und ihre Beiträge summieren sich (bei der Federkette \(k + k = 2k\)) — eingeführt an der Federkette (3 Die Federkette). Das Wort stammt aus dem Maschinenbau (französisch assembler, zusammensetzen), wo man einzelne Bauteile zu einer Baugruppe fügt; die FEM übernahm es aus dem Flugzeugbau der 1950er.
B
Bandstruktur — die typische Gestalt einer FEM-Systemmatrix: Weil jeder Knoten nur mit seinen unmittelbaren Nachbarn zusammenhängt, drängen sich alle von null verschiedenen Zahlen dicht um die Diagonale, der weite Rest ist leer (3 Die Federkette). Eine solche dünn besetzte Matrix lässt sich viel schneller lösen als eine voll besetzte — 4 Gleichungssysteme lösen nutzt das aus. Druckt man die Nullen als Punkte, wird das Band unmittelbar sichtbar.
Baryzentrische Koordinaten (Flächenanteile) — das Fachwort für die drei Flächenanteile, mit denen man einen Punkt in einem Dreieck beschreibt: Verbindet man den Punkt mit den drei Ecken, zerfällt das Dreieck in drei Teildreiecke, und der Anteil einer Ecke ist die Fläche des Teildreiecks gegenüber von ihr, geteilt durch die Gesamtfläche (10 In die Fläche: Dreiecke). Die drei Anteile summieren sich zu 1 und dienen als Gewichte der linearen Interpolation zwischen den drei Eckwerten — genau wie die Streckenanteile des Hütchens in 1D. „Baryzentrum” ist griechisch-lateinisch für Schwerpunkt (barys = schwer); die Anteile sind die Gewichte, die man auf die Ecken legen müsste, damit ihr Schwerpunkt im Punkt läge. Eingeführt von August Ferdinand Möbius 1827 (Möbius 1827). Als Ortsfunktion betrachtet, ist der Anteil einer Ecke ihre Zeltfunktion (Ansatzfunktion des P1-Dreiecks).
Benchmark (Prüffall, Referenzfall) — eine Rechenaufgabe mit bekannter Antwort, an der man ein Programm misst: eine analytische Lösung, eine Labormessung oder das Ergebnis eines etablierten Codes (12 Traue keinem bunten Bild). Besteht die Software den Benchmark, darf man ihr auch bei Aufgaben ohne bekannte Antwort etwas mehr trauen. Die drei Benchmarks dieses Buches sind die Gerade (der Nulltest), die Parabel mit Wärmequelle und die transiente Abkühlkurve gegen die Reihenlösung. Profi-Programme pflegen ganze Benchmark-Sammlungen, die bei jeder Änderung automatisch nachgerechnet werden — etwa OpenGeoSys mit dem Thiem-Brunnentest (Kolditz u. a. 2012). Das Wort stammt aus der Landvermessung (englisch bench mark, die eingemeißelte Höhenmarke, an der man Messungen eicht).
Bilanz (Energiebilanz, Kontrollvolumen) — die Buchhaltung an einem herausgeschnittenen Stück (dem Kontrollvolumen): Was an Wärme hereinströmt, minus was hinausströmt, plus was im Inneren erzeugt wird, ergibt die Änderung des Gespeicherten (6 Die Wärmeleitungsgleichung). Im eingeschwungenen (stationären) Zustand ändert sich nichts mehr, also ist rein minus raus gleich null. Lässt man das Kontrollvolumen auf einen Punkt schrumpfen, wird aus der Bilanz die Wärmeleitungsgleichung. Das Wort „Kontrollvolumen” betont, dass man ein festes Raumstück ins Auge fasst und über seinen Rand Buch führt.
Bilineare Interpolation — die Interpolation auf einem achsparallelen Rechteck aus seinen vier Eckwerten: erst in \(x\)-Richtung auf Unter- und Oberkante interpolieren, dann in \(y\)-Richtung dazwischen (11 Rechtecke). „Bi” (zwei) plus „linear”: in jeder der beiden Richtungen einzeln geradlinig — auf jeder Kante also eine Gerade (das macht sie kantenkompatibel, sogar mit den Dreiecken aus 10 In die Fläche: Dreiecke). Im Inneren ist sie durch das gemischte Glied \(x\cdot y\) jedoch gekrümmt: eine Sattelfläche. Das ist der eigentliche Unterschied zur linearen Interpolation des P1-Dreiecks, deren Ansatzfläche eben bleibt. Die vier Ansatzfunktionen sind Produkte zweier Hütchen (eins in \(x\), eins in \(y\)); das Element heißt Q1-Rechteck.
D
Dehnung (\(\varepsilon\)) — die Längenänderung eines Bauteils im Verhältnis zu seiner Länge, \(\varepsilon = \Delta L/L\), eine dimensionslose Zahl (13 Der Träger dehnt sich: 1D-Thermomechanik). Sie misst die Streckung, nicht die Strecke: derselbe Wert für einen kurzen und einen langen Träger, wenn beide relativ gleich viel nachgeben. Weil die Werte klein sind, oft in Mikrostrain (\(10^{-6}\)) angegeben. Es gibt zwei Quellen: Ziehen (elastische Dehnung) und Erwärmen (Wärmedehnung \(\alpha\,\Delta T\)) — und für die Spannung zählt nur die Differenz der beiden, die „verhinderte” Dehnung. In der Analogie-Tafel (13 Der Träger dehnt sich: 1D-Thermomechanik) ist die Dehnung das mechanische Gegenstück zum Temperaturgefälle \(\mathrm{d}T/\mathrm{d}x\).
Delaunay-Triangulierung — das bekannteste Verfahren, aus einer Punktwolke automatisch ein Dreiecksnetz zu erzeugen: Es verbindet die Punkte so, dass die Dreiecke möglichst gedrungen werden (keine spitzen „Nadeln”), indem im Umkreis jedes Dreiecks kein weiterer Punkt liegt (10 In die Fläche: Dreiecke, nur als Namedrop). In diesem Buch schreiben wir unsere kleinen Netze von Hand; für echte, krumme Geometrien übernimmt ein Netzgenerator diese Aufgabe. Benannt nach Boris Delaunay (1890–1980), der das Kriterium 1934 formulierte (Delaunay 1934).
Diagonaldominant — Eigenschaft einer Matrix, bei der in jeder Zeile die Zahl auf der Diagonale betragsmäßig größer ist als der Rest der Zeile zusammen; bei der Federkette die \(200\) gegen zwei \(-100\) (4 Gleichungssysteme lösen). Sie kommt aus der Physik — ein Knoten reagiert stärker auf sich selbst als auf jeden einzelnen Nachbarn — und macht die FEM-Systeme gutartig: Man kann sie ohne Umsortieren (Pivotisierung) eliminieren, und Gauß-Seidel pendelt sich bei ihnen sicher ein.
Dichtekontinuum — ein Ersatzmodell, in dem jedes finite Element eine kontinuierliche Scheindichte und daraus einen E-Modul erhält. Poren und einzelne Trabekel werden nicht geometrisch aufgelöst; sie wirken nur über die lokalen Materialwerte. Das Remodeling in 17 Warum Knochen sich umbauen: FEM mit Rückkopplung erzeugt deshalb dichtere und weniger dichte Zonen, aber keine echten Knochenbälkchen.
Dirichlet-Randbedingung (wesentliche Randbedingung) — eine Randbedingung, die den Wert der gesuchten Größe am Rand vorgibt; beim Träger die festgehaltene Temperatur, etwa \(T_1 = 20\,°\mathrm{C}\) am kühlen Auflager (8 Randbedingungen). Sie muss dem Gleichungssystem aufgezwungen werden — durch Streichen der Zeile und Spalte des bekannten Knotens (Kapitel 3, 7) oder durch Ersetzen seiner Zeile durch die triviale Gleichung \(1\cdot T = 20\); beide Wege liefern dieselbe Lösung, Profi-Programme benutzen oft einen Strafterm. Ohne mindestens eine Dirichlet-Bedingung ist ein reines Wärmeleitproblem nur bis auf eine Konstante bestimmt (siehe isoliert, schwimmender Träger). „Wesentlich” heißt sie, weil man sie von Hand einbauen muss — Gegenstück zur natürlichen (Neumann-)Randbedingung. Benannt nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859), der die Wärmeleitung und die nach ihm benannte Randwertaufgabe untersuchte.
Differentialgleichung — eine Gleichung, in der nicht nur eine gesuchte Größe vorkommt, sondern auch ihre Ableitungen (Steigungen); gesucht ist darum keine einzelne Zahl, sondern eine ganze Funktion, die die Bedingung an jedem Punkt erfüllt (6 Die Wärmeleitungsgleichung). Die erste des Buches ist die stationäre Wärmeleitungsgleichung \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\lambda\, \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}) = 0\) — sie sucht das Temperaturprofil \(T(x)\), dessen Steigungen die Wärme-Bilanz überall aufgehen lassen. „Differential” steht für die Ableitung (das zu Ende geschrumpfte \(\Delta\), 5 Steigung und Fläche), „Gleichung” wie immer. Die FEM (7 Die schwache Form: von der Gleichung zur Federkette) ist die Maschine, die solche Gleichungen löst, wenn man sie nicht raten kann.
Diskretisierungsfehler — der Fehler, der allein daher rührt, dass die FEM mit endlich vielen Knoten und geraden Stücken rechnet statt mit dem unendlich fein aufgelösten echten Verlauf (12 Traue keinem bunten Bild). Er ist der einzige Fehler, den ein feineres Netz heilt — mit dem Viertelungs-Rhythmus der Konvergenz. In 1D trifft die FEM die Knoten sogar exakt; der Diskretisierungsfehler lebt dann ganz zwischen den Knoten, wo der Streckenzug die Kurve abschneidet. Streng zu trennen von Fehlern, die Verfeinern nicht heilt: eine vergessene Randbedingung, ein Einheiten- oder Vorzeichenfehler, ein Programmierfehler — die bleiben auf jedem Netz falsch (12 Traue keinem bunten Bild).
Dünn besetzt — Eigenschaft einer Matrix, deren allergrößter Teil aus Nullen besteht; nur wenige Felder tragen eine Zahl (4 Gleichungssysteme lösen). Die FEM-Systemmatrix ist dünn besetzt, weil jeder Knoten nur mit seinen unmittelbaren Nachbarn zusammenhängt — die belegten Zahlen drängen sich als schmales Band um die Diagonale (siehe Bandstruktur). Ein Löser, der die Nullen gar nicht erst anfasst (siehe Thomas-Algorithmus), spart dadurch fast die gesamte Rechenarbeit.
E
Einwegkopplung (Kopplung, Einbahnstraße) — die im Buch verwendete Verbindung zwischen zwei Physiken, bei der der Einfluss nur in eine Richtung läuft: Die Temperatur erzeugt über die Wärmeausdehnung eine Verformung und Spannung, aber die Verformung wirkt nicht auf die Temperatur zurück (13 Der Träger dehnt sich: 1D-Thermomechanik, 14 Der Träger verbiegt sich: 2D-Thermomechanik). Deshalb kann man erst das Wärmeproblem vollständig lösen und sein Ergebnis anschließend als feste Last in die Mechanik einsetzen — zwei getrennte Rechnungen statt einer verzahnten. Eine echte Kopplung in beide Richtungen (die Verformung ändert die Wärmeleitung) ist möglich, aber teurer; das Finale (15 Das große Finale) bleibt bewusst bei der Einbahnstraße (Strategie: bewusste Vereinfachungen).
Ebener Spannungszustand — die Modellannahme der 2D-Mechanik für ein dünnes, in die Tiefe freies Bauteil (ein Blech, unser \(0{,}1\ \mathrm{m}\)-Träger): Quer zur Zeichenebene baut sich keine Spannung auf (\(\sigma_{zz} = 0\)), das Material darf dort ungehindert dicker oder dünner werden (14 Der Träger verbiegt sich: 2D-Thermomechanik). Aus ihm folgt die \(3\times 3\)-Materialtabelle \(\frac{E}{1-\nu^2}\left(\begin{smallmatrix} 1 & \nu & 0\\ \nu & 1 & 0\\ 0 & 0 & \frac{1-\nu}{2}\end{smallmatrix}\right)\), die die drei Dehnungen mit den drei Spannungen verknüpft. Gegenstück ist der ebene Verzerrungszustand (plane strain): ein sehr langer Körper, der in die Tiefe nicht ausweichen kann (Tunnel, Staudamm, Schweißnaht) — dort ist die Dehnung quer null statt der Spannung, und die Tabelle sieht etwas anders aus. Die Verwechslung der beiden ist ein häufiger Praxisfehler; für den dünnen Träger dieses Buches ist der ebene Spannungszustand die richtige Wahl.
Elastizitätsmodul (E-Modul, \(E\)) — die Materialzahl im Hookeschen Gesetz \(\sigma = E\,\varepsilon\): wie viel Spannung ein Material für eine bestimmte Dehnung braucht, angegeben in GPa (13 Der Träger dehnt sich: 1D-Thermomechanik). Ein großes \(E\) heißt steif (Stahl \(210\ \mathrm{GPa}\)), ein kleineres nachgiebig (Aluminium \(70\ \mathrm{GPa}\)). Anders als die Federhärte \(k\) aus 3 Die Federkette ist \(E\) eine reine Materialeigenschaft, unabhängig von der Bauteilform. Im FEM-Gleichungssystem übernimmt \(E\) genau die Rolle, die bei der Wärme die Wärmeleitfähigkeit \(\lambda\) spielt — die Element-Steifigkeit ist \(k = E\,A/h\) statt \(\lambda A/h\) (Analogie-Tafel, 13 Der Träger dehnt sich: 1D-Thermomechanik). Im Englischen Young’s modulus, nach dem britischen Universalgelehrten Thomas Young (1773–1829), der die Steifigkeit um 1807 als bauteilunabhängige Kennzahl fasste (Young 1807).
Elementmatrix — der „Steckbrief” eines einzelnen finiten Elements: ein kleines, ordentlich aufgeschriebenes Gleichungssystem, das die Knoten des Elements verknüpft. Bei einer Feder ist es die 2×2-Tabelle \(\begin{pmatrix} k & -k\\ -k & k\end{pmatrix}\) (3 Die Federkette). Aus den vielen Elementmatrizen entsteht durch Assemblierung die große Systemmatrix. Der Begriff „Element” stammt aus dem Flugzeugbau der 1950er, wo man den Tragflügel in kleine, berechenbare Teilstücke zerlegte.
Elementintegral — das über ein einzelnes Element gerechnete Integral, aus dem die Einträge der Elementmatrix entstehen; bei der 1D-Wärmeleitung \(\int_{\text{Element}} \lambda A\, \frac{\mathrm{d}N_r}{\mathrm{d}x} \frac{\mathrm{d}N_c}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x\) (7 Die schwache Form: von der Gleichung zur Federkette). Weil die Hütchen-Steigungen über ein Element konstant sind (\(\pm 1/h\)), ist der Integrand konstant und das Integral eine bloße Rechteckfläche (Höhe mal Breite, 5 Steigung und Fläche) — so wird jeder Matrixeintrag zu Steigung × Steigung × \(\lambda A\) × Elementlänge. Die FEM rechnet grundsätzlich Element für Element und assembliert die Elementintegrale danach zur Systemmatrix.
Euler-Verfahren (expliziter und impliziter Euler) — die beiden einfachsten Wege, einen Zeitschritt zu machen (9 Jetzt mit Zeit). Der explizite Euler nimmt die Änderungsrate am jetzigen Zeitpunkt („neuer Wert = alter Wert + Zeitschritt × jetzige Rate”) — billig, aber nur unter der Stabilitätsgrenze brauchbar. Der implizite (auch rückwärtige) Euler setzt die Rate am neuen Zeitpunkt an und muss darum pro Schritt ein Gleichungssystem lösen — teurer, aber bei jedem Zeitschritt stabil. Benannt nach Leonhard Euler (1707–1783), dem Schweizer Mathematiker, der das Grundverfahren in seiner Institutiones calculi integralis (1768–1770) beschrieb (Euler 1768).
F
Freiheitsgrad — eine einzelne unbekannte Zahl, die das Gleichungssystem bestimmen muss; eine „Stellschraube” der Lösung (13 Der Träger dehnt sich: 1D-Thermomechanik, in 3 Die Federkette bewusst noch vertagt). Beim 1D-Träger trägt jeder Knoten einen Freiheitsgrad: seine Verschiebung \(u\) (beim Wärmeproblem die Temperatur \(T\)); fünf Knoten ergeben ein \(5\times 5\)-System. Ab 14 Der Träger verbiegt sich: 2D-Thermomechanik bekommt jeder Knoten in der Fläche zwei Freiheitsgrade (Verschiebung nach rechts und nach oben), und die Systeme verdoppeln sich. Die Zahl der Freiheitsgrade ist das Maß für Größe und Rechenkosten einer FEM-Rechnung.
Funktion — ein benannter, wiederverwendbarer Rechenweg im Python-Programm: Vorne gehen die Argumente hinein, hinten kommt hinter return ein Ergebnis heraus; jede Funktion des Buches trägt einen Docstring (2 Python von Null). Funktionen sind die „Kapitel eines Programms”; ab 7 Die schwache Form: von der Gleichung zur Federkette werden die FEM-Bausteine als Funktionen gebaut (baue_elementmatrix, loese_gleichungssystem).
Finites Element — eines der kleinen, einfachen Stücke, in die man das zu berechnende Objekt zerlegt; auf jedem gilt eine einfache, lokale Physik (1 Der Träger im Feuer). „Finite” (endlich) betont den Gegensatz zum unendlich fein verschmierten echten Material — man rechnet mit endlich vielen Stücken. Den Namen prägte Ray Clough 1960 (Clough 1960); die Sache selbst geht auf den Flugzeugbau der 1950er zurück (Turner u. a. 1956) (3 Die Federkette).
Flächenanteile — die drei Zahlen, die einen Punkt in einem Dreieck beschreiben: die Flächen der drei Teildreiecke (Punkt mit den Ecken verbunden), jede geteilt durch die Gesamtfläche (10 In die Fläche: Dreiecke). Sie summieren sich zu 1 und sind die Gewichte, mit denen zwischen den drei Eckwerten interpoliert wird — das flächenhafte Gegenstück zu den Streckenanteilen des Hütchens in 1D. Das Fachwort dafür ist baryzentrische Koordinaten; als Funktion des Ortes betrachtet, ist der Anteil einer Ecke ihre Zeltfunktion. Berechnet werden die Flächen mit der „halben Kreuzdifferenz” (Schulformel ohne Vektorprodukt).
Formänderungsenergiedichte (\(U\)) — die elastische Energie, die ein verformtes Bauteil je Volumen speichert, \(U=\tfrac12\,\sigma^{T}\varepsilon\) (Spannung mal Dehnung, halbiert wie die Federenergie \(\tfrac12 k x^2\)). Auf die Knochenmasse bezogen dient sie in Remodeling-Modellen als mechanischer Reiz (17 Warum Knochen sich umbauen: FEM mit Rückkopplung).
Fouriersches Gesetz — das Naturgesetz der Wärmeleitung: Die Wärmestromdichte ist proportional zum Temperaturgefälle und fließt vom Warmen zum Kalten, \(q = -\lambda\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\) (1 Der Träger im Feuer, ausführlich 6 Die Wärmeleitungsgleichung). Drei Teile: das Gefälle \(\mathrm{d}T/\mathrm{d}x\) (die Steigung aus 5 Steigung und Fläche) treibt den Strom, die Wärmeleitfähigkeit \(\lambda\) sagt, wie gut das Material leitet, und das Minuszeichen dreht die Richtung um — Wärme läuft dem Gefälle entgegen, „bergab” vom Warmen zum Kalten. Benannt nach Joseph Fourier, der die Wärmeleitung 1822 in seiner Théorie analytique de la chaleur mathematisch fasste (Fourier 1822).
G
Galerkin-Verfahren — die Ausprägung der Methode der gewichteten Reste, bei der die Testfunktionen dieselben sind wie die Ansatzfunktionen (die Hütchen): „Ansatz und Test aus demselben Baukasten” (7 Die schwache Form: von der Gleichung zur Federkette). Diese Wahl macht die Systemmatrix symmetrisch und ist der Standardweg der FEM. Benannt nach dem russischen Ingenieur Boris Galjorkin (1871–1945), der das Verfahren um 1915 an schwingenden Platten und Stäben entwickelte. Andere Wahlen der Testfunktionen liefern andere Verfahren (Punktproben → die Finite-Differenzen-Idee, Zellmittel → Finite Volumen).
Gewichtete Reste (Methode der) — das Grundrezept, eine Differentialgleichung näherungsweise zu erfüllen: Statt den Fehlbetrag der Gleichung (das Residuum) an jedem Punkt auf null zu zwingen — das ginge bei endlich vielen Knotenwerten nicht —, fordert man ihn nur im gewichteten Mittel null, und zwar einmal je Knoten mit dessen Hütchen als Gewicht (7 Die schwache Form: von der Gleichung zur Federkette). So viele Gewichte wie Knoten, so viele Gleichungen wie Unbekannte. Weil jedes Hütchen nur seine Nachbarschaft „befühlt”, wird die Matrix dünn besetzt. Die Galerkin-Wahl (Gewicht = Ansatzfunktion) ist der in diesem Buch verwendete Spezialfall.
Gauß-Elimination — das grundlegende Verfahren, ein lineares Gleichungssystem zu lösen: Erst macht man mit geschickten Zeilen-Kombinationen alle Zahlen unter der Diagonale zu null (leerräumen, bis eine Dreiecksform steht), dann rechnet man von unten nach oben eine Unbekannte nach der anderen aus (Rückwärtseinsetzen) — 4 Gleichungssysteme lösen. Es funktioniert für jedes lösbare System, kostet bei \(n\) Unbekannten aber rund \(n^3/3\) Rechenschritte. Benannt nach Carl Friedrich Gauß, der es in eine feste Form brachte.
Gauß-Seidel-Verfahren — ein iteratives Lösungsverfahren (Entspannungsverfahren): Statt das System in einem Zug zu lösen, korrigiert man Runde um Runde jeden Knotenwert in den Mittelwert seiner Nachbarn, bis sich nichts mehr merklich ändert; die Lösung „pendelt sich ein” (4 Gleichungssysteme lösen). Langsamer als Gauß bei kleinen Systemen, aber sparsam bei den großen 2D-Netzen (10 In die Fläche: Dreiecke). Benannt nach Carl Friedrich Gauß und Philipp Ludwig von Seidel.
Gleichungssystem — die vielen lokalen Element-Beziehungen, zu einem einzigen großen System aus Gleichungen zusammengesetzt; seine Lösung liefert die gesuchten Werte an allen Knoten auf einmal (1 Der Träger im Feuer, gebaut ab 3 Die Federkette, gelöst in 4 Gleichungssysteme lösen).
H
Homöostase — hier der Zustand, in dem ein stationäres Remodeling-Feld zugleich vollständig innerhalb der Totzone liegt. Ein bloß stationäres Feld kann dagegen nur wegen einer Dichtegrenze stehen bleiben, obwohl sein mechanischer Reiz weiter nach Aufbau oder Abbau verlangt (17 Warum Knochen sich umbauen: FEM mit Rückkopplung).
Hookesches Gesetz — das Kraftgesetz einer Feder: Die Kraft ist proportional zur Dehnung, \(F = k \cdot (u_2 - u_1)\), mit der Steifigkeit \(k\) als Proportionalitätszahl (3 Die Federkette). Es ist die einfache, lokale Physik, aus der die Elementmatrix einer Feder folgt. Benannt nach Robert Hooke, der den Zusammenhang im 17. Jahrhundert formulierte.
Hütchenfunktion — die konkrete Ansatzfunktion des 1D-Trägers: eine Dachform, die über ihrem eigenen Knoten auf 1 steht und zu beiden Nachbarn geradlinig auf 0 fällt, weiter draußen null (7 Die schwache Form: von der Gleichung zur Federkette). Anschaulich das Zuständigkeitsgebiet eines Knotens — nur dort, wo sein Hütchen ungleich null ist, hat er ein Wort mitzureden. Weil sich an jeder Stelle höchstens zwei Hütchen überlappen, wird jeder Punkt von höchstens zwei Knoten „regiert”; die Temperatur dazwischen ist ihre gewichtete Mischung (lineare Interpolation). In der Fläche wird aus dem Hütchen ein „Zelt” über Dreiecken (10 In die Fläche: Dreiecke).
I
Index — die Nummer eines Fachs in einer Liste, in eckigen Klammern geschrieben (temperaturen[0]). Python zählt ab null: Der erste Eintrag hat den Index 0, der letzte den Index len(...) - 1 (2 Python von Null). Der Index eines Knotens zieht sich durch das ganze Buch — er verbindet die Zahl in der Liste mit ihrem Ort auf dem Träger.
Integral — die Fläche unter einer Kurve: der Wert, dem die Summe immer schmalerer Rechteckstreifen zuläuft (5 Steigung und Fläche). Geschrieben \(\int T\,\mathrm{d}x\); das \(\int\) ist ein langgezogenes S für „Summe”, das \(\mathrm{d}x\) die Breite eines unendlich schmalen Streifens, \(T\) seine Höhe. Beim Träger ist die Fläche unter dem Temperaturprofil ein Maß für die gespeicherte Wärme (mal \(\rho\,c\,A\) ergibt sie Joule, 7 Die schwache Form: von der Gleichung zur Federkette). Für Geraden ist die Fläche ein Trapez und darum exakt ohne Grenzwert.
Isoliert — der Sonderfall der Neumann-Randbedingung mit Wärmestrom null: Über einen isolierten Rand fließt keine Wärme (8 Randbedingungen). Anschaulich eine perfekte Dämmschicht — die Thermoskanne, die Vakuum-Doppelwand. In der FEM ist das die eingebaute Standardannahme: Wer an einem Rand gar nichts vorgibt, lässt den geparkten Randterm aus 7 Die schwache Form: von der Gleichung zur Federkette auf seinem Wert null stehen und isoliert dieses Ende, ob gewollt oder nicht. Genau darum ist „nichts vorschreiben” nicht „alles offen lassen”, sondern eine harte physikalische Aussage. Mit links gehaltenen 20 °C, ohne Quelle und rechts isoliert läuft der ganze Träger auf 20 °C.
Isoparametrisch — der Standardtrick der Profi-FEM-Programme, um schiefe, verzerrte Vierecke (statt nur achsparalleler Rechtecke) zu berechnen: Man rechnet auf einem bequemen Referenzquadrat und benutzt dieselben vier bilinearen Ansatzfunktionen sowohl für die Lösung als auch für die Form des Elements — daher iso (griechisch „gleich”) parametrisch (11 Rechtecke, nur als Ausblick). Beim Umrechnen der Integrale aufs Referenzquadrat tritt ein Dehnungsfaktor auf (die Jacobi-Determinante), integriert wird mit Gauß-Quadratur. Für die achsparallelen Rechtecke dieses Buches ist das unnötig (die Integrale bleiben Produkte von 1D-Flächen), für krumme Ränder aber unverzichtbar.
I
Isotrop und anisotrop — isotrop heißt: Das Material verhält sich in jede Richtung gleich, ein einziger Elastizitätsmodul genügt — die Annahme dieses Buches für Stahl wie für Knochen. Anisotrop wäre richtungsabhängig, etwa faseriger Knochen, der längs steifer ist als quer. Der Femur in 16 Der Knochen als Träger: FEM in der Biologie wird bewusst isotrop gerechnet (benannte Vereinfachung).
Iteration — ein Rechenschritt, der wiederholt ausgeführt wird und sein eigenes Ergebnis als Ausgangspunkt der nächsten Wiederholung nimmt; jede Wiederholung heißt eine Runde. Iterative Verfahren nähern sich der Lösung schrittweise an, statt sie in einem Zug auszurechnen — das Gauß-Seidel-Verfahren ist das Beispiel dieses Buches (4 Gleichungssysteme lösen). Ein Abbruchkriterium legt fest, wann die Näherung gut genug ist (etwa: kein Wert ändert sich mehr um mehr als \(0{,}001\)).
K
Kerbwirkung (Spannungskonzentration) — die Erscheinung, dass die Spannung an einer plötzlichen Formänderung — einem Loch, einer Kante, einer scharfen Ecke — örtlich stark überhöht wird: Die Kraftlinien, die vorher gleichmäßig durch das Bauteil liefen, müssen sich um die Störung herumdrängen und rücken an ihren Rändern eng zusammen (15 Das große Finale). Je schärfer die Ecke, desto höher der Spitzenwert — ein runder Übergang entschärft die Kerbe, eine scharfe Ecke verschlimmert sie. Berüchtigtes Beispiel sind die im Zweiten Weltkrieg an ihren rechteckigen Ladeluken zerbrochenen Liberty-Schiffe (Sridhar 2016). In der FEM zeigt sich die Kerbwirkung als lokale Spannungsspitze, die ein grobes Netz unterschätzt — sie ist ein Musterfall für die Konvergenzprobe aus 12 Traue keinem bunten Bild.
Knoten — ein Punkt des Netzes (meist eine Ecke eines Elements), an dem der gesuchte Wert — beim Träger die Temperatur — tatsächlich gespeichert und ausgerechnet wird; zwischen den Knoten wird interpoliert (1 Der Träger im Feuer).
Kompakta (kortikaler Knochen, Knochenrinde) — die dichte, harte Außenschicht eines Knochens; mit rund 17 GPa die steifste Zone und im Modell die kortikale Randschale (16 Der Knochen als Träger: FEM in der Biologie). Gegenstück ist die Spongiosa.
Konvergenz (Konvergenzordnung, Viertelungs-Rhythmus) — die Eigenschaft einer FEM-Rechnung, dass ihr Diskretisierungsfehler gegen null geht, wenn das Netz feiner wird — und wie schnell (12 Traue keinem bunten Bild). Für die linearen Elemente dieses Buches gilt die zweite Ordnung: Halbiert man die Maschenweite \(h\), so viertelt sich der Fehler (\(2^2 = 4\)). Der Viertelungs-Rhythmus ist der praktische Test dafür — man rechnet dieselbe Aufgabe auf \(h\), \(h/2\), \(h/4\) und schaut, ob sich der Fehler brav viertelt; tut er das nicht, stimmt etwas nicht. Beim Zeitschritt des impliziten Euler-Verfahrens ist es nur erste Ordnung (Halbieren von \(\Delta t\) halbiert den Fehler) — „Zeit ist gröber als Raum”. Konvergenz sagt nichts über Richtigkeit: Ein Programm kann sauber konvergieren und trotzdem gegen die falsche Antwort laufen (siehe Verifikation).
L
Liste — eine geordnete Reihe von Werten unter einem einzigen Namen (Bild: ein Eierkarton mit nummerierten Mulden), in eckigen Klammern geschrieben (2 Python von Null). Die Liste ist im Buch das Bild für eine diskretisierte Größe: eine Zahl pro Knoten — die Temperatur, später die Verschiebung oder Kraft. Eine verschachtelte Liste (Liste von Listen) ist eine Tabelle bzw. Matrix (3 Die Federkette).
Löser — das Rechenverfahren, das das große Gleichungssystem knackt und die Knotenwerte bestimmt (1 Der Träger im Feuer). Dieses Buch baut drei: die Gauß-Elimination (allgemein, aber teuer), den Thomas-Algorithmus (für dünn besetzte Bandmatrizen, sehr schnell) und das iterative Gauß-Seidel-Verfahren (4 Gleichungssysteme lösen). Welchen man nimmt, entscheidet die Gestalt der Matrix und ihre Größe — bei einer Million Unbekannten liegen zwischen dem passenden und dem unpassenden Löser Jahre gegen Sekundenbruchteile.
Lumping (Mass Lumping) — das Zusammenklumpen der verteilten Massenmatrix zu einer reinen Diagonale: Die über ein Element verschmierte Wärmekapazität wird je zur Hälfte auf seine beiden Knoten geschoben, sodass jeder Knoten seinen eigenen „Eimer” bekommt und keine Kopplung zu den Nachbarn übrig bleibt (9 Jetzt mit Zeit). Vom englischen lump, der Klumpen: to lump together = in einen Topf werfen. Die Gesamtmasse bleibt erhalten (Zeilensumme unverändert). Der Gewinn: Der explizite Zeitschritt wird eine bloße Division je Knoten statt eines Gleichungssystems. Beim 1D-Träger bekommt jeder innere Knoten die volle Elementkapazität (9027,5 J/K), jeder Randknoten die halbe (4513,75 J/K).
M
Massenmatrix — die Matrix des Speicherterms einer transienten FEM-Rechnung: Sie wiegt ab, wie stark die zeitliche Temperaturänderung an einem Knoten in die Bilanz seiner Nachbarn hineinwirkt (9 Jetzt mit Zeit). Entsteht wie die Steifigkeitsmatrix aus der schwachen Form, nur mit dem Produkt zweier Hütchen statt ihrer Steigungen; ihr Vorfaktor ist die Wärmekapazität \(\rho c A h\). Exakt integriert („konsistent”) koppelt sie benachbarte Knoten; durch Lumping wird sie diagonal. Der Name stammt aus der Strukturmechanik, wo dieselbe Matrix die Trägheit der Masse beim Schwingen beschreibt — beim Wärmeproblem ist es die Trägheit der gespeicherten Wärme.
Mechanischer Reiz (\(S\)) — die gewichtete Formänderungsenergiedichte je Knochenmasse, im Remodeling-Modell \(S=(\sum_l p_lU_l)/\rho_\mathrm m\) in J/kg. Er ist eine mechanische Rückkopplungsgröße des Ersatzmodells, kein universeller biologischer Messwert (17 Warum Knochen sich umbauen: FEM mit Rückkopplung).
N
Mechanostat — der von Harold Frost geprägte biologische Rahmen für lastgesteuerten Knochenumbau: Wie ein Thermostat die Temperatur regelt, hält der Mechanostat die Knochenmasse nach dem mechanischen Reiz nach — Aufbau bei viel, Abbau bei wenig Belastung (17 Warum Knochen sich umbauen: FEM mit Rückkopplung). Siehe Remodeling, Wolffsches Gesetz.
Natürliche Randbedingung — eine Randbedingung, die sich schon aus der schwachen Form ergibt, ohne dass man ins Gleichungssystem eingreifen muss; bei der Wärmeleitung die Neumann-Bedingung (Fluss vorgeben), weil sie genau der Randterm der partiellen Integration ist (7 Die schwache Form: von der Gleichung zur Federkette, 8 Randbedingungen). Man baut sie durch einen bloßen Eintrag auf der rechten Seite ein. Der Fluss null („isoliert”) ist der Standardfall, der ganz von selbst gilt, wenn man nichts tut. Gegenstück: die wesentliche Randbedingung (Dirichlet), die man dem System aufzwingen muss.
Neumann-Randbedingung (natürliche Randbedingung) — eine Randbedingung, die den Fluss (die Steigung) am Rand vorgibt; beim Träger den eintretenden Wärmestrom, etwa den Brandherd mit \(200\,\mathrm{W}\) am rechten Ende (8 Randbedingungen). Sie ist genau der in 7 Die schwache Form: von der Gleichung zur Federkette geparkte Randterm und wandert darum als einzige Zahl auf die rechte Seite des Gleichungssystems — die Matrix bleibt unberührt. Der Sonderfall Fluss null ist der isolierte Rand. „Natürlich”, weil sie ohne Extra-Handgriff aus der schwachen Form folgt. Benannt nach Carl Gottfried Neumann (1832–1925), einem der Begründer der Potentialtheorie.
Netz — die Zerlegung der Geometrie in finite Elemente und Knoten. In 1D die Knotenkette auf der Linie, in der Fläche die Triangulierung in Dreiecke (10 In die Fläche: Dreiecke). Beschrieben wird es durch zwei Listen: eine Knotenliste (für jeden Knoten seine Koordinaten) und eine Elementliste (für jedes Element die Nummern seiner Eckknoten) — zusammen der „Bauplan”, den ein Programm liest. Ein feineres Netz (mehr Knoten) bildet die Wirklichkeit genauer ab, kostet aber mehr Rechenzeit (1 Der Träger im Feuer); wie viel genauer, misst 12 Traue keinem bunten Bild. Für echte, krumme Formen erzeugt ein Netzgenerator die Elementliste automatisch (siehe Delaunay-Triangulierung).
Nichtlokal — eine Rechengröße hängt nicht nur vom Zielelement selbst ab, sondern auch von einer räumlichen Nachbarschaft. In 17 Warum Knochen sich umbauen: FEM mit Rückkopplung wird der mechanische Reiz mit abstands- und flächengewichteten Nachbarelementen gemittelt; R = 0 schaltet diesen Filter als lokalen Kontrollfall aus.
Nulltest — der schärfste Verifikations-Prüffall: eine Aufgabe, deren exakte Lösung die FEM punktgenau treffen muss, weil sie im Ansatzraum liegt und darum keinen Diskretisierungsfehler zulässt (12 Traue keinem bunten Bild). Beim Träger ist es die Gerade ohne Wärmequelle: Die linearen Elemente stellen eine Gerade exakt dar, also muss die FEM auf jedem Netz exakt 20 → 300 Grad liefern. Jede noch so kleine Abweichung ist dann garantiert ein Programm- oder Randbedingungsfehler — es gibt keine gutmütige Ausrede. Nulltests sind auch das erste Werkzeug in der Thermomechanik (13 Der Träger dehnt sich: 1D-Thermomechanik): freie Wärmedehnung ohne Einspannung muss Spannung null ergeben. Sein blinder Fleck: Fehler, die die exakte Lösung nicht ändern (etwa ein falsches \(\lambda\) ohne Quelle), bleiben unsichtbar — dann hilft nur die Bilanz bzw. der Wärmestrom.
P
P1-Dreieck (lineares Dreieckselement) — das einfachste finite Element in der Fläche: ein Dreieck mit einem Knoten je Ecke und linearer Interpolation dazwischen (10 In die Fläche: Dreiecke). Das „P1” steht für Polynome vom Grad 1 — über dem Dreieck ist das Feld immer eine Ebene, sein Gradient darum konstant. Es ist das flächenhafte Gegenstück zum linearen Stab-Element in 1D (7 Die schwache Form: von der Gleichung zur Federkette); seine Ansatzfunktionen sind die Zeltfunktionen, seine Elementmatrix ist \(3\times 3\) und entsteht aus „Steigung mal Steigung mal Fläche”. Gegenstück in 11 Rechtecke ist das Q1-Rechteck (bilinear).
Partielle Integration — die Rechenregel, die im Buch als Umverteilung eingeführt wird: Sie nimmt einem Faktor eine Ableitung ab und legt sie dem anderen auf („die Steigungslast auf beide Schultern”), wobei ein Randterm entsteht (7 Die schwache Form: von der Gleichung zur Federkette). In der schwachen Form der Wärmeleitung verwandelt sie \(\int (\lambda A\,T')'\,N_i\,\mathrm{d}x\) in \(-\int \lambda A\,T'\,N_i'\, \mathrm{d}x\) plus Randterm — aus einer zweiten Ableitung von \(T\) werden zwei erste (je eine auf \(T\) und auf das Gewicht \(N_i\)). Genau das rettet den Streckenzug, dessen zweite Ableitung an den Knicken nicht existiert.
Q
Q1-Rechteck (bilineares Viereckselement) — das einfachste finite Element auf einem achsparallelen Rechteck: vier Knoten (einer je Ecke) und bilineare Interpolation dazwischen (11 Rechtecke). Das „Q” steht für quadrilateral (Viereck), die „1” für Grad 1 in jeder Richtung einzeln. Seine vier Ansatzfunktionen sind Produkte zweier Hütchen (eins in \(x\), eins in \(y\)); auf jeder Kante sind sie linear (kantenkompatibel), im Inneren durch das Glied \(x\cdot y\) zur Sattelfläche gekrümmt. Die Elementmatrix ist \(4\times 4\) und zerfällt in Produkte von 1D-Integralen (Steigung mal Steigung in der einen Richtung, Hütchen-Überlapp in der anderen). Im Gegensatz zum P1-Dreieck koppelt es auch diagonal benachbarte Knoten — auf dem Rechteckgitter ein 9-Punkt-Stern (das Dreieck: 5 Punkte). Gegenstück ist das P1-Dreieck aus 10 In die Fläche: Dreiecke; für schiefe Vierecke wird es isoparametrisch verallgemeinert.
Querkontraktion (Querkontraktionszahl, Poisson-Zahl \(\nu\)) — das seitliche Ausweichen eines Materials: Drückt man einen Radiergummi zusammen, wird er dicker; zieht man an einem Gummiband, wird es dünner (14 Der Träger verbiegt sich: 2D-Thermomechanik). Die Querkontraktionszahl \(\nu\) misst das Verhältnis „seitliches Einschnüren geteilt durch Längsdehnung”, eine reine Zahl zwischen \(0\) und \(\tfrac{1}{2}\): Kork \(\approx 0\) (deshalb lässt sich ein Korken eindrücken, ohne zu klemmen), Metalle um \(0{,}3\) (unser Stahl \(0{,}30\)), Gummi \(\approx 0{,}5\) (weicht vollständig aus, Volumen bleibt gleich — dort bekommt die Standard-FEM Schwierigkeiten). Sie ist die eine neue Physik-Zutat, die 2D-Mechanik von drei nebeneinandergelegten 1D-Stäben unterscheidet: Sie koppelt die Richtungen \(x\) und \(y\) in der \(3\times 3\)-Materialtabelle des ebenen Spannungszustands. Benannt nach Siméon Denis Poisson (1781–1840), der den Effekt um 1829 beschrieb (Poisson 1829). Wichtig: Die thermische Krümmung \(\alpha\,\Delta T/H\) enthält kein \(\nu\) — die Querkontraktion macht die Buchhaltung reicher, ist aber nicht der Motor der Biegung.
R
Randbedingung — was am Rand des Gebiets vorgegeben ist und das im Inneren gültige Gleichungssystem erst lösbar macht (1 Der Träger im Feuer, Thema von 8 Randbedingungen). Drei Grundtypen: Dirichlet (Temperatur/Wert vorgeben, die wesentliche), Neumann (Wärmestrom/Fluss vorgeben, die natürliche) und Robin (Übergang, eine Mischung). Beim Träger sind es die fest gehaltene Temperatur links (20 °C) und der Brandherd oder Isolierung rechts. Faustregel: Ohne mindestens eine Dirichlet-Bedingung schwimmt das Wärmeproblem (nur bis auf eine Konstante bestimmt); ein Rand, über den man nichts sagt, ist nicht offen, sondern isoliert. Randbedingungen sind der häufigste Anwenderfehler — dafür die Checkliste „Randbedingungs-Review” in 8 Randbedingungen.
Robin-Randbedingung (Übergangs-, Konvektionsrandbedingung) — eine Randbedingung, bei der der Fluss linear von der Temperatur selbst abhängt: \(Q = \alpha\,A\,(T - T_\mathrm{Umgebung})\), mit dem Wärmeübergangskoeffizienten \(\alpha\) (8 Randbedingungen, angewendet ab 15 Das große Finale). Sie ist eine Mischung aus Dirichlet und Neumann: für sehr großes \(\alpha\) wird das Ende auf die Umgebungstemperatur gepresst (Dirichlet), für \(\alpha = 0\) fließt nichts (isolierter Neumann). Weil ein Teil von der gesuchten Temperatur abhängt, wandert er teils in die Matrix (auf die Diagonale des Randknotens), teils auf die rechte Seite. Sie beschreibt die realistische Luftkühlung. Benannt nach Victor Gustave Robin (1855–1897), französischer Mathematiker mit Arbeiten zur Thermodynamik; die Zuschreibung gilt historisch als nicht ganz gesichert (Gustafson und Abe 1998), der Name hat sich aber eingebürgert.
Rückwärtseinsetzen — die zweite Phase der Gauß-Elimination, „die Ernte”: Steht das System erst in Dreiecksform, rechnet man von der letzten Gleichung nach oben eine Unbekannte nach der anderen aus, jede aus den schon bekannten darüber (4 Gleichungssysteme lösen). Beim Thomas-Algorithmus ist es die Rückwärtswelle, die von rechts nach links durch das Band läuft.
Remodeling (Knochenumbau) — der lebenslange Auf- und Abbau von Knochen als Antwort auf mechanische Belastung. Als FEM-Rückkopplung formuliert: Dichte → E-Modul → Rechnung → Reiz → neue Dichte (17 Warum Knochen sich umbauen: FEM mit Rückkopplung). Siehe Mechanostat, Wolffsches Gesetz.
Residuum (Rest) — der Fehlbetrag einer Differentialgleichung, wenn man eine genäherte Lösung einsetzt: Wäre die Näherung exakt, wäre das Residuum überall null (7 Die schwache Form: von der Gleichung zur Federkette). Weil endlich viele Knotenwerte das nicht an jedem Punkt schaffen, verlangt die Methode der gewichteten Reste nur, dass das Residuum im Mittel gegen jedes Gewicht (jede Testfunktion) verschwindet — der verbleibende Fehler wird in die Richtungen abgedrängt, die der grobe Ansatzraum ohnehin nicht darstellen kann.
S
Sattelfläche (hyperbolisches Paraboloid) — die doppelt gekrümmte Form der bilinearen Ansatzfläche des Q1-Rechtecks: in der einen Diagonalrichtung durchhängend, in der anderen aufgewölbt — wie ein Reitsattel, ein Gebirgspass oder ein Kartoffelchip (11 Rechtecke). Sie entsteht allein aus dem gemischten Glied \(x\cdot y\), das die vier Eckwerte im Inneren verbindet; auf den Kanten selbst bleibt der Verlauf gerade. Genau diese Krümmung unterscheidet das Rechteck von den zwei ebenen Dreiecksplatten, in die man es zerschneiden könnte — und sie macht den bilinearen Wert unabhängig von einer willkürlichen Schnittdiagonale.
Schachbrettmuster — ein unphysikalischer Wechsel hoher und niedriger Elementwerte auf Netzskala. Bei einem rein lokalen Dichteupdate kann die Rückkopplung benachbarte Dreiecke gegeneinander treiben; ein stationäres buntes Muster ist dann noch kein belastbares Ergebnis. 17 Warum Knochen sich umbauen: FEM mit Rückkopplung prüft und dämpft den Hochfrequenzanteil mit einem nichtlokalen Reizfilter.
Scheindichte (\(\rho\), apparent density) — die Masse eines Knochenstücks bezogen auf sein Gesamtvolumen (Material und Poren), in g/cm³. Sie steht am Ende der kalibrierten Kette CT-Wert → Aschedichte → Scheindichte und liefert über das Morgan-Gesetz den Elastizitätsmodul (16 Der Knochen als Träger: FEM in der Biologie). Eine rohe Bildgraustufe ist noch keine Scheindichte.
Schleife — eine Anweisung „tu das Folgende mit jedem Eintrag der Reihe nach”; in Python die for-Schleife (2 Python von Null). Die häufigste Schleife des Buches bildet eine laufende Summe (summe = summe + wert) — genau das, was das mathematische Summenzeichen \(\Sigma\) auf Papier bedeutet.
Schubverzerrung (Schub, \(\gamma_{xy}\)) — die dritte der drei ebenen Dehnungen: nicht ein Strecken, sondern ein Kippen des rechten Winkels (14 Der Träger verbiegt sich: 2D-Thermomechanik). Ein aufgemaltes Quadrat wird dabei zum Parallelogramm, ohne breiter oder höher zu werden — die senkrechten Linien neigen sich. \(\gamma_{xy}\) misst, um wie viel der ursprünglich rechte Winkel von 90° abweicht. Zusammen mit den beiden Streckungen \(\varepsilon_{xx}\) (in \(x\)) und \(\varepsilon_{yy}\) (in \(y\)) bildet sie das vollständige „Messprotokoll” der Verformung eines Materialstücks. Ihre zugehörige Spannung ist die Schubspannung \(\tau_{xy}\), die tangential an einer Schnittfläche zerrt. Bei der Wärmedehnung ist der Schub null — Wärme kippt keinen Winkel, sie bläht gleichmäßig auf.
Schwache Form — die Gestalt der Differentialgleichung nach der partiellen Integration, in der nur noch einfache Ableitungen der gesuchten Funktion vorkommen (7 Die schwache Form: von der Gleichung zur Federkette). „Schwach”, weil sie weniger verlangt als die ursprüngliche („starke”) Form: statt einer zweiten Ableitung an jedem Punkt nur ein gewichtetes Mittel erster Ableitungen. Gerade diese mildere Forderung macht sie mit dem eckigen Streckenzug verträglich, dessen zweite Ableitung an den Knicken stirbt — die schwache Form ist der Trick, mit dem die FEM überhaupt erst rechnen kann.
Sekante — die Verbindungsgerade zweier Punkte einer Kurve; ihre Steigung ist der Differenzenquotient \(\Delta T / \Delta x\) (5 Steigung und Fläche). Lässt man die beiden Punkte zusammenrücken, wird aus der Sekante die Tangente, aus ihrer Steigung die Ableitung. Der Name kommt von lateinisch secare, schneiden — die Sekante schneidet die Kurve in zwei Punkten.
Simulation — das Nachrechnen eines Stücks Wirklichkeit im Computer, bevor oder ohne dass es in echt geschieht; im Kern immer: zerlegen, lokal rechnen, zusammensetzen und lösen (1 Der Träger im Feuer).
Spannung (\(\sigma\)) — die innere Kraft pro Querschnittsfläche in einem belasteten Bauteil, \(\sigma = F/A\), in N/mm² (= MPa; 13 Der Träger dehnt sich: 1D-Thermomechanik). Ein Minuszeichen heißt Druck, ein Plus Zug. Über das Hookesche Gesetz hängt sie an der Dehnung (\(\sigma = E\,\varepsilon\)), genauer an der Kernformel \(\sigma = E\,(\varepsilon - \alpha\,\Delta T)\): Spannung entsteht nur aus dem verhinderten Teil der Dehnung, nicht aus der Wärme an sich. Nicht mit dem E-Modul (in GPa) verwechseln — \(1\ \mathrm{GPa} = 1000\ \mathrm{N/mm^2}\). Sie ist das mechanische Gegenstück zum Wärmestrom (Analogie-Tafel, 13 Der Träger dehnt sich: 1D-Thermomechanik); frei gelagert bleibt der erwärmte Träger spannungsfrei, beidseitig fest steht er unter \(\sigma = -E\,\alpha\,\Delta T\).
Spongiosa (trabekulärer Knochen, Bälkchenknochen) — der schwammartige, poröse Innenknochen aus feinen Trabekeln; je nach Scheindichte rund 0,6 bis 7 GPa steif (Morgan-Gesetz). Gegenstück ist die Kompakta (16 Der Knochen als Träger: FEM in der Biologie).
Stabilität — die Eigenschaft eines Zeitschrittverfahrens, dass sich kleine Fehler von Schritt zu Schritt nicht aufschaukeln (9 Jetzt mit Zeit). Sie ist eine Eigenschaft des Verfahrens, nicht der Physik: Der explizite Euler ist nur unterhalb einer scharfen Grenze \(\Delta t_{\max} = h^2\rho c/(2\lambda)\) stabil — darüber explodiert die Lösung in wachsende Zickzack-Ausschläge. Der implizite Euler ist bei jedem Zeitschritt stabil. Wichtig: Stabilität ist nicht Genauigkeit — ein stabiler, aber grober impliziter Schritt bleibt beschränkt, verschmiert aber die Front.
Starrkörpermode — eine Bewegung, die ein Bauteil als Ganzes ausführt, ohne seine Form zu ändern — und die darum keine Kraft und keine Spannung erzeugt (14 Der Träger verbiegt sich: 2D-Thermomechanik). In der Fläche gibt es drei: nach rechts schieben, nach oben schieben, drehen. Weil das Material sie nicht „spürt”, hat die Steifigkeitsmatrix für sie kein Rückstellvermögen — ein Bauteil ohne ausreichende Lager ist deshalb nicht berechenbar, es schwimmt davon (der Gauß-Löser stolpert über eine Null, Gauß-Seidel driftet weiter). Es ist die 2D-Fassung des schwimmenden Trägers aus 8 Randbedingungen (dort schwamm das Wärmeproblem in einer Richtung, weil nur die Höhe des Profils frei war). Genug Lager sperren alle drei Moden und machen das System eindeutig; die kleinstmögliche solche Lagerung heißt statisch bestimmt („gerade genug festhalten”).
Stationär (eingeschwungen) — der Zustand, in dem sich zeitlich nichts mehr ändert: Die Temperatur an jeder Stelle bleibt stehen, weil an jedem Stück gleich viel Wärme herein- wie hinausströmt (die Bilanz geht auf, 6 Die Wärmeleitungsgleichung). Gegenstück ist der transiente Zustand, in dem sich der Träger noch aufheizt (1 Der Träger im Feuer) und ein Speicherterm hinzukommt (9 Jetzt mit Zeit). Vom lateinischen stare, stehen — im stationären Zustand „steht” das Profil.
Steifigkeit — die Zahl \(k\), die sagt, wie stark sich ein Bauteil einer Verformung widersetzt: Eine steife Feder (großes \(k\)) gibt unter derselben Kraft weniger nach als eine weiche (3 Die Federkette). Beim Träger wird aus der mechanischen Steifigkeit später die Wärmeleitfähigkeit — dieselbe Rolle im Gleichungssystem.
Steifigkeitsmatrix — die große Systemmatrix einer FEM-Rechnung, in der alle Element-Steifigkeiten zusammengesetzt (assembliert) sind; ihre Zeilen sind die Kraft-Gleichungen der Knoten (3 Die Federkette). Der Name stammt aus dem Flugzeugbau der 1950er, wo das Verfahren direct stiffness method (Methode der direkten Steifigkeit) hieß (Turner u. a. 1956). Sie ist in aller Regel dünn besetzt (siehe Bandstruktur).
Steigung — wie stark sich eine Größe pro zurückgelegter Strecke ändert: beim Temperaturprofil der Temperaturunterschied geteilt durch den Ortsunterschied, \(\Delta T / \Delta x\), in °C/m (5 Steigung und Fläche). Anschaulich das Steigungsdreieck (Höhe durch Breite). Für eine Gerade überall gleich und exakt; für eine krumme Kurve hängt sie vom Ort ab und wird dort zur Ableitung.
T
Tangente — die Gerade, die eine Kurve in einem Punkt nur berührt, statt sie zu schneiden; sie ist die Grenzlage der Sekante, wenn deren zwei Punkte zusammenrücken (5 Steigung und Fläche). Ihre Steigung ist die Ableitung an diesem Punkt. Der Name kommt von lateinisch tangere, berühren.
Testfunktion (auch Gewichtsfunktion, Wichtungsfunktion) — das Gewicht, mit dem die Methode der gewichteten Reste das Residuum mittelt: Jede Testfunktion „befühlt” den Fehlbetrag in ihrem Trägergebiet und erzwingt „Fehler im gewichteten Mittel = null” (7 Die schwache Form: von der Gleichung zur Federkette). Es gibt so viele Testfunktionen wie Knoten, darum so viele Gleichungen wie Unbekannte. Nimmt man als Testfunktionen dieselben Hütchen wie für den Ansatz, heißt das Verfahren Galerkin (Standardweg der FEM); andere Wahlen (Punktimpulse, Zellkästen) erzeugen die Finite-Differenzen- bzw. Finite-Volumen-Methode.
Thermische Kraft — die rechte Seite des Stab-Gleichungssystems in der Thermomechanik: das Kraftpaar \(\pm E\,A\,\alpha\,\Delta T\), mit dem ein erwärmtes Element seine beiden Knoten auseinanderdrückt (13 Der Träger dehnt sich: 1D-Thermomechanik). Sie übersetzt die Wärmedehnung in eine Last — man hält das Element gedanklich auf Länge (dabei entsteht die Druckspannung \(-E\,\alpha\,\Delta T\)) und nimmt diese Haltekraft dann wieder weg. \(\Delta T\) ist die mittlere Übertemperatur des Elements über der spannungsfreien Referenz. An inneren Knoten heben sich die thermischen Kräfte benachbarter Elemente teilweise auf; nur ihre Differenz bleibt — deshalb ist der gleichmäßig erwärmte freie Träger spannungsfrei. Das Gegenstück zur Wärmequelle auf der rechten Seite des Wärmeproblems.
Thomas-Algorithmus — ein besonders schneller Löser für tridiagonale Gleichungssysteme (nur Diagonale und ihre beiden Nachbarn tragen Zahlen). Er ist die Gauß-Elimination, die von vornherein weiß, dass außerhalb des schmalen Bandes nur Nullen stehen, und diese gar nicht erst anfasst: eine Vorwärtswelle räumt das Band leer, eine Rückwärtswelle erntet (4 Gleichungssysteme lösen). Dadurch kostet er nur \(\approx 8n\) statt \(n^3/3\) Rechenschritte — der Bandlöser des 1D-Trägers ab 7 Die schwache Form: von der Gleichung zur Federkette. Benannt nach dem britischen Physiker Llewellyn H. Thomas, der ihn 1949 beschrieb (Thomas 1949).
Totzone — das Intervall kleiner Reizabweichungen, in dem eine Remodeling-Regel die Dichte nicht verändert. In 17 Warum Knochen sich umbauen: FEM mit Rückkopplung gilt \(|\bar S/S_0-1|\leq\delta\): Außerhalb folgt Abbau oder Aufbau, innerhalb ist die Antwort null. Die Totzone ist ein transparenter Modellparameter, keine direkt gemessene biologische Zeitschwelle.
Triangulierung — die Zerlegung einer Fläche in Dreiecke; das flächenhafte Netz der FEM (10 In die Fläche: Dreiecke). Sie ist der Bauplan aus Knotenliste und Dreiecksliste: welche Knoten wo liegen und welche drei ein Dreieck bilden. Weil sich benachbarte Dreiecke eine Kante samt ihrer beiden Eckknoten teilen, passen sie nahtlos zusammen (Kantenkompatibilität). Von Hand für kleine Netze, automatisch per Delaunay-Triangulierung für große.
Tridiagonal — die Gestalt einer Matrix, die nur auf der Hauptdiagonale und den beiden Nebendiagonalen direkt daneben Zahlen trägt, sonst überall null; das schmalste Band überhaupt (4 Gleichungssysteme lösen). Die Systemmatrix einer Federkette und eines 1D-Trägers ist tridiagonal — genau die Form, die der Thomas-Algorithmus blitzschnell löst.
V
Validierung — die zweite der beiden Prüf-Fragen: „Löse ich die richtigen Gleichungen?” — bildet das Modell die Wirklichkeit ab? (12 Traue keinem bunten Bild). Sie vergleicht die Rechnung mit Messungen an echten Bauteilen und deckt Fehler auf, die keine noch so saubere Rechnung findet: ein weggelassener Effekt (Wärmeverlust an die Luft, temperaturabhängiges Material), eine falsche Annahme, ein zu einfaches Modell. Gegenstück zur Verifikation: Erst verifizieren (rechne ich richtig?), dann validieren (rechne ich das Richtige?). Dieses Buch verifiziert gründlich, validiert aber nicht — echte Messdaten sind sein Ausblick, nicht sein Stoff (Roache 1998).
Verifikation — die erste der beiden Prüf-Fragen: „Löse ich die Gleichungen richtig?” — rechnet das Programm die gewählte Mathematik korrekt, ohne Programmier-, Einheiten- oder Randbedingungsfehler? (12 Traue keinem bunten Bild). Ihre Werkzeuge sind rein rechnerisch und brauchen kein Labor: analytische Benchmarks (der Nulltest, die Parabel, die Reihenlösung), die Konvergenzprobe (Viertelungs-Rhythmus) und die Energiebilanz. Sie ist die wichtigste Berufsfähigkeit dieses Buchteils: Bunt ist kein Beweis — ein FEM-Programm liefert immer ein plausibles Farbbild, auch wenn es falsch rechnet. Gegenstück ist die Validierung (rechne ich das Richtige?). Die Trennung der beiden Begriffe geht auf Patrick Roache zurück (Roache 1998).
Voigt-Schreibweise — eine bloße Sortierregel, kein Konzept: Sie schreibt die drei ebenen Dehnungen als Spalte \((\varepsilon_{xx}, \varepsilon_{yy}, \gamma_{xy})\) und die drei Spannungen als Spalte \((\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \tau_{xy})\) — immer in dieser Reihenfolge (14 Der Träger verbiegt sich: 2D-Thermomechanik). Der Nutzen ist rein praktisch: So wird aus dem Hookeschen Gesetz der Fläche eine handliche \(3\times 3\)-Materialtabelle, mit der ein Programm rechnen kann. Sie ersetzt die umständlichere Tabellen-in-Tabellen-Schreibweise (den „Tensor”), die dieses Buch bewusst vermeidet. Benannt nach dem Physiker Woldemar Voigt (1850–1919), der die Notation in seiner Kristallphysik einführte.
W
Wärmeausdehnung (Wärmeausdehnungskoeffizient \(\alpha\)) — die Materialzahl, um wie viel sich ein Stoff pro Grad Temperaturerhöhung dehnt: die freie Wärmedehnung ist \(\varepsilon_{\text{therm}} = \alpha\,\Delta T\), mit \(\alpha\) in \(1/\mathrm{K}\) (13 Der Träger dehnt sich: 1D-Thermomechanik). Für unseren Stahl \(12\cdot 10^{-6}\), zum Vergleich Aluminium \(23\cdot 10^{-6}\) und Fensterglas \(9\cdot 10^{-6}\) — Metalle dehnen sich deutlich stärker als Glas. Die Wärmedehnung entsteht ohne Kraft: Ein frei liegender Träger dehnt sich spannungsfrei. Dass Stahl und Beton fast dasselbe \(\alpha\) haben, ist der Grund, warum Stahlbeton hält — und warum unser Träger und die Betondecke über ihm sich im Gleichtakt ausdehnen. Zusammen mit dem E-Modul bildet \(\alpha\) das Produkt \(E\,\alpha\), das die Einspann-Spannung \(-E\,\alpha\,\Delta T\) bestimmt.
Wärmeleitfähigkeit (\(\lambda\)) — die Materialzahl im Fourierschen Gesetz, die sagt, wie gut ein Stoff Wärme leitet, in W/(m·K) (6 Die Wärmeleitungsgleichung). Die Spanne ist riesig: Kupfer rund 400, Aluminium 200, unser Baustahl etwa 50, rostfreier Edelstahl nur 15, Holz 0,15, ruhende Luft nur 0,026 — Metalle leiten tausendfach besser als Dämmstoffe. Bei gleichem Temperaturgefälle treibt ein großes \(\lambda\) einen entsprechend großen Wärmestrom. Im Gleichungssystem der FEM übernimmt \(\lambda\) die Rolle, die bei der Federkette die Steifigkeit \(k\) spielte.
Wärmeleitungsgleichung — die Differentialgleichung der Wärmeleitung, in diesem Buch zuerst im stationären Fall \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (\lambda\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}) = 0\) (6 Die Wärmeleitungsgleichung). Sie ist die Wärme-Bilanz „rein gleich raus”, auf jeden Punkt heruntergeschrumpft, und sagt in Worten: Der Wärmestrom ist überall gleich. Ihre Lösung im homogenen Träger ist eine Gerade. 9 Jetzt mit Zeit fügt den Speicherterm (die Zeit) hinzu, 7 Die schwache Form: von der Gleichung zur Federkette löst sie mit der FEM.
Wärmestrom — die Wärme, die pro Sekunde durch eine Fläche strömt, in Watt (= Joule pro Sekunde); die Wärmestromdichte \(q\) ist derselbe Strom pro Quadratmeter Querschnitt, in W/m² (6 Die Wärmeleitungsgleichung). Er wird vom Temperaturgefälle getrieben (Fouriersches Gesetz): Durch unseren eingeschwungenen Träger fließen 140 W. Nicht zu verwechseln mit der gespeicherten Wärmemenge (Joule, 5 Steigung und Fläche) — der Wärmestrom ist der Durchsatz, nicht der Vorrat.
Z
Wolffsches Gesetz — die klassische Beobachtung (Julius Wolff, 19. Jahrhundert), dass sich die innere Architektur des Knochens an die Belastung anpasst: Material entsteht, wo Kraft fließt, und schwindet, wo keine wirkt. Der moderne rechnerische Rahmen dafür ist der Mechanostat, die FEM-Umsetzung das Remodeling (17 Warum Knochen sich umbauen: FEM mit Rückkopplung).
Zeitkonstante (\(\tau\)) — die natürliche Zeitskala, auf der sich ein Vorgang abspielt; beim Träger \(\tau = L^2\rho c/\lambda\), für unseren Stahlträger rund 72 220 s ≈ 20 Stunden (9 Jetzt mit Zeit). Sie fällt aus der Wärmeleitungsgleichung selbst und sagt, wie lange das Aufheizen bis zum stationären Zustand ungefähr dauert. Das \(L^2\) bedeutet: Ein doppelt so langer Träger braucht viermal so lange. Weil \(\tau\) in Stunden liegt, zeigen alle Animationen des Buches Zeitraffer.
Zeitschritt (\(\Delta t\)) — der Sprung in der Zeit, mit dem ein transienter Vorgang Stück für Stück vorgerechnet wird (9 Jetzt mit Zeit). Aus dem Startzustand macht ein Euler-Verfahren Schritt um Schritt neue Zustände. Beim expliziten Euler ist \(\Delta t\) an die Maschenweite gefesselt (die Stabilitätsgrenze \(\propto h^2\)); beim impliziten Euler ist er frei wählbar, nur die Genauigkeit setzt ihm eine Grenze. Kleiner Zeitschritt = genauer, aber mehr Schritte.
Zeltfunktion (Ansatz-/Formfunktion des P1-Dreiecks) — die flächenhafte Fortsetzung des Hütchens aus 7 Die schwache Form: von der Gleichung zur Federkette: die Funktion, die über ihrem eigenen Knoten auf 1 steht und über jedes anliegende Dreieck geradlinig auf 0 an den Nachbarknoten abfällt (10 In die Fläche: Dreiecke). Setzt man die schrägen Dreiecksflächen aller Dreiecke zusammen, die an einem Knoten hängen, entsteht ein „Zelt”. Als Ortsfunktion betrachtet, ist die Zeltfunktion eines Knotens gerade sein Flächenanteil (seine baryzentrische Koordinate). Weil jede Zeltfläche eben ist, hat sie über jedem Dreieck konstante Steigungen — daraus wird die 3×3-Elementmatrix des P1-Dreiecks gebaut.