6  Die Wärmeleitungsgleichung

Stell dir dein Girokonto vor. Sein Stand ändert sich nie aus dem Nichts — er ändert sich nur durch Zugänge und Abgänge: Gehalt kommt rein, Miete geht raus. Steht am Monatsende dieselbe Zahl da wie am Anfang, dann muss über den Monat genau so viel reingekommen sein, wie rausgegangen ist. Keine Buchung ist verschwunden; die Bilanz geht auf.

Ein Trägerstück ist ein solches Konto, nur dass darauf Wärme liegt. Wärme fließt vom Brandherd herein, Wärme fließt zum kühlen Auflager hin wieder hinaus. Und wenn sich am Träger nichts mehr ändert — wenn er eingeschwungen ist, wie es in Kapitel 1 hieß —, dann muss durch jedes noch so kleine Stück gleich viel Wärme hinein- wie herausfließen. Sonst würde sich das Stück ja aufheizen oder abkühlen, und genau das tut es im eingeschwungenen Zustand nicht mehr.

Diese schlichte Buchhaltung, aufgeschrieben für jedes Stück des Trägers gleichzeitig, ist die Wärmeleitungsgleichung — die erste Differentialgleichung dieses Buches. Sie sieht am Ende gelehrt aus, aber sie sagt nichts Komplizierteres als: „rein gleich raus, überall”. Dieses Kapitel baut sie Stück für Stück aus dieser einen Idee auf. Und es beantwortet endlich die Frage aus dem allerersten Kapitel: Warum ist das eingeschwungene Temperaturprofil eine Gerade — und die Mitte exakt 160 °C?

Lernziele

Nach diesem Kapitel kannst du …

1. … Fouriers Gesetz \(q = -\lambda \cdot \mathrm{d}T/\mathrm{d}x\) in Worten erklären (Wärme fließt bergab, das Gefälle treibt den Strom) und mit Einheiten zu einer Zahl in Watt ausrechnen,
2. … die Energiebilanz an einem Trägerstück aufstellen — rein minus raus ist im Gleichgewicht null,
3. … daraus die stationäre Wärmeleitungsgleichung gewinnen und jeden ihrer Bausteine physikalisch benennen,
4. … begründen, warum das eingeschwungene Profil im homogenen Träger eine Gerade sein muss (und mit dem Bilanz-Prüfer selbst nachweisen, dass nur die Gerade die Bilanz erfüllt),
5. … erklären, was eine Differentialgleichung von einer gewöhnlichen Gleichung unterscheidet: Gesucht ist eine ganze Funktion, keine einzelne Zahl.

WarnungNaheliegende Vermutung

Vermutung: „Direkt neben dem Brandherd (300 °C) ist der Träger fast überall heiß — die Wärme staut sich dort, und erst ganz links wird es schlagartig kühl.”

Warum sie naheliegt: Am heißen Ende steckt die Wärme ja hinein, und Wärme „braucht Zeit”, um sich zu verteilen. Es liegt nahe, sich einen heißen Klumpen am Brandherd vorzustellen, der nach links hin ausfranst.

Was stattdessen stimmt: Im eingeschwungenen Zustand ist das Profil eine perfekte Gerade von 20 °C bis 300 °C — die Mitte liegt exakt bei 160 °C, kein Stau, keine Beule. Der Grund ist die Bilanz: Jeder Stau würde an einer Stelle ein steileres Gefälle erzeugen, und ein steileres Gefälle treibt sofort mehr Wärme ab (Fouriers Gesetz), bis der Stau wieder verschwunden ist. Das rechnen wir in diesem Kapitel nach — und in Kapitel 12 messen wir es am fertigen Programm nach.

6.1 Fouriers Gesetz: das Gefälle treibt den Strom

Fang mit einer Alltagserfahrung an. Du hältst einen Metalllöffel in eine heiße Suppe. Nach einer Weile wird das Griffende warm — Wärme ist durch das Metall gewandert, von heiß (in der Suppe) nach kalt (in deiner Hand). Zwei Dinge weißt du aus Erfahrung, ohne je eine Formel gesehen zu haben:

• Je größer der Temperaturunterschied, desto stärker der Wärmestrom. Ein Löffel in kochender Suppe wird schneller heiß als einer in lauwarmem Tee.
• Je nach Material fließt die Wärme leicht oder schwer. Der Metalllöffel wird heiß; ein Holzlöffel im selben Topf bleibt am Griff angenehm kühl.

Genau diese beiden Erfahrungen fasst das Fouriersche Gesetz in eine Formel. Es ist das Naturgesetz hinter der wandernden Wärme aus Kapitel 1, und es sagt, wie stark die Wärme an einer Stelle fließt:

\[ \underbrace{q}_{\text{Wärmestromdichte}} \;=\; -\,\lambda \cdot \underbrace{\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}}_{\text{Temperaturgefälle}}. \]

Lies das Stück für Stück. Das \(\mathrm{d}T/\mathrm{d}x\) ist die Steigung des Temperaturprofils — genau die Ableitung, die wir in Kapitel 5 mit dem Steigungsdreieck erarbeitet haben: um wie viel Grad die Temperatur pro Meter fällt oder steigt. Das ist der erste Erfahrungssatz: Ein steiles Gefälle (große Steigung) treibt viel Wärme. Der Buchstabe \(\lambda\) (griechisch „Lambda”) ist die Wärmeleitfähigkeit des Materials — das ist der zweite Erfahrungssatz: Metall leitet gut (großes \(\lambda\)), Holz schlecht (kleines \(\lambda\)). Und das Minuszeichen — dazu gleich mehr — sagt nur, in welche Richtung die Wärme fließt: bergab, vom Warmen zum Kalten.

Die Größe \(q\) links heißt Wärmestromdichte: die Wärme, die pro Sekunde durch einen Quadratmeter Querschnittsfläche strömt, gemessen in Watt pro Quadratmeter (\(\mathrm{W/m^2}\)). Ein Watt ist ein Joule pro Sekunde — es ist also ein Strom, ein Durchsatz, nicht eine gespeicherte Menge. Das ist der Unterschied zur Fläche unter der Kurve aus Kapitel 5: Die maß die gespeicherte Wärme (Joule); \(q\) misst den fließenden Nachschub (Joule pro Sekunde).

6.1.1 Jedes Material hat sein \(\lambda\)

Die Wärmeleitfähigkeit \(\lambda\) ist eine Materialeigenschaft, so wie die Dichte oder die Farbe. Man schlägt sie in einer Tabelle nach. Abbildung 6.1 stellt ein paar Werte nebeneinander — und die Spannweite ist gewaltig.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

stoffe = ["Luft\n(ruhend)", "Holz", "Edelstahl", "Baustahl\n(S235)",
          "Aluminium", "Kupfer"]
lam = [0.026, 0.15, 15.0, 50.0, 200.0, 400.0]
farben = ["#cfe8f3", "#c8a06a", "#b8bcc0", "tab:blue", "#9aa0a6", "#d98452"]

fig, ax = plt.subplots(figsize=(9.0, 3.8))
ax.barh(range(len(stoffe)), lam, color=farben, edgecolor="black", lw=0.6)
ax.set_yticks(range(len(stoffe)))
ax.set_yticklabels(stoffe)
ax.set_xscale("log")
ax.set_xlim(0.015, 900)
ax.set_xlabel("Wärmeleitfähigkeit λ in W/(m·K) — logarithmische Achse")
ax.set_title("Wie gut ein Stoff Wärme leitet")
for i, wert in enumerate(lam):
    text = ("%.3f" % wert) if wert < 1 else ("%.0f" % wert)
    ax.text(wert * 1.15, i, text, va="center", fontsize=10)
ax.invert_yaxis()
plt.tight_layout()
plt.show()

Abbildung 6.1: Wärmeleitfähigkeit λ einiger Stoffe, in W/(m·K), auf einer logarithmischen Achse (jeder Schritt nach rechts ist Faktor zehn). Von Luft bis Kupfer liegen mehr als vier Zehnerpotenzen — Kupfer leitet Wärme rund fünfzehntausendmal besser als ruhende Luft. Unser Baustahl (50, hervorgehoben) ist ein guter Leiter im mittleren Feld; Aluminium leitet noch viermal besser, der Edelstahl der Übung 6.3 dagegen mehr als dreimal schlechter. Holz und Luft sind Dämmstoffe. Genau deshalb ist der Kochtopf aus Metall und sein Griff aus Holz.

Was man hier sieht: Die Achse ist logarithmisch — sonst würde man neben der 400 von Kupfer die 0,026 von Luft gar nicht mehr erkennen. Metalle (Edelstahl, Baustahl, Aluminium, Kupfer) leiten hundert- bis zehntausendmal besser als Holz oder Luft. Unser Träger aus Baustahl mit \(\lambda = 50\ \mathrm{W/(m\,K)}\) sitzt im mittleren Feld: ein guter, aber kein überragender Wärmeleiter. Auffällig ist, wie weit die beiden Stähle auseinanderliegen — der rostfreie Edelstahl leitet mit etwa 15 mehr als dreimal schlechter als unser Baustahl; diesen Unterschied nutzen wir in Übung 6.3 aus. Dass ausgerechnet ruhende Luft so schlecht leitet, ist übrigens der ganze Trick jeder Dämmung — von der Daunenjacke bis zur Doppelverglasung: Sie sperren Luft in kleine Kammern und nutzen ihr winziges \(\lambda\).

HinweisDie Einheit von λ, kurz erklärt

Warum \(\mathrm{W/(m\,K)}\)? Die Einheit fällt aus Fouriers Gesetz heraus. Links steht \(q\) in \(\mathrm{W/m^2}\), rechts das Gefälle \(\mathrm{d}T/\mathrm{d}x\) in Kelvin pro Meter (\(\mathrm{K/m}\)). Damit die Gleichung aufgeht, muss \(\lambda\) die Einheit tragen, die aus \(\mathrm{K/m}\) wieder \(\mathrm{W/m^2}\) macht:

\[ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m^2}} \;=\; \lambda \cdot \frac{\mathrm{K}}{\mathrm{m}} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m^2}} \cdot \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{K}} = \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m\,K}}. \]

(Ein Temperaturunterschied in Grad Celsius ist derselbe Zahlenwert wie in Kelvin — eine Differenz von 10 °C ist eine Differenz von 10 K —, deshalb stehen im Gefälle wahlweise °C/m oder K/m.)

6.1.2 Das Minuszeichen heißt „bergab”

Über kein Zeichen dieses Gesetzes stolpern Anfänger so oft wie über das Minus. Es ist aber ganz harmlos: Es sorgt nur dafür, dass die Wärme in die richtige Richtung fließt. Abbildung 6.2 macht es sichtbar.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots(figsize=(9.0, 3.8))
x = np.array([0.0, 1.0])
T = np.array([20.0, 300.0])
ax.plot(x, T, color="tab:orange", lw=2.6)
ax.plot(x, T, "o", color="tab:orange", ms=11, markeredgecolor="black",
        zorder=5)
ax.text(0.0, 8, "20 °C\n(kalt)", ha="center", va="top", fontsize=10)
ax.text(1.0, 308, "300 °C\n(Brandherd)", ha="center", va="bottom", fontsize=10)

# Steigungspfeil (bergauf, nach rechts)
ax.annotate("", xy=(0.62, 20 + 280 * 0.62), xytext=(0.38, 20 + 280 * 0.38),
            arrowprops=dict(arrowstyle="->", color="tab:green", lw=2.4))
ax.text(0.5, 130, "Temperatur\nsteigt\n(dT/dx > 0)", color="tab:green",
        ha="center", fontsize=10)

# Waermestrompfeil (bergab, nach links)
ax.annotate("", xy=(0.18, 250), xytext=(0.82, 250),
            arrowprops=dict(arrowstyle="->", color="tab:red", lw=3.0))
ax.text(0.5, 262, "Wärme fließt bergab (nach links)", color="tab:red",
        ha="center", fontsize=11)

ax.set_xlim(-0.1, 1.1)
ax.set_ylim(0, 320)
ax.set_xlabel("Ort entlang des Trägers (m)")
ax.set_ylabel("Temperatur (°C)")
ax.set_title("Warum das Minuszeichen? Wärme läuft dem Gefälle entgegen")
plt.tight_layout()
plt.show()

Abbildung 6.2: Das Minuszeichen als Richtungspfeil. Das Temperaturprofil steigt nach rechts an (dorthin sitzt der Brandherd), die Steigung dT/dx ist also positiv. Der Wärmestrom aber zeigt nach links, vom Heißen zum Kalten — er ist dem Gefälle entgegengesetzt. Genau das leistet das Minuszeichen: Aus der positiven Steigung wird ein nach links gerichteter (negativer) Strom. Wärme fließt bergab, wie Wasser.

Was man hier sieht: Zwei Pfeile, die in verschiedene Richtungen zeigen. Der grüne folgt der Temperatur bergauf nach rechts zum Brandherd — die Steigung \(\mathrm{d}T/\mathrm{d}x\) ist positiv. Der rote Wärmestrom aber läuft nach links, weg vom Brandherd, zum kühlen Auflager. Strom und Gefälle zeigen entgegengesetzt, und das Minuszeichen dreht genau das eine ins andere um: Aus der positiven Steigung macht es einen nach links gerichteten Strom. Merke dir das Bild vom Wasser: Es fließt von selbst bergab, nie bergauf. So auch die Wärme.

6.1.3 Der Wärmestrom durch unseren Träger — eine anfassbare Zahl

Jetzt setzen wir zum ersten Mal echte Zahlen ein — das Standard-Handbeispiel dieses Buches im eingeschwungenen Zustand: links steckt der Träger im kühlen Auflager und wird dort bei \(T_\text{links} = 20\ °\mathrm{C}\) gehalten, rechts hält der Brandherd das Ende auf \(T_\text{rechts} = 300\ °\mathrm{C}\). Der Träger ist \(L = 1\ \mathrm{m}\) lang, aus Baustahl (\(\lambda = 50\ \mathrm{W/(m\,K)}\)), und sein Querschnitt ist quadratisch: 0,1 m hoch und 0,1 m breit, also eine Fläche von

\[ A \;=\; 0{,}1\ \mathrm{m} \times 0{,}1\ \mathrm{m} \;=\; 0{,}01\ \mathrm{m^2}. \]

(Dasselbe \(A\) hat schon Kapitel 5 benutzt, als es aus der Fläche unter der Kurve die gespeicherte Wärme in Joule ausrechnete — der Träger bleibt derselbe.)

Weil das Profil eingeschwungen eine Gerade ist (das beweisen wir gleich, hier nehmen wir es vorweg), ist das Gefälle überall dasselbe. Wir bekommen es mit dem Steigungsdreieck aus Kapitel 5 — Höhe durch Breite, exakt und ohne Grenzwert:

\[ \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} \;=\; \frac{T_\text{rechts} - T_\text{links}}{L} \;=\; \frac{300 - 20}{1{,}0} \;=\; 280\ \frac{\mathrm{K}}{\mathrm{m}}. \]

Die Temperatur fällt (von rechts gesehen) um 280 Grad je Meter. Fouriers Gesetz macht daraus die Wärmestromdichte — wir rechnen mit dem Betrag und merken uns die Richtung („nach links”) getrennt:

\[ q \;=\; \lambda \cdot \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} \;=\; 50 \cdot 280 \;=\; 14\,000\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m^2}}. \]

Das ist die Dichte — pro Quadratmeter, also 14 Kilowatt durch jeden Quadratmeter Querschnitt. Unser Träger ist aber viel dünner als ein Quadratmeter; durch seinen Querschnitt \(A = 0{,}01\ \mathrm{m^2}\) fließt entsprechend weniger:

\[ I \;=\; q \cdot A \;=\; 14\,000 \cdot 0{,}01 \;=\; 140\ \mathrm{W}. \]

140 Watt — das ist eine Zahl, die man anfassen kann. So viel Wärme strömt Sekunde für Sekunde durch den Träger, vom Brandherd zum kühlen Auflager. Zum Vergleich: So viel Leistung gibt eine helle, altmodische Glühbirne ab, oder ungefähr so viel Wärme, wie ein Mensch bei zügiger körperlicher Arbeit an seine Umgebung abgibt. Der ganze Träger schaufelt also ununterbrochen die Wärmeleistung eines arbeitenden Menschen vom heißen zum kühlen Ende weiter — und weil er eingeschwungen ist, kommt am Auflager exakt so viel an, wie am Brandherd hineingeht. Sonst würde er sich ja erwärmen.

Gießen wir Fouriers Gesetz in reines Python — zwei kurze Funktionen, die genau die Handrechnung nachvollziehen:

WAERMELEITFAEHIGKEIT = 50.0      # Baustahl S235, W/(m K)
QUERSCHNITT_M2 = 0.1 * 0.1       # 0,1 m x 0,1 m = 0,01 m^2


def waermestromdichte(gefaelle):
    """Fouriers Gesetz: Waermestromdichte q aus dem Temperaturgefaelle.

    gefaelle: Temperaturunterschied pro Meter (K/m), als Betrag bergab.
    Rueckgabe: Waerme pro Sekunde und Quadratmeter (W/m^2).
    """
    return WAERMELEITFAEHIGKEIT * gefaelle


def waermestrom(gefaelle, flaeche):
    """Gesamter Waermestrom durch eine Querschnittsflaeche (Watt).

    gefaelle: Temperaturgefaelle (K/m).
    flaeche: Querschnittsflaeche des Traegers (m^2).
    Rueckgabe: Waermestrom in Watt (Joule pro Sekunde).
    """
    return waermestromdichte(gefaelle) * flaeche


gefaelle = (300.0 - 20.0) / 1.0
print("Temperaturgefaelle: %.0f K/m" % gefaelle)
print("Waermestromdichte q: %.0f W/m^2" % waermestromdichte(gefaelle))
print("Waermestrom I durch den Traeger: %.0f W" % waermestrom(gefaelle, QUERSCHNITT_M2))

Temperaturgefaelle: 280 K/m
Waermestromdichte q: 14000 W/m^2
Waermestrom I durch den Traeger: 140 W

Interpretation der Ausgabe: dieselben drei Zahlen wie in der Handrechnung — Gefälle 280 K/m, Dichte 14 000 W/m², Strom 140 W. Die Funktion waermestrom tut nichts anderes, als das Gefälle mit \(\lambda\) und der Fläche zu multiplizieren; Fouriers Gesetz ist eine einzige Multiplikation. Merke dir diese 140 W — sie kehren gleich in der Bilanz wieder.

HinweisDas Auflager als Wärmesenke

Wir tun im ganzen Kapitel so, als bliebe das linke Ende des Trägers unerschütterlich bei 20 °C — egal, wie lange der Brand schon lodert. Ist das ehrlich? Ja, und zwar aus einem handfesten Grund. Das linke Ende steckt tief im Auflager, in der massiven, kühlen Außenwand aus Mauerwerk und Beton. Diese Wand ist ein gewaltiger Wärmespeicher: Tonnen von Material, die bei Raumtemperatur liegen und über eine große Fläche mit dem übrigen Bauwerk und der Außenluft verbunden sind.

Die 140 W, die der Träger ankarrt, sind für eine solche Masse eine Lächerlichkeit — sie fließen in die Wand hinein und verlaufen sich darin, ohne sie merklich zu erwärmen; das Auflager schluckt diesen Strom mühelos. Deshalb dürfen wir das kühle Ende als festgehaltene Temperatur behandeln: 20 °C, komme, was wolle. Eine so vorgeschriebene Temperatur an einem Rand heißt später Dirichlet-Randbedingung (Kapitel 8) — und das Auflager ist ihr ehrlichstes Beispiel: eine Wärmesenke, die nimmt, ohne selbst warm zu werden. (Erst über sehr lange Zeit — Stunden, viele Brandlasten — würde auch das Auflager langsam anziehen; für unser eingeschwungenes Handbeispiel bleibt es kühl.)

6.2 Die Bilanz am Trägerstück

Jetzt kommt die eigentliche Idee des Kapitels: die Buchhaltung. Wir schneiden aus dem Träger ein Stück heraus und führen für dieses Stück Kontobuch über die Wärme — was hereinkommt, was hinausgeht.

Nimm dazu unseren Träger mit den fünf Knoten aus Kapitel 1 und Kapitel 5: an den Orten \(0,\ 0{,}25,\ 0{,}5,\ 0{,}75,\ 1{,}0\ \mathrm{m}\), mit dem Abstand \(h = 0{,}25\ \mathrm{m}\). Betrachte den mittleren Knoten (bei \(0{,}5\ \mathrm{m}\)) und schneide ein Stück um ihn herum frei — von seinem linken bis zu seinem rechten Nachbarn. Abbildung 6.3 zeigt diesen Freischnitt: das ist die Schlüsselgrafik dieses Kapitels.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots(figsize=(9.0, 4.2))

# Das freigeschnittene Stueck als Kasten
ax.add_patch(plt.Rectangle((0.25, 0.0), 0.5, 1.0, facecolor="#fde8d0",
                           edgecolor="black", lw=1.5))
ax.text(0.5, 0.5, "Trägerstück\num den Knoten\nbei 0,5 m", ha="center",
        va="center", fontsize=11)

# Knotenmarkierungen
for xk in [0.25, 0.5, 0.75]:
    ax.plot(xk, 0.0, "o", color="tab:blue", ms=10, markeredgecolor="black",
            clip_on=False, zorder=6)
ax.text(0.25, -0.12, "160 °C… \n(Nachbar links)", ha="center", va="top",
        fontsize=9)
ax.text(0.75, -0.12, "…(Nachbar rechts)", ha="center", va="top", fontsize=9)

# Waermestrom rein (von rechts)
ax.annotate("", xy=(0.80, 0.72), xytext=(1.05, 0.72),
            arrowprops=dict(arrowstyle="->", color="tab:red", lw=3.0))
ax.text(0.92, 0.85, "rein: 140 W", color="tab:red", ha="center", fontsize=12)
ax.text(1.06, 0.72, "vom\nBrandherd", color="tab:red", ha="left",
        va="center", fontsize=9)

# Waermestrom raus (nach links)
ax.annotate("", xy=(-0.05, 0.72), xytext=(0.20, 0.72),
            arrowprops=dict(arrowstyle="->", color="tab:red", lw=3.0))
ax.text(0.075, 0.85, "raus: 140 W", color="tab:red", ha="center", fontsize=12)
ax.text(-0.06, 0.72, "zum\nkühlen\nAuflager", color="tab:red", ha="right",
        va="center", fontsize=9)

ax.text(0.5, 1.18, "Bilanz:  rein − raus  =  140 − 140  =  0",
        ha="center", fontsize=13, color="black",
        bbox=dict(boxstyle="round", facecolor="#e8f5e9", edgecolor="tab:green"))

ax.set_xlim(-0.15, 1.15)
ax.set_ylim(-0.35, 1.35)
ax.axis("off")
plt.tight_layout()
plt.show()

Abbildung 6.3: Ein Trägerstück um den mittleren Knoten (0,5 m), freigeschnitten. Von rechts (der heißen Seite) strömt Wärme herein, nach links (zur kühlen Seite) strömt sie hinaus. Auf der eingeschwungenen Geraden ist beides gleich groß — 140 W rein, 140 W raus. Das Konto ist ausgeglichen: Der Knoten heizt sich nicht auf. Genau diese Bilanz, für jedes Stück gefordert, ist die Wärmeleitungsgleichung.

Was man hier sieht: ein Konto mit einer Buchung rein und einer raus. Von rechts, der heißen Seite, strömen 140 W in das Stück hinein; nach links, zur kühlen Seite, strömen 140 W wieder hinaus. Beide sind gleich groß, also ist die Bilanz null — das Stück sammelt keine Wärme an und verliert keine, seine Temperatur bleibt stehen. Das ist die Bedingung des eingeschwungenen Zustands, auf ein einzelnes Trägerstück heruntergebrochen.

Woher kommen die beiden 140 W? Aus Fouriers Gesetz, angewandt auf die beiden Ränder des Stücks. Der hereinströmende Strom ist der durch das rechte Element (zwischen dem Knoten und seinem rechten Nachbarn), der hinausströmende der durch das linke Element. Jeder ist \(\lambda\) mal Gefälle mal Fläche — und weil auf der Geraden das Gefälle überall dasselbe ist (280 K/m), sind beide Ströme gleich 140 W. Genau das prüfen wir gleich mit dem Programm für beliebige Profile nach.

TippWarum gerade der eingeschwungene Zustand?

Solange sich der Träger noch aufheizt (die transiente Phase aus Kapitel 1), stimmt die Bilanz nicht: Dann kommt an manchen Stücken mehr rein als raus, und die Differenz heizt das Stück auf — es lädt sein Konto auf. Dieses Aufladen ist ein eigener Term (der Speicherterm), und ihn nehmen wir uns erst in Kapitel 9 vor („Jetzt mit Zeit”). In diesem Kapitel bleiben wir beim eingeschwungenen Zustand, wo sich nichts mehr ändert und die Bilanz sauber auf null aufgeht. Ein schweres Ding nach dem anderen.

6.2.1 Das Stück schrumpfen lassen

Bisher war unser Stück \(0{,}5\ \mathrm{m}\) breit (von 0,25 bis 0,75 m). Aber die Bilanz muss für jedes Stück gelten, egal wie breit — und egal, wo wir schneiden. Also machen wir dasselbe, was in Kapitel 5 aus der Sekante die Tangente gemacht hat: Wir lassen die Breite des Stücks schrumpfen. Wir denken das Steigungsdreieck zu Ende.

Nenn die Breite des Stücks \(\Delta x\). Die Bilanz sagt: Der Wärmestrom, der links hineingeht, ist gleich dem, der rechts herauskommt —

\[ \underbrace{q(x)}_{\text{Strom bei } x} \;=\; \underbrace{q(x + \Delta x)}_{\text{Strom bei } x+\Delta x}. \]

In Worten: Die Wärmestromdichte \(q\) hat am linken Rand des Stücks denselben Wert wie am rechten Rand. Das heißt aber nichts anderes, als dass sich \(q\) über das Stück nicht ändert. Und wenn das für jedes noch so schmale Stück an jeder Stelle gilt, dann ändert sich \(q\) nirgends — \(q\) ist entlang des ganzen Trägers konstant. Mit dem Steigungs-Werkzeug aus Kapitel 5 geschrieben: Die Steigung von \(q\) ist überall null,

\[ \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}x} \;=\; 0. \]

Das ist die Bilanz „zu Ende gedacht” — dasselbe Muster wie beim Schrumpfen des Sekantenabstands, nur diesmal auf den Wärmestrom angewandt. Jetzt setzen wir noch Fouriers Gesetz ein, \(q = -\lambda\,\mathrm{d}T/\mathrm{d}x\), und bekommen die stationäre Wärmeleitungsgleichung:

\[ \boxed{\; \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \lambda \, \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} \right) \;=\; 0 \;} \]

(Das Minuszeichen aus Fouriers Gesetz fällt weg, weil null mal minus eins immer noch null ist.) Übersetzen wir jeden Baustein einzeln zurück ins Anschauliche:

• \(\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\) ist das Temperaturgefälle — wie steil das Profil an einer Stelle fällt (das Steigungsdreieck aus Kapitel 5).
• \(\lambda\,\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\) ist (bis aufs Vorzeichen) der Wärmestrom an dieser Stelle — Fouriers Gesetz.
• \(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(\dots\bigr)\) fragt, wie sich dieser Strom entlang des Trägers ändert — die Steigung des Stroms.
• \(= 0\) verlangt, dass sich der Strom nirgends ändert — genau die Bilanz „rein gleich raus” an jedem Punkt.

Die ganze Gleichung sagt also wörtlich: „Der Wärmestrom ist überall gleich.” Mehr steckt nicht dahinter. Sie sieht nur deshalb ehrfurchtgebietend aus, weil zwei Steigungen ineinander verschachtelt sind — erst die des Profils (macht den Strom), dann die des Stroms (die null sein soll).

WichtigWas ist hier eigentlich gesucht?

Halt kurz inne und vergleiche mit den Gleichungen aus Kapitel 3 und Kapitel 4. Dort war die Lösung eine Zahl (oder eine Handvoll Zahlen: die Knotenwerte). Hier ist die Lösung eine ganze Funktion \(T(x)\) — eine Temperatur an jedem Ort des Trägers, unendlich viele Werte auf einmal.

Genau das macht den Unterschied zwischen einer gewöhnlichen Gleichung und einer Differentialgleichung. Eine gewöhnliche Gleichung wie \(2u = 6\) sucht eine Zahl (\(u = 3\)). Eine Differentialgleichung stellt eine Bedingung an die Steigungen einer gesuchten Funktion und fragt: Welche Funktion erfüllt diese Bedingung überall? Das Wort verrät es: „Differential” von der Ableitung (dem geschrumpften \(\Delta\)), „Gleichung” wie immer. Es ist eine Gleichung, in der Ableitungen vorkommen — und gesucht ist die Funktion, die sie wahr macht.

6.3 Lösen durch Probieren: die Gerade

Wie löst man eine Differentialgleichung? Es gibt ganze Bücher voller Methoden dafür — und wir brauchen keine einzige davon. Für unsere Gleichung genügt Probieren: Wir raten eine Funktion, setzen sie ein und schauen, ob die Bilanz aufgeht. Das ist erlaubt und sogar ehrlich — wenn eine geratene Funktion die Gleichung und die Randwerte erfüllt, ist sie die Lösung.

Unsere Vermutung liegt nach allem, was wir gesehen haben, auf der Hand: eine Gerade. Probieren wir eine Gerade von 20 °C links auf 300 °C rechts. Für eine Gerade ist das Gefälle \(\mathrm{d}T/\mathrm{d}x\) überall dasselbe (280 K/m, Kapitel 5). Dann ist auch der Wärmestrom \(\lambda\,\mathrm{d}T/\mathrm{d}x\) überall derselbe (140 W durch den Querschnitt). Und wenn der Strom überall derselbe ist, dann ändert er sich nirgends —

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\text{konstanter Strom}) \;=\; 0. \]

Die Bilanz geht auf, an jeder Stelle. Die Gerade erfüllt die Wärmeleitungsgleichung. Und die beiden Randwerte — 20 °C erzwungen links, 300 °C erzwungen rechts — legen fest, welche Gerade es ist: die eine, die genau durch diese beiden Punkte läuft. Damit ist die Lösung eindeutig.

Jetzt können wir die Vermutung vom Kapitelanfang endgültig widerlegen.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

orte = [0.0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.0]
temp = [20.0, 90.0, 160.0, 230.0, 300.0]

fig, ax = plt.subplots(figsize=(9.0, 4.2))
ax.plot([0, 1], [20, 300], "-", color="tab:orange", lw=2.4,
        label="stationäres Profil (Gerade)")
ax.plot(orte, temp, "o", color="tab:blue", ms=11, markeredgecolor="black",
        zorder=5, label="die fünf Knoten")
for x, t in zip(orte, temp):
    ax.annotate("%.0f °C" % t, xy=(x, t), xytext=(0, 10),
                textcoords="offset points", ha="center", fontsize=10)

# Mitte hervorheben
ax.plot([0.5, 0.5], [0, 160], ls="--", color="0.6", lw=1.0)
ax.plot([0, 0.5], [160, 160], ls="--", color="0.6", lw=1.0)
ax.text(0.5, 175, "die Mitte:\nexakt 160 °C", ha="center", color="tab:blue",
        fontsize=10)

ax.set_xlim(-0.05, 1.08)
ax.set_ylim(0, 330)
ax.set_xlabel("Ort entlang des Trägers (m)")
ax.set_ylabel("Temperatur (°C)")
ax.set_title("Kein Wärmestau: das eingeschwungene Profil ist eine Gerade")
ax.legend(loc="upper left")
plt.tight_layout()
plt.show()

Abbildung 6.4: Die eingeschwungene Lösung: eine Gerade von 20 °C auf 300 °C. Kein Wärmestau am Brandherd, keine Beule — die Mitte liegt exakt bei 160 °C, genau zwischen kalt und heiß. Bei einem Viertel der Länge sind es 90 °C, bei drei Vierteln 230 °C. Das ist die Antwort auf die Frage aus Kapitel 1, wie warm der Träger in der Mitte ist.

Was man hier sieht: die widerlegte Vermutung. Kein heißer Klumpen am Brandherd, keine Beule — eine schnurgerade Linie von 20 °C bis 300 °C. Die Mitte liegt exakt bei \(\tfrac{20 + 300}{2} = 160\ °\mathrm{C}\), genau in der Mitte zwischen den beiden Enden. Der Grund ist die Bilanz: Ein Wärmestau würde die Kurve an einer Stelle nach oben beulen, dort das Gefälle links und rechts verschieden machen — und dann wäre der Strom links anders als rechts, die Bilanz verletzt. Der einzige Verlauf, bei dem der Strom überall gleich ist, ist die Gerade. So beantwortet die Buchhaltung die Frage aus Kapitel 1, wie warm der Träger in der Mitte ist: 160 °C, kein Zufall.

6.4 Die interaktive Einheit: der Bilanz-Prüfer

Bisher hast du uns geglaubt, dass nur die Gerade die Bilanz erfüllt. Jetzt prüfst du es selbst nach. Das folgende Programm ist der Bilanz-Prüfer: Du gibst ihm ein Kandidaten-Profil vor — eine Gerade, einen Knick oder eine Parabel —, und es rechnet an jedem inneren Knoten aus, wie viel Wärme hereinkommt und wie viel hinausgeht. Es druckt eine Tabelle Knoten | rein | raus | Bilanz. Ein Profil besteht die Prüfung nur, wenn die Bilanz an jedem inneren Knoten null ist.

Der Rechenkern ist genau die Bilanz von oben, in reines Python gegossen: Der Strom durch ein Element ist \(\lambda\) mal Gefälle (aus Kapitel 5: Differenz durch Abstand) mal Fläche. „Rein” ist der Strom durch das rechte Element (von der heißen Seite), „raus” der durch das linke Element (zur kühlen Seite).

WichtigVorhersage-Punkt

Bevor du ausführst: Drei Kandidaten treten an — eine Gerade, ein Knick (zwei gerade Stücke mit einem scharfen Bug in der Mitte) und eine nach oben gewölbte Parabel. Alle drei starten bei 20 °C links und enden bei 300 °C rechts; sie unterscheiden sich nur dazwischen. Welche besteht die Bilanzprüfung an allen inneren Knoten? Nur die Gerade? Auch der Knick? Auch die Parabel? Leg dich fest, dann führe die Zelle aus (sie startet mit der Geraden — ändere PROFIL auf knick oder parabel).

Abbildung 6.5: Vorgerenderte Fassung des Bilanz-Prüfers mit der Geraden: alle drei inneren Knoten sind grün, die Bilanz ist überall 0 W. Im Browser ersetzt dein eigenes Ergebnis dieses Bild, sobald du die Zelle darüber ausführst — trag PROFIL = knick oder PROFIL = parabel ein und sieh die Knoten rot werden.

Was man sieht: Mit der Geraden ist die Bilanz an jedem inneren Knoten genau null — 140 W kommen rein, 140 W gehen raus, überall. Alle drei Knoten leuchten grün, das Profil besteht. Trägst du PROFIL = knick ein, wird der mittlere Knoten rot: Dort, wo die Linie knickt, kommen plötzlich 200 W rein, aber nur 80 W gehen raus — eine Bilanz von \(+120\ \mathrm{W}\), die den Knoten aufheizen würde. Bei der Parabel sind alle inneren Knoten rot, jeder mit einer Bilanz von \(-40\ \mathrm{W}\): An jeder Stelle strömt mehr hinaus, als hereinkommt — der Fehlbetrag müsste von irgendwoher kommen. Nur die Gerade hält der Prüfung an allen Knoten stand. Du hast damit selbst nachgewiesen, was oben behauptet wurde — bevor irgendwer es bewiesen hat.

HinweisWärmequelle im Träger — der Heizdraht

Warum fällt die Parabel an jedem inneren Knoten mit demselben Wert durch? Weil sie die Lösung eines anderen Problems ist. Ziehen wir einen Heizdraht durch den Träger, der überall gleichmäßig Wärme erzeugt (statt sie nur durchzuleiten), dann darf die Bilanz nicht mehr aufgehen: An jedem Stück muss genau so viel mehr hinausströmen, wie der Draht dort einspeist. Die rechte Seite der Gleichung ist dann nicht null, sondern die eingespeiste Leistung:

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \lambda \, \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} \right) \;=\; -\,\dot{q}_\text{Quelle}. \]

Und die Lösung ist dann keine Gerade mehr, sondern genau eine Parabel — die Kurve wölbt sich nach oben, liegt also überall über der geraden Verbindung von 20 auf 300 °C, denn jeder Punkt bekommt zusätzlich zur durchgeleiteten noch die selbst erzeugte Wärme. In der Mitte ist die Aufwölbung am größten: Unser Parabelprofil steht dort bei 200 °C, ganze 40 Grad über den 160 °C der Geraden. Und die \(-40\ \mathrm{W}\), mit denen jeder innere Knoten durchfällt, sind genau die Leistung, die der Draht dort einspeist: An jedem Knoten strömen 40 W mehr hinaus, als hereinkommen, und diese 40 W liefert der Draht. Rechnet man das auf den ganzen Meter hoch — drei innere Knoten, je 40 W, dazu die Randanteile —, speist der Draht rund \(160\ \mathrm{W/m}\) ein. Diese Wärmequelle bauen wir in Kapitel 7 mit der FEM und stellen sie in Kapitel 12 auf den Prüfstand — hier ist sie nur ein Ausblick.

HinweisDieselbe Gleichung, ganz woanders: das Grundwasser

Die Bilanzidee ist nicht auf Wärme beschränkt. Strömt Grundwasser durch Sand, gilt das Darcysche Gesetz — Wort für Wort dasselbe wie Fouriers Gesetz, nur mit anderen Namen: Der Wasserfluss ist proportional zum Gefälle der Wasserhöhe, \(q = -K\,\mathrm{d}h/\mathrm{d}x\), mit der Durchlässigkeit \(K\) an der Stelle von \(\lambda\) und der Wasserhöhe \(h\) an der Stelle der Temperatur \(T\). Und dieselbe Bilanz („rein gleich raus”) führt auf dieselbe Gleichung. Wer die Wärmeleitung im Träger verstanden hat, versteht die stationäre Grundwasserströmung gratis mit — und Dutzende weiterer Vorgänge, von der elektrischen Leitung bis zur Diffusion. Das ist die stille Macht dieser einen Gleichung.

6.5 Die Bilanz als Bewegung

Bisher war die Bilanz ein Standbild. Aber „rein gleich raus” ist im Kern etwas Fließendes. Die folgende Darstellung (Animation in der HTML-Fassung) zeigt den Wärmestrom als Strom kleiner Teilchen, die durch das Trägerstück wandern — erst im Gleichgewicht, dann gestört.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation
from IPython.display import HTML

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8.5, 3.6))
bilder = 24
rng = np.random.default_rng(0)
# Teilchen als Startpositionen (relative Phase entlang der Bahn)
phasen_rein = rng.random(9)
phasen_raus = rng.random(9)


def temperatur_farbe(wert_0_1):
    return plt.cm.YlOrRd(0.25 + 0.6 * wert_0_1)


def zeichne(k):
    ax.clear()
    gestoert = k >= bilder // 2
    # Aufheizung nur in der zweiten Haelfte
    if gestoert:
        heiss = (k - bilder // 2) / (bilder // 2)
    else:
        heiss = 0.0

    ax.add_patch(plt.Rectangle((0.3, 0.25), 0.4, 0.5,
                               facecolor=temperatur_farbe(heiss),
                               edgecolor="black", lw=1.5, zorder=1))
    ax.text(0.5, 0.5, "Träger-\nstück", ha="center", va="center",
            fontsize=10, zorder=2)

    tempo = 0.045
    # Zustrom von rechts (immer 9 Teilchen)
    for p in phasen_rein:
        x = 1.02 - ((k * tempo + p) % 1.0) * 0.72
        ax.plot(x, 0.62, "o", color="tab:red", ms=8, zorder=3)
    # Abstrom nach links: im Gleichgewicht 9, bei Stoerung weniger
    raus_zahl = len(phasen_raus)
    if gestoert:
        raus_zahl = 4     # weniger fliesst ab -> Stau -> Aufheizung
    for p in phasen_raus[:raus_zahl]:
        x = 0.30 - ((k * tempo + p) % 1.0) * 0.28
        ax.plot(x, 0.38, "o", color="tab:red", ms=8, zorder=3)

    ax.annotate("", xy=(0.72, 0.62), xytext=(1.0, 0.62),
                arrowprops=dict(arrowstyle="->", color="0.4", lw=1.5))
    ax.annotate("", xy=(0.02, 0.38), xytext=(0.28, 0.38),
                arrowprops=dict(arrowstyle="->", color="0.4", lw=1.5))
    ax.text(0.86, 0.72, "rein", ha="center", color="tab:red", fontsize=10)
    ax.text(0.14, 0.72, "raus", ha="center", color="tab:red", fontsize=10)

    if gestoert:
        titel = "Störung: mehr rein als raus  ->  Stück heizt sich auf (Kap. 9)"
    else:
        titel = "Gleichgewicht: rein = raus  ->  Temperatur bleibt stehen"
    ax.set_title(titel, fontsize=11)
    ax.set_xlim(0.0, 1.05)
    ax.set_ylim(0.1, 0.95)
    ax.axis("off")
    return []


ani = FuncAnimation(fig, zeichne, frames=bilder, interval=180, blit=False)
plt.close(fig)
HTML(ani.to_jshtml())

Once Loop Reflect

Abbildung 6.6: Der Wärmestrom als Teilchenstrom durch ein Trägerstück. In der ersten Hälfte fließen gleich viele Teilchen rechts herein wie links hinaus — das Konto ist ausgeglichen, das Stück behält seine Temperatur (Farbe konstant). In der zweiten Hälfte wird der Zufluss gestört: Es kommen mehr rein als raus, der Überschuss staut sich, und das Stück heizt sich auf (die Farbe wandert ins Rote). Genau dieses Aufheizen ist der Speicherterm — das Thema von Kapitel 9.

Was man sieht: In der ersten Hälfte fließen gleich viele Teilchen rechts herein wie links hinaus — das Konto ist ausgeglichen, das Stück behält seine Temperatur. Dann wird der Abfluss gedrosselt: Es kommt mehr rein als raus, der Überschuss staut sich, und das Stück heizt sich auf (die Farbe wandert ins Rote). Genau dieses Aufheizen — die Differenz zwischen rein und raus, die sich in Temperatur verwandelt — ist der Speicherterm, den Kapitel 9 dazunimmt. Im eingeschwungenen Zustand dieses Kapitels ist die Differenz immer null.

6.6 Das Kapitel-Programm

Das vollständige, eigenständig lauffähige Skript liegt in programme/kap06/kap06_bilanzpruefer.py. Es ist der Bilanz-Prüfer als Kommandozeilen-Werkzeug: Es rechnet zuerst den Wärmestrom durch den eingeschwungenen Träger aus (die 140 W), prüft dann alle drei Kandidaten — Gerade, Knick, Parabel — an jedem inneren Knoten durch und druckt für jeden die Bilanztabelle mit dem Urteil „bestanden” oder „durchgefallen”. Zum Schluss speichert es eine Abbildung der drei Profile mit ihren grünen und roten Knoten als PNG. Sein Kern sind genau die Funktionen dieses Kapitels — strom_durch_element und pruefe_bilanz —, keine Zeile mehr.

TippMerkkasten

• Fouriers Gesetz: Der Wärmestrom ist \(q = -\lambda\,\mathrm{d}T/\mathrm{d}x\) — das Gefälle treibt den Strom, \(\lambda\) misst, wie gut das Material leitet, das Minuszeichen heißt „bergab” (vom Warmen zum Kalten).
• Durch unseren eingeschwungenen Träger fließen 140 W — die Wärme einer hellen Glühbirne, ununterbrochen vom Brandherd zum kühlen Auflager.
• Die Bilanz an jedem Stück lautet: rein minus raus ist im Gleichgewicht null. Zu Ende gedacht (Stück auf null geschrumpft) wird daraus die stationäre Wärmeleitungsgleichung \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (\lambda\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}) = 0\) — „der Wärmestrom ist überall gleich”.
• Eine Differentialgleichung sucht keine Zahl, sondern eine ganze Funktion \(T(x)\): die Funktion, deren Steigungen die Bilanz überall erfüllen.
• Im homogenen Träger ist diese Funktion eine Gerade — kein Wärmestau, die Mitte exakt in der Mitte. Der Bilanz-Prüfer zeigt: nur die Gerade besteht an allen Knoten.

Roter Faden

Zurück: Die Steigung \(\mathrm{d}T/\mathrm{d}x\) aus Kapitel 5 ist hier zum Motor des Wärmestroms geworden — Fouriers Gesetz macht aus dem Steigungsdreieck eine Zahl in Watt. Das „zu Ende gedachte” Schrumpfen des Steigungsdreiecks (Kapitel 5) hat aus der Bilanz am endlichen Stück die Differentialgleichung gemacht. Und der Wärmestrom durch ein Element ist \(\lambda\) mal Differenz durch Abstand — dieselbe Differenz-durch-Abstand, die in Kapitel 5 die Elementsteigungen waren.

Vor: Diese Differentialgleichung raten konnten wir nur, weil der Träger gutmütig ist — homogen, gerade, in 1D. Bei Materialwechseln (der Knick der Übungsaufgabe), Wärmequellen (die Parabel), krummen Geometrien oder in der Fläche geht das Raten nicht mehr. Kapitel 7 zeigt, wie man dieselbe Gleichung in die Federketten-Maschinerie aus Kapitel 3 übersetzt und damit jedes Profil ausrechnet — der eigentliche Auftritt der FEM. Kapitel 8 macht die Randbedingungen ernst, Kapitel 9 fügt den Speicherterm (die Zeit) hinzu, und die Gerade wie die Parabel werden in Kapitel 12 zu Prüffällen, an denen wir die FEM verifizieren.

Übungen

Ü 6.1 (Verstehen). Der Träger wird auf beiden Seiten heißer gehalten: links \(50\ °\mathrm{C}\), rechts \(250\ °\mathrm{C}\), sonst alles unverändert (\(L = 1\ \mathrm{m}\), \(\lambda = 50\ \mathrm{W/(m\,K)}\), \(A = 0{,}01\ \mathrm{m^2}\)). Rechne ohne Rechner aus: (a) das Temperaturgefälle in K/m, (b) die Wärmestromdichte \(q\) in \(\mathrm{W/m^2}\), (c) den Wärmestrom \(I\) durch den Träger in Watt.

HinweisMusterlösung zu Ü 6.1

1. Gefälle \(= (250 - 50)/1{,}0 = 200\ \mathrm{K/m}\). (b) \(q = \lambda \cdot 200 = 50 \cdot 200 = 10\,000\ \mathrm{W/m^2}\). (c) \(I = q \cdot A = 10\,000 \cdot 0{,}01 = 100\ \mathrm{W}\). Der kleinere Temperaturunterschied (200 statt 280 K) treibt einen kleineren Strom (100 statt 140 W) — das Gefälle treibt den Strom.

Ü 6.2 (Verändern). Stelle dir vor, du verdoppelst im Bilanz-Prüfer die Wärmeleitfähigkeit auf WAERMELEITFAEHIGKEIT = 100.0 (statt 50) — der Träger bestünde dann aus einem doppelt so gut leitenden Werkstoff. Die Randwerte bleiben 20 und 300 °C. Sage zuerst vorher: Ändert sich am eingeschwungenen Profil etwas (an den Knotentemperaturen)? Und ändert sich am Wärmestrom? Prüfe deine Vorhersage, indem du im Kapitel-Programm oder im Prüfer \(\lambda\) verdoppelst. Achtung — das ist eine beliebte Falle!

HinweisMusterlösung zu Ü 6.2

Das Profil bleibt exakt gleich — dieselbe Gerade 20 → 300 °C, Mitte 160 °C. Denn die Bilanzbedingung „rein = raus” heißt slope-links = slope-rechts, und \(\lambda\) kürzt sich dabei heraus (es steht auf beiden Seiten der Bilanz). Ein besserer Leiter ändert nicht, wie die Temperatur verteilt ist, solange die Enden festgehalten werden. Der Wärmestrom verdoppelt sich aber: \(I = \lambda \cdot \text{Gefälle} \cdot A = 100 \cdot 280 \cdot 0{,}01 = 280\ \mathrm{W}\) statt 140 W. Ein doppelt so guter Leiter schaufelt bei gleichem Gefälle doppelt so viel Wärme durch. Die Falle ist, „bessere Leitung” mit „andere Temperaturen” zu verwechseln — im eingeschwungenen Zustand mit festen Randwerten stimmt das nicht.

Ü 6.3 (Übertragen). In den Baustahlträger ist ein Stück aus rostfreiem Edelstahl eingeschweißt — etwa dort, wo eine korrosionsfeste Verbindung sitzt. Rechne mit zwei Hälften: die linke (0 bis 0,5 m) bleibt Baustahl (\(\lambda = 50\)), die rechte (0,5 bis 1,0 m) ist Edelstahl (\(\lambda = 15\)). Randwerte wie immer: links 20 °C am Auflager, rechts 300 °C am Brandherd. Skizziere das Profil zuerst von Hand. Überlege: Durch beide Hälften fließt derselbe Wärmestrom (rein = raus, sonst wäre es nicht eingeschwungen). Wo das Material schlechter leitet (der Edelstahl), muss das Gefälle steiler sein, um denselben Strom zu treiben — das Profil bekommt einen Knick an der Materialgrenze. Rechne die Übergangstemperatur bei 0,5 m aus und prüfe alles mit dem Skript loesungen/kap06_ue3.py.

HinweisMusterlösung zu Ü 6.3

Weil derselbe Strom durch beide Hälften fließt, gilt \(\lambda_\text{Bau} \cdot \text{Gefälle}_\text{Bau} = \lambda_\text{Edel} \cdot \text{Gefälle}_\text{Edel}\). Also verhalten sich die Gefälle umgekehrt wie die Leitfähigkeiten:

\[ \frac{\text{Gefälle}_\text{Edel}}{\text{Gefälle}_\text{Bau}} = \frac{\lambda_\text{Bau}}{\lambda_\text{Edel}} = \frac{50}{15} = \frac{10}{3} \approx 3{,}3. \]

Der Edelstahl hat das gut dreifache Gefälle. Beide Hälften sind gleich lang, also verteilt sich der ganze Temperatursprung von 280 K im Verhältnis \(15 : 50\) (also \(3 : 10\)) auf Baustahl und Edelstahl: Über dem Baustahl fallen \(280 \cdot \tfrac{3}{13} \approx 64{,}6\ \mathrm{K}\) ab, über dem Edelstahl \(280 \cdot \tfrac{10}{13} \approx 215{,}4\ \mathrm{K}\). Die Übergangstemperatur bei 0,5 m ist also

\[ 20 + 64{,}6 \approx 84{,}6\ °\mathrm{C}. \]

Der gut leitende Baustahl bleibt vergleichsweise kühl (20 → 84,6 °C über die ganze linke Hälfte), im schlechter leitenden Edelstahl schießt die Temperatur dann steil hoch (84,6 → 300 °C). Der Knick sitzt genau an der Materialgrenze. Prüft man die Bilanz mit dem jeweiligen \(\lambda\) jeder Hälfte, geht sie an jedem Knoten auf (überall fließen dieselben rund 64,6 W) — der Knick ist kein Widerspruch zur Bilanz, sondern ihre Folge. Das vollständige Skript loesungen/kap06_ue3.py rechnet das Profil \([\,20,\ 52{,}3,\ 84{,}6,\ 192{,}3,\ 300\,]\ °\mathrm{C}\) aus und weist die Stromkonstanz nach. Denselben Zwei-Material-Träger nimmt sich Kapitel 7 noch einmal vor — dort löst ihn die FEM-Maschinerie ganz ohne die Handüberlegung von hier (Ü 7.2).

Das Kleingedruckte

Drei ehrliche Feinheiten zum Schluss.

Erstens: Wir haben die Differentialgleichung durch Raten gelöst — eine Gerade eingesetzt und gesehen, dass sie passt. Das ist völlig legitim, aber es funktioniert nur, weil unser Träger so gutmütig ist. Schon der Knick aus Übung 6.3 (zwei Materialien) und die Parabel (Wärmequelle) zeigen, dass das Profil auch ganz anders aussehen kann. Bei krummen Geometrien oder in der Fläche (Kapitel 10) gibt es überhaupt keine einfache Funktion mehr zu raten. Dafür wurde die FEM erfunden — Kapitel 7 baut sie.

Zweitens: Wir sind durchweg beim eingeschwungenen Zustand geblieben. Die transienten Momentaufnahmen aus Kapitel 1 und Kapitel 5 (die krumme 30-Minuten-Kurve beim stärker aufgeflammten Brandherd) gehorchen einer größeren Gleichung, die den Speicherterm — das Aufheizen aus der Animation — enthält. Sie ist das Thema von Kapitel 9. Die Sinusreihen-Formel, mit der Kapitel 5 seine „Fühler”-Kurve berechnet hat, ist die exakte Lösung genau dieser größeren Gleichung; woher sie kommt, klärt sich dort und in Kapitel 12.

Drittens: Wir haben so getan, als flösse die Wärme nur längs durch den Träger und nirgends an die umgebende Luft verloren. Das ist eine bewusste Vereinfachung (ein perfekt gedämmter Träger). In Wirklichkeit gibt der Träger auch seitlich Wärme ab; das würde einen weiteren Term hinzufügen und das Profil leicht nach unten biegen. Für das Verständnis der Bilanz ändert das nichts — es kommt nur ein weiterer Zu-/Abgang aufs Konto.